高中数学数系的扩充与复数的引入 321 复数代数形式的加减运算及其几何意义课时作业 新人教版选修22

1、3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义明目标、知重点1熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题1复数加法与减法的运算法则(1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是.情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的

2、几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一复数加减法的运算思考1我们规定复数的加法法则如下：设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答仍然是个复数，且是一个确定的复数；思考2当b0，d0时，与实数加法法则一致吗？答一致思考3复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项思考4实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答满足，对任意的z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1.结合律：(z1z2)z3z

3、1(z2z3)证明：设z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，z2z1(ca)(db)i，显然，z1z2z2z1，同理可得(z1z2)z3z1(z2z3)思考5类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答(abi)(cdi)(ac)(bd)i.例1计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式(1221)(2112)i2.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练1

4、(1)计算2i(32i)3(13i)；(2)计算(a2bi)(3a4bi)5i(a，bR)；解(1)原式2i(32i39i)2i11i9i.(2)原式2a6bi5i2a(6b5)i.探究点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答如图，设，分别与复数abi，cdi对应，则有(a，b)，(c，d)，由向量加法的几何意义(ac，bd)，所以与复数(ac)(bd)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量？答z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四

5、边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量(如图)图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1z2.例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,32i，24i.求：(1)表示的复数；(2)对角线表示的复数；(3)对角线表示的复数解(1)因为，所以表示的复数为32i.(2)因为，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)16i.反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用跟踪训练2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形

6、的第四个顶点对应的复数解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，如图则(xyi)(12i)(x1)(y2)i，(12i)(2i)13i.，(x1)(y2)i13i.，解得，故点D对应的复数为2i.探究点三复数加减法的综合应用例3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解方法一设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.|z1|z2|z1z2|1

7、，OAB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长，|z1z2|.反思与感悟(1)设出复数zxyi(x，yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练3本例中，若条件

8、变成|z1|z2|1，|z1z2|.求|z1z2|.解由|z1|z2|1，|z1z2|，知z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|.1复数z12i，z22i，则z1z2等于()A0 B.iC.i D.i答案C解析z1z2(2)(2)ii.2若z32i4i，则z等于()A1i B13iC1i D13i答案B解析z4i(32i)13i.3在复平面内，O是原点，表示的复数分别为2i，32i,15i，则表示的复数为()A28i B66iC44i D42i答案C解析()44i.4若|z1|z1|，则复数z对应的点在()A实

9、轴上 B虚轴上C第一象限 D第二象限答案B解析|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上5已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_.答案1解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.呈重点、现规律1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、基础过关1若复数z满足zi33i，则z等于()A0 B2i C6 D62i答案D解析z3i(i3)6

10、2i.2复数ii2在复平面内表示的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析ii21i，对应的点在第二象限3复数z13i，z21i，则z1z2等于()A2 B22iC42i D42i答案C4设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()A1i B2i C3 D2i答案D解析由得，abi2i.5已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z等于()A3i B3i C±3i D4i答案B解析设zabi(a、bR)，则z3iabi3ia(b3)i为纯虚数，a0，b30，又|b|3，b3，z3i.6计算：(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0082 009i)(

11、2 0092 010i)(2 0102 011i)解原式(12342 0082 0092 010)(23452 0092 0102 011)i1 0051 005i.7计算：(1)(7i5)(98i)(32i)；(2)(i)(2i)(i)(3)已知z123i，z212i，求z1z2，z1z2.解(1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)(i)(2i)(i)i2ii(2)(1)i1i.(3)z1z223i(12i)15i，z1z223i(12i)3i.二、能力提升8如果一个复数与它的模的和为5i，那么这个复数是_答案i解析设这个复数为xyi(x，yR

12、)xyi5i，xyii.9若|z2|z2|，则|z1|的最小值是_答案1解析由|z2|z2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(2,0)距离相等的点，即虚轴|z1|表示z对应的点与(1,0)的距离|z1|min1.10设mR，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的取值范围解z1(m15)i，z22m(m3)i，z1z2(m15)m(m3)i(m22m15)i.z1z2为虚数，m22m150且m2，解得m5，m3且m2(mR)11复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2i，向量对应的复数是12i，向量对应的复数是3i，求C点在复平面内的坐标解，对应的复数为(3i)(12i)23i，设C(x，y)，则(xyi)(2i)23i，xyi(2i)(23i)42i，故x4，y2.C点在复平面内的坐标为(4，2)12已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点D对应的复数解方法一设D点对应的复数为xyi (x，yR)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，1)，C(2,1)AC中点为，BD中点为.平行四边形对角线互相平分，.即点D对应的复数为35i.方法二设D点对应的复数为xyi (x，yR)则对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，又对应的复数为(2i