2017届九年级数学上册21一元二次方程学案1新华东师大版

1、22.1一元二次方程课前知识管理3一元二次方程的定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程.理解一元二次方程的概念时应注意：形如ax2+bx+c=0的方程不一定是一元二次方程.当a#0时，是一元二次方程；当a=0,且b#0时，是一元一次方程.注意一元二次方程应满足的条件：（1）是整式方程，即方程两边都是关于未知数的整式；（2）只含有一个未知数（即一种未知数）；（3）未知数的最高次数是2（即未知数的指数最高是4.2 .要判定一个整式.方程是不是一元二次方程，一般需要将这个整式方程变形成为ax2+bx长=0的形式.变形时，允许去分母、去括号、移项、合并同类项.在

2、变形之后的形式ax2+bx+c=0中，若a#0,则原来的方程便是一元二次方程；否则就不是一元二次方程.如：x（2x3）=1=2x23x1=0,所以它是一元二次方程；而2x2+3x=2x21=3x+1=0,它不是一元二次方程.3一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a,b,c是已知数，a#0）.它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次三项式，右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c 叫做常数项.任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式，在理解一元二次方程的一般形式时，要注意以下几点：在求一元二次方程各项的系数时，首先必须把一元二次方

3、程化成一般形式；二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的4一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根名师导学互动典例精析1.一元二次方程的识别【例【例 1】下列方程中，关于x的一元二次方程是（）211-A.3（x+1）=2（x+1）B.22=0 xxC.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x21【解题思路】因 B 中的分母含有未知数，所以它不是一元二次方程.C 中字母a没有强调不为0,若a=0,则 C 中未知数的最高次数低于 2,因此，不能肯定 C 中的方程是否是一元二次方程.D中方程化简后是一元

4、一次方程.只有 A 中的方程符合一元二次方程的三个条件.【解】选【解】选 A.【方法归纳】（1）判断一个方程是否是一元二次方程，应以化简后的结果为准.如化简前含有未知数是 2 次的项，但是化简后未知数最高次数是 1,那它就不是一元二次方程；（2）当方程中含有字母系数（又叫参数）时，应区分未知数和字母.如“关于x的方程”，则表明x是未知数，而方程中其它字母均是常数；（3）“X元X次方程”中的“元”指未知数，“次”指未知数的最高次数8 .确定方程中未知字母的值【例【例 2】方程（mix1m+3mx1=0 是关于x的一元二次方程，则（）【解】选【解】选 B.【方法归纳】二次项系数不为 0 是一元二次

5、方程的前提条件，未知数指数含字母常常出现讨论不全面而造成漏解或增解.9 .确定一元二次方程例 3设a是二次项的系数，b是一次项的系数，c是常数项，且满足石二1十（b2）2+|a+b+c=0,求满足条件的一元二次方程为la-1-022【解题思路】由Ja-1+(b2)+|a+b+c=0,得b-2=0,解得abc=0a=1,b=2c=.-3a是二次项的系数，b是一次项的系数，c是常数项，所求的方程为x2+2x-3=0.【解】【解】x22x-3=0. .【方法归纳】此题关键是理解算术平方根、完全平方数和绝对值的非负性，即aT0,（b-22之0,a+b+c之0.求解时主要应用性质：有且只有使各项为 0

6、时，几个非负数的和才为 0.无论题中的非负数是哪种形式，都可以应用此结论列方程组求出多个未知数的值.4、一元二次方程的根32.【例【例 4】已知 2 是关于x的万程3x2a=0的一个根，则a的值为（）2A、2B、一 C、3D、一一12【解题思路】利用方程根的定义，可以先将关于x的方程转化为关于a的方程，从而求出a2232的值.因为 2 是关于x的万程x2a=0的一个根，所以一M22a=0,解得a=3.22【解】选【解】选 A.【方法归纳】由本题分析，我们可得以下发现：涉及基本概念的问题应充分利用基本概念；代解、求解是解决与方程有关的问题的两个基本方法易错警示k2_2【例【例 5】如果关于x的万

7、程（k-2）x+kx+1=0是一元二次方程，则k的值是A、2B、2C、2 或2D、0A.n=2B.m=2C.【解题思路】由于一元二次方程中未知数的最高时，原方程变为6x+1=0,它是一元一次方程4x2+6x+1=0,它是一元二次方程.m=-2D.2次数是 2,所以|m=2,即 m=2.但当 m=-2,不合题意，舍去.当m=2 时，原方程变为【错解】由k22=2,得k=2,故选C.2.【镐因分析】一兀一次万程ax+bx+c=0中隐含着一个相等关系和一个不等关系，相等关系是未知数x的最高指数等于 2；不等关系是二次项系数a#0,错解正是忽视了这个不等关系造成的.【正解】由k22=2,得k=2,由k

8、200,得k/2,故只能是k=2,选B.课堂练习评测知识点 1：列一元二次方程1(2010 贵州毕节)某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008 年投入 3000万元，预计 2010 年投入 5000 万元.设教育经费的年平均增长率为 X,根据题意，下面所列方程正确的是()A.3000(1+x)2=5000B.3000 x2=50003000(1x%)2=500023000(1x)3000(1x)2=5000知识点 2:一元二次方程的识别2.下列方程一定是关于 x 的一元二次方程的是()(A)1x2+1-2=0(B)ax2+bx+c=0(C)(n2+1)x2+n=0(D)m2+3x=

9、n11.有下列万程：2x23=0;=1;yy2+1=0；ay2+2y+c=0(其x2-12，3中a为常数)；(x+1)(x3)=x2+5;x-x2=0.其中是整式方程的有,是一元二次方程的有.(只需填写序号)知识点 3：确定一元二次方程.(2010 年福建德化)已知关于x的一元二次方程的一个根是 1,写出一个符合条件的方程：.a21.右万程(a1)x+5x=4 是一元二次万程，则a=.关于x的方程(m216)x2+(m+4)x+2m+3=0.当 m 时，是一元一次方程；当m时，是一元二次方程.知识点 4:一元二次方程的根.下列各组取值是方程(x1Xx8)=-12的根的是()A、x=24x=3B

10、、x=3 或x=4C、x=4x=5D、x=5 或x=6课后作业练习基本能力1.方程(x-1jx+3)=12化为ax2+bx+c=0形式后，a,b,c的值为()(A)1,-2,15(B)1,-2,15(C)1,2,15(D)-1,2,-15.把方程(13x)(x+3)=2x2+1 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，二次项系数一次项，一次项系数及常数项.(2010 大兴安岭)代数式 3x24x5 的值为 7,则x24x5 的值为.32.万程6x=5x+2中，二次项系数、一次项系数与常数项的和为2_.在一 3,2,1,0,1,2,3 这七个数中，是万程x3x+2=0的根的是拓展能力.(201

11、0 年浙江台州)某种商品原价是 120 元，经两次降价后的价格是 100 元，求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为x,可列方程为.1227.在解万程+2x=x-3时，如果设y=x-2x,那么原方程可化为关于y的一x-2x元二次方程的一般形式是.在下列方程：3x2+J2(1+x)+1=0;3x2+1+1=0;4x2=ax(其中a为常数)；x2x2+3x;3x+1=2x;J(x2+x)2=2x；|x2+2xI=4.其中是一元二次方程的5有.(只需填写序号).方程 5(x2-%/2x+1)=3&x+2 的一般形式是,其二次项系数是,一次项系数是,常数项是.关于x的方程(a1)x2

12、2ax+a=0,当a为何值时该方程是一元一次方程？当a为何值时该方程是一元二次方程？拓展探究.请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程：.方程(m+2km+3mx+1=0是关于 x 的一元二次方程，则m的值为.若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1.（2010 年佛山市）教材或资料出现这样的题目：把方程 1x2_x=2 化为一元二次方2程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：（1）下面式子中有哪些是方程 1x2X=2化为一元二次方程的一般

13、形式？（只填写序号）21x2-x-2=0，Lx2+x+2=0，x22x=4,_x2+2x+4=0,22、.3x22、3x-4.3=0（2）方程Lx2-x=2 化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和 2常数项之间具有上面关系？课堂作业练习答案.答案：A.答案：C.答案：、.、；、.答案：先写出一个关于 1 的平方的等式，然后再用未知数x代替 1 即可等到符合题意的一元二次方程.答案不惟一，如x2=1等.答案：1.答案：4,w4.答案：C课后作业答案：7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205

14、f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：C7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.解析：原方程化为一般形式是：5x2+8x2=0（若写成一 5x28x+2=0,则不符合人们的习惯）,2其中二次项是 5x,二次项系数是 5,一次项是 8x,一次项系数是 8,常数项是2（因为一兀二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的负号）.7-Numbered_88b9fac2-6e3

15、2-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：17-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：17-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：1,2

16、7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：120（1-x）2=1007-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：y23y1=07-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de

17、4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案：、.7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.答案:5x22/x+3=0,5,2亚,3.7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.解：由一元二次方程和一元一次方程的概念可知，当a#1时，该方程是一元二次方程，而当a=1且a#0时，该方程是一元一次方程.227-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d95127f733-Numbered.解：答案不唯一，如x1=0,x+x2=0等.7-Numbered_88b9fac2-6e32-4edf-bb06-232a4b599c7b-Numbered_dd43205f-de4c-4b6b-8d11-42d