高一解三角形综合复习含详细答案

1、课题： 解三角形教学目标：一、 理解任意角三角函数的概念，掌握同角三角函数的基本关系式与诱导公式、两角和与差的三角函数及二倍角公式。二、 理解正弦定理、余弦定理的意义，并能应用正弦定理、余弦定理解三角形。教学重难点一、 三角函数相关公式的应用。二、 三角函数、正弦定理、余弦定理的灵活运用。教学内容一、 知识点讲解（一）三角函数1、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号口诀全正，正弦，正切，余弦2、同角三角函数的基本关系及诱导公式(1) 基本关系平方关系

2、：sin2cos21. 商数关系：tan .(2)三角函数的诱导公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sinsinsincoscos余弦cos cos cos cos sinsin 正切tan tantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限(3)特殊角的三角函数值角0°30°45°60°90°120°150°180°角的弧度数0sin 010cos 101tan 0102、和差倍角的三角函数(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(±)sin_cos_±cos_sin

3、_.cos()cos_cos_±sin_sin_.tan(±).(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.(3)有关公式的逆用、变形等tan ±tan tan(±)(1tan_tan_)cos2，sin2.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.(4)函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()，其中tan .（二）解三角形1、 正弦定理和余弦定理在ABC中，若角A，B，C所

4、对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A b2a2c22accos B c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin Ccos A；cos B；cos C解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2、三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)Sbcsin

5、Aabsin Cacsin B.(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆半径)3、规律总结（1）一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B。（2）解三角形的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换。（三）向量的数量积和三角函数1、平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a0.(2)几何意义：数

6、量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2、平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：a·b|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：a·b0x1x2y1y20.二、 典型例题（一）三角函数【例1】若sin ·tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析(1)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限的角，由cos tan 0，可知

7、cos ，tan 异号从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角【例2】已知tan 2，则_，解析1，【例3】已知sin，则cos_；解析(1)，coscossin.规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有与；与；与等，常见的互补关系有与；与等【例4】 (1) 4cos 50°tan 40°()A. B. C. D21(2)_.解析(1)4cos 50°tan 40°4sin 40°.(2)原式1.【例5】 (1)已知0<<<<，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan

8、 ，求2的值解(1)0<<<<，<<，<<，cos ，sin ，cos coscoscossinsin××，cos()2cos212×1.(2)tan tan()>0，0<<，又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.【例6】已知函数f(x)cossin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若，且f，求f(2)的值解(1)f(x)cos xsin xcos xsin xcos xsin.f(x)的最小正周期为2.

9、(2)由(1)知f(x)sin.所以fsinsin ，cos .sin 22sin cos 2××，cos 22cos212×21，f(2)sinsin 2cos 2××.（二）解三角形1、利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 (1)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于 ()A. B. C. D. (2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，c4，B45°，则sin C_.解析(1)在ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin Bsin B，B为ABC的内角，

10、sin B0.sin A.又ABC为锐角三角形，A，A.(2)由余弦定理，得b2a2c22accos B1328×25，即b5.所以sin C.2、判断三角形的形状【例2】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状解(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，A60°.(2)ABC180°，BC180°60°120°.

11、由sin Bsin C，得sin Bsin(120°B)，sin Bsin 120°cos Bcos 120°sin B.sin Bcos B，即sin(B30°)1.0°<B<120°，30°<B30°<150°.B30°90°，B60°.ABC60°，ABC为等边三角形3、三角形面积有关的问题【例3】在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求

12、sin Bsin C的值解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由S bcsin Abc·bc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理，得sin Bsin Csin A·sin Asin2A×.4、解三角形综合问题【例4】设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值规范解答(1)由余

13、弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3， (2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角，所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.【例5】在锐角ABC中，若BC2，sin A，则·的最大值为()A. B. C1 D3解析由余弦定理，得a2b2c22bc×4，由基本不等式可得4bc，即bc3，所以·bccos Abc1.答案C【例6】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，=（cosA，2c

14、osA），=1（1）求A的大小；（2）若，c=2，求ABC的面积【例7】在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA（）求角C的大小；（）若a=3，ABC的面积为，求的值三、 课堂练习【训练1】若sin 0且tan 0，则是()A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【训练2】(1)已知sin cos ，0，则tan _.(2)已知sin 2sin ，tan 3tan ，求cos _.解析(1)法一联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.又0，tan .法二sin cos ，(sin cos )22，即12sin c

15、os ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos ，由得tan .(2)sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2，由÷得：9cos24cos2，得：sin29cos24，cos2sin21，cos2，即cos ±.答案(1)(2)±(3) 已知tan 2，4sin2 3sin cos 5cos2_.4sin2 3sin cos 5cos21. (4)如果sin(A)，那么cos的值是_解析sin(A)，sin A.cos

16、sin A.【训练3】已知cos ，cos()，且0<<<，(1)求tan 2的值；(2)求.解(1)cos ，0<<，sin ，tan 4，tan 2.(2)0<<<，0<<，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()××.【训练3】【训练3】 已知函数f(x)4cos x·sin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)4cos xsin14cos x1sin 2x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的

17、最小正周期为.(2)因为x，所以2x.于是，当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值1.【训练4】(1)在ABC中，a2，c2，A60°，则C ()A30° B45° C45°或135° D60°(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30° B60° C120° D150°解析(1)由正弦定理，得，解得：sin C，又ca，所以C60°，所以C45°.(2)sin C2sin

18、B，由正弦定理，得c2b，cos A，又A为三角形的内角，A30°.【训练5】 (1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形(2)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰或直角三角形解析(1)由2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以cos C0，所以90°C180°，即ABC为钝角三角形(2)由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(A

19、B)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2 Bsin Acos Bsin2 Acos Asin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角，故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形【训练6】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casin Cccos A.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解(1)由casin Cccos A及正弦定理，得sin Asin Ccos A·sin Csin C0，由于sin C0，所以si

20、n，又0<A<，所以<A<，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28，解得bc2.【训练7】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且acbcos C.(1)求角B的大小；(2)若SABC，b，求ac的值解(1)由正弦定理，得sin Asin Csin Bcos C，又因为A(BC)，所以sin Asin(BC)，可得sin Bcos Ccos Bsin Csin Csin Bcos C，即cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为SABC，所以acsin，所以ac4，由余弦定理可知b2a2c2ac，所

21、以(ac)2b23ac131225，即ac5.【训练8】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bcosC+ccosB=2acosA（1）求角A的大小；（2）若=，求ABC的面积课后作业：1、已知sin cos ，则sin cos 的值为()A. B C. D解析法一0，cos sin ，又(sin cos )212sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1，sin cos .法二sin cos ，且.，sin cos sin ，即sin，又cos，sin cos (cos sin )cos.2、已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1, 则sin 的值是()A. B. C. D.解析由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，解得tan 3，又sin2cos21，为锐角故sin .3、已知cos ，cos()，且，则cos()的值为_解析cos ，sin ，sin 2，cos 2.又cos()，(0，)，sin().cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()××.4、在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B. C2 D2解析S×