高中数学推理与证明 221 综合法和分析法课时作业 新人教版选修22

1、2.2.1综合法和分析法明目标、知重点1了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法 2理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题1综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法3分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止情境导学证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且

2、我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识探究点一综合法思考1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明因为b2c22bc，a>0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b>0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.总结：此证明过程运用了综合法综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，

3、这种证明方法叫做综合法思考2综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理例1在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明由A，B，C成等差数列，有2BAC，由A，B，C为ABC的三个内角，所以ABC.由，得B，由a，b，c成等比数列，有b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以AC.由，得AB

4、C，所以ABC为等边三角形反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程跟踪训练1在ABC中，证明：BC.证明在ABC中，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0，因为<BC<，从而BC0，所以BC.探究点二分析法思考1回顾一下：基本不等式(a>0，b>0)是怎样证明的？答要证，只需证ab2，只需证ab20，只需证()20，因为()20显然成立，所以原不等式成立思考2证明过程有何特点？答从结论出发开

5、始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件小结分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法思考3综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件例2求证：<2.证明因为和2都是正数，所以要证<2，只需证()2<(2)2，展开得102<20，只需证<5，只需证21<25，因为21<25成立，所

6、以<2成立反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法跟踪训练2求证：<(a3)证明方法一要证<，只需证<，只需证()2<()2，只需证2a32<2a32，只需证<，只需证0<2，而0<2显然成立，所以<(a3)方法二>，<，<.探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；

7、再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若PQ，则结论得证例3已知，k(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2. 求证：.证明因为(sin cos )22sin cos 1，所以将代入，可得4sin22sin21. 另一方面，要证，即证，即证cos2sin2(cos2sin2)，即证12sin2(12sin2)，即证4sin22sin21.由于上式与相同，于是问题得证反思与感悟用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：跟踪训练3若tan()2tan ，求证：3sin sin(2)证明由tan()2tan 得

8、，即sin()cos 2cos()sin .要证3sin sin(2)，即证3sin()sin()，即证3sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin ，化简得sin()cos 2cos()sin .这就是式所以，命题成立1已知y>x>0，且xy1，那么()Ax<<y<2xy B2xy<x<<yCx<<2xy<y Dx<2xy<<y答案D解析y>x>0，且xy1，设y，x，则，2xy，x<2xy<<y，故选D.2欲证<成立，只需证()A()2<

9、()2B()2<()2C()2<()2D()2<()2答案C解析根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，只需证：<，只需证：()2<()2.3求证：<2.解因为logab，所以左边log1952log1933log192log195log1932log1923log19(5×32×23)log19360.因为log19360<log193612，所以<2.4已知1，求证：cos sin 3(cos sin )证明要证cos sin 3(cos sin )，只需证3，只需证3，只需证1tan 3(1tan

10、 )，只需证tan ，1，1tan 2tan ，即2tan 1.tan 显然成立，结论得证呈重点、现规律1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语3在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.一、基础过关1已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A若a>b，则ac2>bc2B若>，则a>bC若a3>b3且ab<0，则>D若a2>b2且ab>0，则<答案C解析对于A：若c0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：

11、若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立2A、B为ABC的内角，A>B是sin A>sin B的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理2R，又A、B为三角形的内角，sin A>0，sin B>0，sin A>sin B2Rsin A>2Rsin Ba>bA>B.3已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析若l，m，则l，所以lm，正确；若l

12、，m，lm，与可能相交，不正确；若l，m，l与m可能平行或异面，不正确；若l，m，lm，则m，所以，正确4设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1ab Bab<1<Cab<<1 D.<ab<1答案B解析因为ab，故>ab.又因为ab2>2，故ab<1，2ab>1，即>1>ab.5已知a，b为非零实数，则使不等式：2成立的一个充分不必要条件是()Aab>0 Bab<0Ca>0，b<0 Da>0，b>0答案C解析与同号，由2，知<0，<0，即ab<0.又若ab<0，

13、则<0，<0.22，综上，ab<0是2成立的充要条件，a>0，b<0是2成立的一个充分而不必要条件6要证明<2，可选择的方法有很多，最合理的应为_答案分析法7设ab>0，求证：3a32b33a2b2ab2.证明方法一3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为ab>0，所以ab0,3a22b2>0，从而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.方法二要证3a32b33a2b2ab2，只需证3a2(ab)2b2(ab)0，只需证(3a22b2)(ab)0，ab>0，ab0,

14、3a22b2>2a22b20，上式成立二、能力提升8已知a、b、cR，且abc0，abc>0，则的值()A一定是正数 B一定是负数C可能是0 D正、负不能确定答案B解析(abc)2a2b2c22(abbcca)0，又abc>0，a，b，c均不为0，a2b2c2>0.abbcca<0，<0.9设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_答案a>c>b解析a2c22(84)46>0，a>c.>1，c>b.10已知pa(a>2)，q2a24a2(a>2)，则p、q的大小关系为_答案p>q解析pa222·2

15、4，a24a22(a2)2<2，q<224p.11.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案对角线互相垂直解析本题答案不唯一，要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可12若1<x<1，1<y<1，求证：()2<1.证明要证明()2<1，只需证明(xy)2<(1xy)2，即x2y22xy<12xyx2y2，只需证明x2

16、y21x2y2<0，只需证明(y21)(1x2)<0，即(1y2)(1x2)>0(*)因为1<x<1，1<y<1，所以x2<1，y2<1.从而(*)式显然成立，所以()2<1.13求证：抛物线y22px(p>0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x相切证明(如图)作AA、BB垂直于准线，取AB的中点M，作MM垂直于准线只需证|MM|AB|.由抛物线的定义：|AA|AF|，|BB|BF|，所以|AB|AA|BB|.因此只需证|MM|(|AA|BB|)，根据梯形的中位线定理可知上式是成立的所以以过焦点的弦为直径的圆必与x相切三、探究与拓展14已知a、b、c是不全相等的正数，且0<x<1.求