2019_2020学年高中数学计数原理2杨辉三角与二项式系数的性质练习含解析新人教A版选修2_3

1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A 基础达标1 .若 x3+JIneN*）的展开式中只有第 6 项系数最大，则该展开式中的常数项为（）A.210B.252C.462D.10解析：选 A.由于展开式中只有第 6 项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11,从而n=10,于是得其常数项为 C60=210.2.（1+x）n（3-x）的展开式中各项系数的和为 1024,则n的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：选 B.由题意知（1+1）n（31）=1024,即 2n+1=1024,所以 n=9.故选 B.3.（2019烟台高二检测）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与

2、第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.29解析：选 D.因为（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以 C3=C7,解1得 n=10,所以二项式（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为-x210=29.4.已知（3x）n=a0+ax+a2x2+anxn,若其第 2 项的二项式系数与第 4 项的二项式系数相等，则a。一&+%+（1）nan=（）(1) 32B.64D.256解析：选 D.由题意可得 d=d,所以 n=4.令 x=1,则(3x)=(3+1)=aa1+a2a3+a4=256.所以 aa+&

3、;+(-1)nan=256.解析：选D.令x=1得3n=a+a+a2+a2n1+a2n.令x=1得1=a0a+a2一a2n1+a2n.C.1285.设(1+x+x2)n2n=ao+ax+a2x+a2nx,则a0+a2+a4+a2n等于()nA. 2B.3=12C. 2n1D.3n+12+得 3n+1=2(a0+a2+a2n),3n+1 二所以ao+&+a2n=-2.故选D.6 .已知(ax)5=ao+aix+&x2+asx5,若a2=80,则ao+ai+a2+as=解析：展开式的通项为Tr+1=(1)展a5x,令 r=2,则 a2=(1)2C5a3=80,即 a=2,故(2x)

4、5=a0+a1x+a2x2+asx5,令 x=1,得a0+a1+a5=1.答案：17 .若(1+，2)5=a+W2(a,b为有理数)，则 a+b=.解析：因为(1+m)5=C5()0+C5(m)1+反乖)2+&乖)3+&、)4+戊乖)5=1+5+20+202+20+4/2=41+292,由已知可得 41+29，2=a+by2,所以 a+b=41+29=70.答案：708 .(x+1)(x2)=a0+a1(x1)+a2(x1)+a3(x1)+an(x1),则a+a2+a3+an 的值为.解析：令 x=1,得a0=-2.令 x=2,得a0+a+a2+an=0.所以a1+&+

5、a3+a*=2.答案：29 .设(2，3x)100=ao+ax+a2x2+a100 x100,求下列各式的值：(2)a。；(3)a1+a2+a3+&+2100；(4)a+a3+a5+a99；(4)(a0+a2+a100)一(a+a3+a99)；(5)|a|+|a+|a100|.解：(1)令x=0,可得a=2100.(2)令 x=1,可得ao+a1+a2+a100=(2f3),(*)所以a+&+a100=(23)1002100.(3)令 x=-1.可得a0a1+a2a3+a100=(2+小)100.与(*)式联立相减得若 Tr+1为常数项，则1065r=0,即r=2,故常数项为飞

6、=(1)2C2 435 一=27,于是有 2n=27,得 n=7.3nc73/a 展开式的二项式系数和为 2n=27=128.(2)3737r3-0a 的通项为 Tr+1=C7ja(一,Js)=C7(1),37,a5r216-所以所求a1项的二项式系数为 C3=35.B 能力提升11.若(12x)2017=a+-x+a2017X2017(xCR),则+|2黑的值为(A.2B. 0C. -2D. 1(4)原式=(a0+a2+a)+(ai+a3+a99)(a()+&+a)(a+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100),(a0a1+a2a3+a98a99+a100)=(23)(2+3)

7、1100=1.(5)因为Tr+1=(1)rCr002100r(5)rxr.所以a2k10(kNj.所以|ao|+|a+|a?|+,+|a1oo|=a。一a1+a2a3+,+a1oo=(2+-3).求:3/an展开式的二项式系数和;依题意，令 a=1,得工”展开式中各项系数和为(3-1)n=2n,4 折一扁5ai+a3+a99=(2后-(2+通10010.已知n的展开式的各项系数之和等于 4 强,5b5的展开式中的常数(2)n展开式中含a-1项的二项式系数.解:展开式中的通项为Tr+1=C5(43/b)5r看(1)&5r.52b卡解析：选D.(12x)2017=a()+aix+a2017

8、X2017,令x=-1,12017a1a2a2017_则(12x2)=a0+万+亍+2201/=0,a1a2a2017.其中 a0=1,所以万+22017=11.12.(a+x)(1+x)4的展开式中X的奇数次哥项的系数之和为 32,则 a=.解析：设(a+x)(1+x)4=a0+ax+&x2+a3x3+a4x4+asx5.令x=1,得(a+1)X2=a0+a1+a2+&+a4+a5.令x=-1,得0=a。一a1+a2a3+a4一a5.一，得 16(a+1)=2(ada3+a5)=2X32,所以a=3.答案：3213.已知(x3+3x2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系

9、数的和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.解：(1)令 x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=22n,又展开式中二项式系数的和为 2n,所以 22n-2n=992,解得 n=5,所以展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，2所以F=C5(x3)3(3x2)2=90 x6,T4=C5(x3)2(3x2)3=270 x3.(2)设展开式中第r+1 项系数最大，210+4r则Tr+1=C5(x3)5r(3x?)r=3Cx3,3rs3r展1,79所以 3r院广+1?2r2,又CN,所以 r=4.即展开式中第 5 项系数最大，226T5=c5

10、(x3)(3x2)4=405x3.14.(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示.笫I行第班箫3行笫4行第5行1(1)利用杨辉三角展开(1x)6;(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是 3：4：5?解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是 1,其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第 6 行的二项式系数为 1,6,15,20,15,6,1,所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令 a=1,b=x,得(1x)6=16x+15x220 x3+15x46x5+x6.(2)设在第 n 行出现的三个相邻的数的比是 3：4：5,并设这三个数分别是 d-,d,Ck+1,3cn-厂cr，4c