非负数及其应用w

1、第11讲 非负数及其应用还会有什么科学比数学更高贵、更杰出、更有用呢？ 富兰克林知识方法扫描所谓非负数，是指零和正实数常见的非负数有绝对值和平方式。非负数有如下的性质：(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，an为非负数，则a1a2an0(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，an为非负数，且a1a2an=0，则必有a1a2an0在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用得较多(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数(5)最小非负数为零，没有最大的非负数应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中

2、的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决。其中，配方是一种重要的恒等变形技巧。经典例题解析例1 （1993年郑州市初中数学团体赛题）已知x2+3|y-1|=x-, 求代数式4x2-3y+1之值。解 将已知等式变形得：3|y-1|=x-=-因为-0，即|y-1|0，根据绝对值的意义|y-1|0 由、得，y-1=0，y=1。此时，x=,4x2-3y+1=4-3×11+1=-1评注 1实数的偶次方和实数的绝对值是常见的非负数2配完全平方是一种极为重要的恒等变形的技巧;由此得到的完全平方数是非负数，从而可用非负数的性质来解题。3若a0, 又a0

3、, 那么a=0. 这种方法通常称为夹逼法。这样由不等关系可以得到等量关系。例2（1994年浙江省初中数学竞赛试题）已知a，b，c为整数，且a2 + b2 + c2 + 484a + 6b + 12c，求 的值。解 由 a2 + b2 + c2 + 484a + 6b + 12c，可得 (a-2)2+(b-3)2+(c-6)2<1,显然(a-2)2+(b-3)2+(c-6)20，又由a，b，c为整数，得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2为整数，于是(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2=0。所以 a=2, b=3,c=6.= =1 .例3（1986年北京市中学生数学竞赛初二年级试题

4、）已知a，b，c为实数，设，。证明：A，B，C中至少有一个值大于零证明 由题设有A+B+C=（）+（）+（）=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(-3)因为(a-1)20，(b-1)20，(c-1)20，-30，所以A+B+C0若A0，B0，C0，则A+B+C0与A+B+C0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零例4(2002年全国初中数学联赛试题) 求实数x,y, 使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2 达到最小值解 原式 = 5x2+6xy+3y2-30x-20y+46 = 5x2+(6y-30)x

5、+3y2-20y+46=5(x+y-3)2+5(y-3)2+3y2-20y+46=5(x+y-3)2+y2-2y+1=5(x+y-3)2+(y-)2+当 x+y-3=0，y-时，即x=,y=时有最小值。例5（2004年第二届创新杯数学邀请赛试题）已知是不等于零的实数，且满足：求证： .证明 由已知条件变形得：1 (1)22222 (2)1 (3)(1)(2)(3)得：()2()2()20，故有0，所以, , , 。例6(2006年第一届“南方杯”数学邀请赛试题)求所有的有理数x,y,z，使得5x2+2y2+2z2+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=0解：由已知等式可化为 (4x2-4xz

6、+z2)+(4x-2z)+1+(x2+2xy+y2)-(4x+4y)+1+(y2+2yz+z2)+(2y+2z)+1=0(2x-z)2+2(2x-z)+1+(x+y)2-4(x+y)+4+(y+z)2-2(y+z)+1=0 (2x-y+1)2+(x+y-2)2+(y+z-1)2=0所以 解得例71（1992年北京中学生数学竞赛初中试题）设x, y, a都是实数，并且|x|=1-a, |y|= (1-a) (a-1-a2).试求|x|+y+a3+1的值等于多少？解 |x|=1-a0，a20, (1-a)20|y|= (1-a) (a-1-a2) =- (1-a)2- (1-a)·a2=

7、 -(1-a)2+ (1-a)·a20又由绝对值的意义得：|y|0既要满足又要满足，只有y=0，即：1-a) (a-1-a2)=0a-1-a2=-(a-)2+0，1-a=0, a=1.故：|x|+y+a3+1=1-1+0+13+1=2.例8 (2004年第9届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题)已知 ，,，和a1+a2+a3+a4+a5+ a6+a7+a8+a9+a10=100，求a1，a2，a3，a4，a5， a6，a7，a8，a9，a10的值。解 将已知的10个式子整理得，再将上述10个式子的左边相加，其和为0。因为这10个式子的左边都是非负数，所以这10个式子的左边都等于0。即于

8、是所以a1-a2=2(a2-a3)=22 (a3-a4)=29(a10-a1)=210(a1-a2),于是(210-1)(a1-a2)=0, a1=a2同理可证： a1=a2=a3=a4=a10。 所以a1=a2=a3=a10=10.同步训练一 选择题1 （2007年“创新杯”数学邀请赛初一试题）已知a,b,c都是负数，并且|x-a|+|y-b|+|z-b|=0，则xyz是（ ）（A）负数 （B）非负数 （C） 正数 （D） 非正数2（第六届“希望杯”数学邀请赛初二试题）已知实数a、b满足条件a2+b2+a2b2=4ab-1, 则（A）（B）（C）或（D）3(2004年全国数学竞赛天津地区初赛

9、试题)已知m2+n2+mn+m-n+1=0, 则的值等于( )(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 24（1999年“五羊杯”初中数学竞赛题）a，b，c，d都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ）（A）若a2+b2+c2=ab+bc+ca, 则a=b=c （B）若a3+b3+c3=3abc, 则a=b=c（C）若a4+b4+c4+d4=2 (a2+b2+c2+d2) 则a=b=c=d（D）若a4+b4+c4+d4=4abcd, 则a=b=c=d5（1994年河南初中数学竞赛题）已知a、b、c是实数，x=a2-b, y=b2-c, z=c2-a+1. 则下列说法正确的是（A）x，y，z三个

10、数中至少有一个是零（B）x，y，z三个数中至少有一个是正数（C）x，y，z三个数中至少有一个是负数（D）x，y，z三个数中必为两正一负，或者必为两负一正二 填空题6（第15届“迎春杯”数学竞赛试题） 已知, 那么, 代数式的值为 . 7（2000年“我爱数学”夏令营数学竞赛试题）满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数解（x, y）的个数等于 8（2000年天津市初中数学竞赛试题）已知a, b 满足a3-3a5+5a=1, b3-3b2+5b=5, 则a+b= . 9（2000年全国初中数学联赛试题）实数x、y满足xy1和2x2-xy-5x+y+4=0, 则x+y= .10（2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）已知实数a,b,c满足a-b+c=7, ab+bc+b+c2=16, 则的值等于 .三 解答题11（第14届江苏省初中数学竞赛试题）如果三个非负数a,b,c满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1，若m=3a+b-7c,求m的最大值和最小值。12（重庆市初中数学竞赛题）设z，y，z为实数，且求的值。13设a,