高中数学导数及其应用 152 定积分习题 苏教版选修22

1、1.5.2定积分明目标、知重点1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义1定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间a，b上有定义，将区间a，b等分成n个小区间，每个小区间长度为x(x)，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，xi，xn.作和Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x，如果当x0(亦即n)时，SnS(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间a，b上的定积分，记为：Sf(x)dx，其中，f(x)称为被积函数，a，b称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限2定积分的几何意义一般地，定积分f(x)dx的几何意义是，在区间a，b上曲线与x轴所围图形面

2、积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近思考2怎样正确认识定积分f(x)dx?答(1)定积分f(x)dx是一个数值它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同(2)函数f(x)在区间a，b上连续这一条件是不能忽视的，它保证了定积分的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)例1利用定积分的定义，计算x3dx的值解令f(x)x3.(1

3、)分割在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间，(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)以直代曲、作和取i(i1,2，n)，则x3dxSnf()·x ()3·i3·n2(n1)2(1)2.(3)逼近n时，2.x3dx.反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、以直代曲、作和、逼近”这一过程，需要注意的是在本题中将以直代曲、作和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤(2)从过程来看，当f(x)0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积跟踪训练1用定义计算(1x)dx.解(1)分割：将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n

4、)，每个小区间的长度为x.(2)以直代曲、作和：在上取点i1(i1,2，n)，于是f(i)112，从而得(i)x(2)··n012(n1)2·2.(3)逼近：n时，Sn(i)x2.因此(1x)dx.探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么f(x)dx表示什么？答当函数f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线xa，xb(a<b)，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积思考2 当f(x)在区间a，b上连续且恒有f(x)0时，f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答如果在区间a，

5、b上，函数f(x)0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图)由于>0，f(i)0，故f(i)0.从而定积分f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即f(x)dxS.当f(x)在区间a，b上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)(如图)，即f(x)dxS1S2S3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，其面积为S··32.由定积分的几何意义知dx.(2)由

6、直线x1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，(3x1)dx×(3)×(3×31)(1)×216.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如图(1)，xdxA1A10.(2)如图(2)，cos xdxA1A2A30.(3)

7、如图(3)，A1A2，|x|dx2A12×1.(其中A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积) 1定积分(3)dx_.答案62定积分f(x)dx的大小，以下说法正确的是_与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关与f(x)有关，与区间a，b以及i的取法无关与f(x)和i的取法有关，与区间a，b无关与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关答案3根据定积分的几何意义，用不等号连结下列式子：xdx_x2dx；dx_2dx.答案><解析当x0,1时，x>x2，由定积分的几何意义知xdx>x2dx；当dx对应的面积为半圆，小于2dx对应的矩形的面积，所以dx<

8、;2dx.4用定积分的几何意义求定积分2(x2)dx.解因2(x2)dx2(x2)dx，所以作出直线yx2在区间0,5的图象，在区间0,2上图象在x轴下方，在区间2,5上图象在x轴上方，设线段在x轴下方和在x轴上方与坐标轴组成的面积分别为S1，S2，由定积分的几何意义，得(x2)dxS2S1×32×22，所以2(x2)dx5.呈重点、现规律1定积分f(x)dx是一个和式f(i)当n时逼近的一个值，是一个常数2可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.一、基础过关1将曲边yex，x0，x2，y0所围成的图形面积写成定积分的形

9、式_答案exdx2定积分3tdx(t为大于0的常数)的几何意义是_答案由直线y3t，x2，x3，y0所围成的矩形的面积3.由曲线yx24，直线x0，x4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是_答案|x24|dx4设axdx，bx2dx，cx3dx，则a，b，c的大小关系是_答案a>b>c解析根据定积分的几何意义，易知x3dx<x2dx<xdx，a>b>c.5计算定积分dx_.答案解析由于dx2dx表示单位圆的面积，所以dx.6用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S1_(如图1)；图1(2)S2_(如图2)；图2答案(1)sin xdx(2)dx

10、7若|56x|dx2 016，求正数a的最大值解由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dx2xdxa236，即0<a6.故正数a的最大值为6.二、能力提升8.(2x4)dx_.答案12解析如图A(0，4)，B(6,8)SAOM×2×44，SMBC×4×816，(2x4)dx16412.9由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是S_.答案sin xdx解析由定积分的意义知，由ysin x，x0，x，y0围成图形的面积为Ssin xdx.10计算dx_.答案4解析dx表示以原点为圆心，4为半径的圆的面

11、积，dx·424.11用定积分的意义求下列各式的值：(1)(2x1)dx；(2) dx.解(1)在平面上，f(x)2x1为一条直线，(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S(17)×312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(2)由y可知，x2y21(y0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形××12×1×1×sin ，S矩形|AB|·|BC|2××，dx.12利用定积分的定义计算(x22x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么解令f(x)x22x.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分为n个小区间1，1(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)以直代曲、作和取i1(i1,2，n)，则Snf(1)·x(1)22(1)·(n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)(n3)2n&#