随机变量及其分布

1、第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量一、 概念对于随机试验：E甲,乙两人同时向某目标射击一次中靶情况E: ，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。定义：随机变量是定义在样本空间S=上的一个单值实函数，记作X=X(),简记为X。二、 分类1、 离散型随机变量2、 非离散型随机变量§2.2离散型随机变量一.离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:取这些值的概率为P(X=i)= pi ,i=1,2,. (2.1) 称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下: X P 上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以

2、表示成下列矩阵的形式：离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。 根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质（1）pi0,i=1,2,.（2）常见的几种分布1、 单点分布例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）2、0-1分布例:若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为 X 0 1 P q p0<p< 1,q=1-p，或记为P()=pkq1-k ,k=0,1则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。3、 几何分布例: 一射手每次

3、打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0<p<1),不中的概率为q=1-p.今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为 X 1 2 3 k P pqpq2p qk-1p 或记为()=, k=1,2, .则称X服从参数为p的几何分布。4、超几何分布例:设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定nN-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为,m=0,1,k,k=min(M,n) 则称X服从超几何分布。(二） 二项分布 在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为 P( X= k )=

4、,k=0,1,2,¼,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为。例2:P39.例3:P40.在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？泊松分布1 定义若离散型随机变量X的分布为，k=0,1,2,¼其中常数l>0，则称X服从参数为l的泊松分布,记为。2 泊松Poisson定理P41,设有一列二项分布XB(),n=1,2, .,如果 , 为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有证略。例5:P43.例6:P44,自学。§2.3随机变量的分布函数一、概念定义2.1设X是一随机变量（不论是离散型还是非离

5、散型），对任意的实数,令 (2.11)则称F（）为X的分布函数。例1:（书上例2.8）设X服从参数为p的（0-1）分布，即：,=0,1,其中0<p<1,q=1-p.求X的分布函数F().例: 设R.V. X的分布函数为求X的概率分布。二、性质性质1 若1<2,则F(1)£F(2).即F()是的单调不减函数。性质2对任意的实数，均有 0£ F()£1 (2.15)且 (2.16) (2.17)性质3对任意的实数0,有 (2.18)即F()在轴上处处右连续。证明见P-44.性质4若F()在X=0处连续，则P(X=0)=0性质5P(a<X

6、3;b)=F(b)-F(a)例: 设的分布为确定A ,且求P(-1<£2)§2.4连续型随机变量一、 定义2.2设随机变量X的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数，均有 F()= (2.20)则称X是连续型随机变量，称f()是X的概率密度或密度函数，简称密度。二、图形例如：正态分布密度函数图形：data normal;do i=-3to3by0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;procgplotdata=normal;plot z0*i=1;symbol1v=none

7、i=join r=1c=black;run;分布函数图形：data normal;do x=-3to5by0.01;y=PROBNORM(x);output;end;run;procgplotdata=normal;ploty*x=1;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;三、性质性质1f()0 (2.21)性质2 (2.22)性质3 P(a<Xb)=F(b)-F(a)= (2.23)性质4在f()的连续点处，有=(2.24)性质5在f()的连续点处，当>0,且很小时，有 P(<X)=+几点说明：1 由5可以看出f()值的大（小）反映在邻域概

8、率的大（小）。2 连续型随机变量X取任一点0的概率为零。即：P(X=0)=0。3 连续型随机变量X的密度函数为f(),则它取值于区间（a,b）、（a,b、a,b）、a,b上的概率都相等，即同理，。4连续型的F()是连续函数。但f()不一定是连续的。例1：（P51）设计R.V.X具有概率密度确定常数K,并求PX>0.1指数分布：例：(第一版)设R.V.(1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(); (3)P。例：(第一版)已知随机变量（1） 确定A和B；（2）求；(3)求二、均匀分布例：设R.V.，称X在,b上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(a<Xa+s)(a<a&l

9、t;a+s<b)。(3)写出X的分布函数F()。定义：若随机变量X的概率密度为则称X在上服从均匀分布，记为XUa,b,相应的分布函数为一般地，设是轴上一些不相交的区间之和，若的概率密度为则称X在D上服从均匀分布。如果，则对于满足的任意的,有= (2.32)三、指数分布若随机变量X的概率密度为（2.33）其中常数，则称X服从参数为l的指数分布，相应的分布函数为 (2.34)例：（第一版书上例2.12）经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的Dth内损坏的概率为，其中l是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略四、正

10、态分布1、定义：若随机变量X的概率密度为 , (2.35)其中都为常数且，则称X服从参数为的正态分布，记为，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为（2.36）2、 验证3、 作出的图形，得驻点，得，作图SAS程序：data normal;do i=-3to3by0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;procgplotdata=normal;plot z0*i=1;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。data normal;r

11、etain _seed_ 0;do _i_ = 1to1000; z = 0 + 1 * rannor(_seed_);output;end;drop _seed_ ;run;procgplotdata=normal;plot z*_i_=1 ;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;4、 性质：（1） f(x)的图形是关于直线x=m对称的曲线（2） 为最大值，当x远离m时，f(x)®0（3） 当m固定而s变化时对图形的影响，s小大，分布曲线在形成陡峭的高峰。s大小，分布曲线在变成缓峰。m=2, s=0.5, 1, 2data normal;do i=

12、-2to6by0.01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.1415926);output;end;procgplotdata=normal;plot z0*i=1z1*i=1z2*i=1/overlay;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;m=2, s=0.5, 1, 2, 5, 10图形：data normal;do i=-5to9by0.01;z0

13、=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.1415926);z3=exp(-(i-2)*2/(2*25)/(5*sqrt(2*(3.1415926);z4=exp(-(i-2)*2/(2*100)/(10*sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;procgplotdata=normal;plot z0*i=1z1*i=1z2*i=1z3*i=1z4*i=1 /overla

14、y;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;（4） 当s固定而当m变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。如图：s=1, m=0, 2data normal;do i=-3to5by0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;procgplotdata=normal;plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;分布函数图：da

15、ta normal;do x=-5to10by0.01;y=PROBNORM(x);output;end;run;procgplotdata=normal;ploty*x=1;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;3、标准正态分布与有关概率的计算若,则称X服从标准正态分布，其概率密度、分布函数分别记为(x)= (2.37)(x)= (2.38) 注意：(0)=0.5(-x)=1-(x)一般，若，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。引理(P55):若，则证：作变换,.学会查附表2：标准正态分布表。注意表中公式的正确形式为：注：如果用SAS算出附表2

16、，需要时间不到1秒钟。data normal;do z=0to4by0.01;Prob=PROBNORM(z);output;end;proc print noobs;run;这样还可以算出其它任意条件的概率。如利用即(2.43)对任意的实数1,2 (1<2)，利用(2.43)式可得() (2.44)1-() (2.45)()-() (2.46)比如：, m=1.5 s=2时：全部概率值：data normal;do z=0to4by0.01;Prob=PROBNORM(z-1.5)/2);output;end;proc print noobs;run;P(X>0)=data ;P

17、rob=1- PROBNORM(0-1.5)/2); Put prob=;Run;Prob=0.773372647P(-1<X<2)=data ;Prob= PROBNORM(2-1.5)/2)- PROBNORM(-1-1.5)/2); Put prob=;Run;Prob=0.493056552例1： X服从N(1,4),求P(x£1.6) , P(0<x£1.6) , P(|x|>4)解：请大家通过变换后查表得出结果。并与下面的结果进行对比。data ;prob=probnorm(1.6-1)/2); put prob=;prob=probno

18、rm(1.6-1)/2)- probnorm(0-1)/2); put prob=;prob=1-probnorm(4-1)/2)+probnorm(-4-1)/2); put prob=;run;P(x£1.6)=0.6179114222P(0<x£1.6)=0.3093738835P(|x|>4)=0.0730168666例3 P56 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为

19、多少解：(1)data ;prob=probnorm(89-90)/0.5); put prob=;run;P(X<89)=0.0227501319(2)要求0.99PX>80即 PX<800.01P(X-d)/0.5<(80-d)/0.50.01(80-d)/0.5-2.326347874data;Z=probit(.010); putZ=;run;Z=-2.326347874定义：设XN(0, 1)，若满足条件,则称点为标准正态分布的上分位点。书上57页图例：下分位数：data;Z1=probit(.001); putZ1=;Z2=probit(.0025); pu

20、tZ2=;Z3=probit(.005); putZ3=;Z4=probit(.010); putZ4=;run;Z1=-3.090232306 ()Z2=-2.807033768 ()Z3=-2.575829304 ()Z4=-2.326347874 ()上分位数：data;Z1=probit(1-.001); putZ1=;Z2=probit(1-.0025); putZ2=;Z3=probit(1-.005); putZ3=;Z4=probit(1-.010); putZ4=;run;Z1=3.0902323062Z2=2.8070337683Z3=2.5758293035Z4=2.32

21、6347874本人不同意分为上下分位数，分位数就是分位数，定义为：若满足条件,则称点为随机变量的分位数。单边的, 双边的，注意和以均值为中心，1,2,3倍标准差宽度区间的概率值的区别。SAS的两种计算公式：data;p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;p2=PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;p3=PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039data;p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=

22、;p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。Data;q1=abs(probit(1-0.6826894921)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.9544997361)/2);put q2=;q3=abs(probit(1-0.9973002039)/2);put q3=;run;q1=0.9999999999q2=

23、2q3=2.9999999959data;q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959注意：为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差距离。Data;q1=abs(probit(1-0.9)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.95)/2);put q2=;q3=abs(prob

24、it(1-0.98)/2);put q3=;q3=abs(probit(1-0.99)/2);put q3=;run;q1=1.644853627q2=1.9599639845q3=2.326347874q3=2.5758293035比如，=0.95等的结论也是常用的。几乎都成常识了。以下例1-4为第一版内容。例1： X服从N(1,4),求P(x£1.6) , P(1<x£1.6) , P(|x|>4)例2： 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少例：（书上例2.14）某市高校高等数学统考，假定考生成绩X。现已知80分以上者占总人数的33%,40分以下者占总人数的8%,求考生的及格率（即60分以上者占总人数的百分比）。例3：（书上例2.15）一桥长60cm,以桥的中心为原点，沿着桥的方向引入坐