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1、2006-2007学年第1学期量子力学（B卷）参考答案及评分标准一、简答题（共10题，每小题5分，共50分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在球壳中被测到的几率。解：。2. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。解： 3. 粒子在一维势阱 中运动，波函数为，写出的跃变条件。解： 4. 量子力学中，一个力学量守恒的条件是什么？用式子表示。解：有两个条件：。5. 写出电子自旋的二本征态和本征值。解：；。6. 给出如下对易关系： 解： 7. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正

2、常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。 8. 给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量用或表示的式子；（亦即）的归一化本征态。解：9. 对于阶梯形方势场 ，如果（）有限，则定态波函数连续否？其一阶导数 连续否？ 解：定态波函数连；其一阶导数 也连续。10. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：，写出展开式系数的表达式。解： 。二、证明题（共15分） 11. 为的二本征态，本征值分别为。证明： 矩阵元 之间的关系为 （8分） 在的任何本征态（比如）下，恒有 。（7分）证： 由题意，要求与之关系，由于三者构成封闭的对易关系，故即 同理， 。三、计算题12. 一电子局限在10-14米的区域中运动。已知电子质量9.1110-31千克，试计算该电子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为10-14米的三维无限深势阱计算）。（10分）解：在三维无限深势阱中运动的电子的能量为：。依题意，基态，基态能量 。13. 求 的归一化常数。（10分） 解： ，可取 。14. 一维无限深势阱中的粒子，受到微扰 的作用，求基态能量的一级修正。（15

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