高二数学10高二数学教师吴欣向量的坐标运算及数量积

1、学科教师辅导讲义学员学校：年 级：课时数：4学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：学科组长签名组长备注课 题向量的坐标运算及数量积授课时间：备课时间：教学目标1.掌握向量的概念2.掌握向量的坐标表示 3.掌握向量的运算4.掌握向量的数量积5.掌握向量数量积的坐标表示重点、难点1.对于向量的数值表示来分析向量之间的位置关系2.理解位置向量和单位向量3.掌握数量积的概念及应用4. 如何辨别负向量、相等向量、及平行向量5. 深刻理解向量在坐标上的表示6. 数形结合的方式，理解向量的数量积的含义7利用向量的数量积来求向量之间的夹角考点及考试要求1.向量的概念2.向量的位置关系3.向量的运算4.向量的

2、数量教学内容知识精要知识精要一、向量的概念1.定义：2.向量的大小（或称模）：3.平行向量：方向相同或相反的向量。4.相等向量：5.负向量：6.零向量:7.单位向量：的单位向量，则=（指与方向相同）二、向量的坐标与运算1.基本单位向量： （）2.P(x,y)的位置向量是=(x,y)（坐标形式）=（分量形式）3.P1(x1,y1),P2(x2,y2)则=(x2-x1,y2-y1)（终点坐标减去起点坐标）4.（1）（2）（3）（4）5.定比分点：P1(x1,y1),P2(x2,y2) （1）若=（）则P(,) （2）P1,P2的中点（，）（3）的重心（，）6.数量积的概念与夹角为（是与夹角，一定要

3、共起点，)，则7.向量平行和垂直，（1）平行：平行，（2）垂直：8.运算律（1） （）（2）=（3）（4）=9. （1）向量共线定理：两个向量(x1、y1)和(x2、y2)（）共线的充要条件是 （2）平面向量分解定理：是同一平面内不平行的向量，则有且只有一对。使-这一平面内所有向量的一组基。-线性组合系数。名题精解例1.已知a=（1，2），b=（x,1），且a+2b与2a-b平行，则x等于（ ）A.1 B.2 C. D.答案：D解析：a+2b=（1+2x，4），2a-b=（2-x，3）.（1+2x）×3-4（2-x）=0 即x=.变式训练：直线l的方向向量为（-1，2），直线l的倾斜

4、角为，则tan2等于( )A. B.- C. D.-答案：A解析：由已知得tan=-2，则tan2=.例2已知向量a=（m，），b=（-2，-2），那么向量a-b的模取最小值时，实数m的取值与a-b的模的最小值分别是( )A.- B.C.- D.答案：C解析：a-b=（m+2，）.|a-b|=.当m=-时，|a-b|取最小值.变式训练：若a=（2，3），b=（-4，7），则a在b方向上的投影为（ ）A. B. C. D.答案：C解析：a在b方向上的射影为.例3已知ab，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与a-b垂直，则等于（ ）A. B.- C.± D.1答案：A解析：因ab，故a

5、·b=0，又（3a+2b）（a-b）=0.故3a2-2b2=0,=.变式训练：已知i，j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+j,且a与b夹角为锐角，则实数取值范围为_.答案：且-2解析：由a与b夹角为锐角有可得.解析：2（a·b+b·c+c·a）=a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）=-（a2+b2+c2）=-（1+4+2）=-7，a·b+b·c+c·a=-72.例4已知平面上三点A、B、C满足|=3，|=4，|=5，则·+·+·的值等于( )A.25 B.24 C.-25 D.-2

6、4答案：C解析：由已知得cosA=,cosB=0,cosC=.原式=-|cosB-|cosC-|cosA=0-4×5×-5×3×=-25.变式训练：若|a|=1，|b|=2，c=a-b，且ca,则向量a与b的夹角为_.答案：解析：ca（a-b）a=0,a·b=a2=1,cosa、b=，故a与b夹角为.例5在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=+,其中，R,且+=1，则点C的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0 B.2(x-1)+2(y-2)=5C.2x-y=0 D.x+2y-5=0答案：D例6已

7、知a+b+c=0，|a|=1，|b|=2，|c|=，则a·b+b·c+c·a的值为（ ）A.7 B. C.-7 D.-答案：D例7已知ABC的面积为，|=3，|=5，·0，则|=_.答案：7解析：S=|·|·sinA=sinA=,又·0,即A90°,故A=120°.|2=|-|2=|2+|2-2|cosA=32+52+3×5=49,|=7.例8已知向量a=（6，2），b=（-4，-），直线l过点A（3，-1）且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为_.答案：y=2x-7解析：由a+2b=（-2，1

8、），可知l的方向向量为v=（1，2）.可得直线的方程为y=2x-7.例9已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设M是直线OP上一点（O为坐标原点）.（1）求使·取最小值时的；（2）对（1）中求出的点M，求AMB的值.解析：（1）M是直线OP上的一点，设=(2,),则=-=（1，7）-（2,）=(1-2,7-),=-=(5,1)-(2,)=(5-2,1-),·=52-20+12,当=2时取最小值，此时=（4，2）.（2）由（1）知=（-3，5），=（1，-1），cosAMB=.AMB=-arccos.例10已知a=（cos,sin），b=(cos,sin)且a，b满足

9、|ka+b|=|a-kb|（k0）.(1)用k表示a，b的数量积；（2）求a·b的最小值及此时a，b的夹角.解析：（1）|a|=1,|b|=1,|ka+b|2=3|a-kb|2,k2a2+2ka·b+b2=3a2+3k2b2-6ka·b，8ka·b=2k2+2,a·b=.(2)k0,a·b=(k+),当k=1时等号成立.此时a·b的最小值为，夹角为=.例11已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.（1）求证：（a-b）c;（2）若|ka+b+c|1(kR),求k的取值范围.（1）证明

10、：（a-b）·c=a·c-b·c=|a|c|cos120°-|b|c|cos120°=0,(a-b)c.(2)解析：|ka+b+c|1|ka+b+c|21k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c1.|a|=|b|=|c|=1,且a，b，c夹角均为120°，a2=b2=c2=1,a·b=b·c=a·c=-.k2-2k0,k2或k0.例12设a，b是两个不共线的非零向量，tR.(1)若=a，=tb,=(a+b),则当t为何值时，A、B、C三点共线？（2）若|a|=|

11、b|，且a与b的夹角为60°，则t为何值时，|a-tb|的值最小？解析：(1)A、B、C三点共线，=.tb-a=(a+b)-a=b-a=,t=.(2)a·b=|a|b|cos60°=|a|2,|a-tb|2=|a|2-2t(a·b)+t2|b|2=|a|2-t|a|2+t2|a|2=|a|2(t-)2+.当t=时，|a-tb|有最小值|a|.例13已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，例14如图，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记。（1） 求关于的表达式;（2）

12、求的值域。解：（1）由正弦定理，得（2）由，得，即的值域为.例15已知都是非零向量，且不平行. (1)设，判断A、B、D三点是否共线?(2)若与平行，求实数m的值解：（1），所以三点共线（2）则，例16点A(3,-2)，点B在y轴上，且，求的坐标解：设B，或例17=()，=()，其中（），求的取值范围，并指出取何值时，达到最大值.解：，当时，例18，,夹角为，=，=， （1）求的值；（2）+解： (1) (2) 例19=3，=2，与夹角为，=+5，。当m为何值时，与相互垂直？解：例20设=s， =t，（1）、夹角为，求、（2）若s，t0，=，证明： （用数形结合和纯计算两种方法）解：(1) (

13、2) 例21=(cos,sin)，=(cos,sin)，且满足 (k>0) (1)用,表示 (2)用k表示 (3)求的最小值及此时与所成的角的大小解：(1) (2)注意到，因此将已知关系两边平方，即 从而(3)因为，所以当且仅当，即时，取到最小值，最小值得为2夹角例22已知平面向量=()，=（）（1）证明：；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使，且，试求函数关系式；（3）根据（2）结论，确定函数的单调区间解：(1)证明：(2) ，且，整理得(3)记，当时，增函数；当时，减函数巩固练习1已知=，=1，=,则与的夹角是_ 2设、是两个单位向量，它们夹角为，则()=_3.把函数图象沿着=()

14、()平移，得到函数_y=sinx+14.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且，则等于（ B ）A. B. C. D. 解：5.若=“向东走8 km”，=“向北走8 km”，则=_，的方向是_.，东北方向解：6.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于( C )A. B. C. D.4解：7.若向量与夹角为，则向量的模是（ C ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 12解：=，解得8若=(2,3)，=()，则在方向向上的投影为_.在方向上的投影为9.已知=10，=12，且（）·（）=，则与的夹角是_由得，又，10.已知，求实数，使得与垂直11.已知，若，求的取值范围解：12.已知，动点P满足(1)求动点P的轨迹方程(2)(有难度，比较难想到，提示：利用)是否存在点P，是PA成为的平分线？解：(1)设，则，即为点的轨迹方程(2)设存在，则，将条件 代入上式，不存在易错点1.把平行于直线的所有单位向量的起点平移到直线上的点，则各向量的终点的集合是什么？错解：是与点的距离为一