11分类加法计数事理与分步乘法计数事理

1、人教A版 选修2 3精讲细练1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识精讲i计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m种不同的方法，在第 2类方案中有n种不同的方法.那么 完成这件事共有m+n种不同的方法.完成一件事需要两个步骤，做第1 步有m种不同的方法，做第2步有 n种不同的方法，那么完成这件事共 有m*n种不同的方法.区别一完成一件事有两类不同方 案，关键词“分类”完成一件事需要两个步骤，关键词“分步”区别二每类方案都能独立地完成 这件事，它是独立的、一次 的且每次得到的是最后结 果，只需一种方法就可完成 这件事每一步得到的只是中间结果，任何

2、一 步都不能独立完成这件事，缺少任何 一步也不能完成这件事，只有各个步 骤都完成了，才能完成这件事区别三各类方案之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的2计数原理选取对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准， 设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合 理设计步骤顺序，使各步互不干扰.二、典例细练【题型一】：分类加法计数原理的简单应用例题1:书架上层放有13本不同的数学书，中层放有14本不同的语文书，下层放有15本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法?【解析】要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1类

3、，从上层取一本数学书有13种不同的方法；第2类，从中层取一本语文书有14种不同的方法；第3类，从下层取一本化学书有15种不同的方法.其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为 13+ 14+ 15= 42.【点评】分类的原则：标准一致，不重复，不遗漏. 变式训练：某校高三共有三个班，其各班人数如下表：班级男生数女生数总数高三(1)302050高三(2)303060高三(3)352055(1) 从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？(2) 从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】：(1)从三个班中任选一名学生

4、，可分三类:第1类，从1班任选一名学生，有50种不同选法;第2类，从2班任选一名学生，有60种不同选法;第3类，从3班任选一名学生，有55种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 50 + 60+ 55= 165（种）(2)由题设知共有三类：第1类，从1班男生中任选一名学生，有 30种不同选法; 第2类，从2班男生中任选一名学生，有 30种不同选法;第3类，从3班女生中任选一名学生，有 20种不同选法; 由分类加法计数原理知，不同的选法共有N = 30 + 30+ 20 = 80(种).【题型二】：分步乘法计数原理的简单应用例题2:已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a

5、,b)(a,b M)表示平面上的点，问:(1) 点P可表示平面上多少个不同的点？(2) 点P可表示平面上多少个第二象限内的点 ？【解析】：(1)确定平面上的点P(a,b),可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不 同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法.根据分步乘法计数原理，得到平面 上点P的个数为6冷=36.(2)确定平面上第二象限内的点P,可分两步完成:第一步确定a的值，由于a0,所以有2种不同方法由分步乘法计 数原理，得到平面上第二象限内的点 P的个数为32=6.【点评】利用分步乘法计数原理解决问题应注意 :(1)要按事件发生的过程合理分 步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法

6、互相依存，缺一不可，只有各个步骤都 完成才算完成这件事.变式训练1: (2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参 加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A；BiC.2D.；【解析】：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3X3= 9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P=1变式训练2:现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由)65选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(B.6X5X4X3X2A. 56C. 2【解析】：每位同学都有5种选择，

7、则6名同学共有56种不同的选法，故选A.【题型三】：两个计数原理的综合使用例题3:现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.(1)若从中选一人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2) 若每年级各选一名负责人，共有多少种不同的选法？(3) 若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少 种选法？【解析】从高一选一人作总负责人有 50种选法；从高二选一人作总负责人 有42种选法；从高三选一人作总负责人有 30种选法.由分类加法计数原理，可 知共有50 + 42+ 30= 122种选法.(2) 从高一选一名负责人有50种选法；从高二选一名负责人有 42种选法

8、；从高 三选一人作负责人有30种选法.由分步乘法计数原理，可知共有 50 X 42 X 30= 63 000种选法.(3) 高一和高二各选一人作中心发言人，有50X 42= 2 100种选法； 高二和高三各选一人作中心发言人，有42X 30= 1 260种选法； 高一和高三各选一人作中心发言人，有50X 30= 1 500种选法.故共有 2 100+ 1 260+ 1 500= 4 860 种选法.【点评】用两个计数原理解决具体问题时， 首先要分清是 分类”还是 分步”其 次要清楚 分类”或 分步”的具体标准，在 分类”时要做到 不重不漏”在 分步” 时要正确设计 分步”的程序，注意步与步之间

9、的连续性.变式训练：7名同学中，有5名会下象棋，有4名会下围棋.现从这7人中选2 人分别参加象棋和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【解析】:依题意，既会象棋又会围棋的 多面手”有5+ 4-7 = 2人.方法一：第一类，先从会下象棋但不会下围棋的 3人中选1人，再从会下围棋的 4人中选1人，共有34= 12(种)选法.第二类，先从既会下象棋又会下围棋的 2人中选1人，再从会下围棋的剩余 3 人中选1人下围棋，有2X3 = 6(种)选法，由分类加法计数原理得 N= 12+ 6 = 18(种).方法二：第一类，多面手”不参加，从只会下象棋的3人中选1人，从只会下围棋的2人中选1人，共有32 = 6（

10、种）选法.第二类，多面手”中有一人参加象棋有2种选法，再从只会下围棋的2人中选1 人，共有2&二4（种）选法.第三类，多面手”中有一人参加围棋有2种选法，再从只会下象棋的3人中选1 人，共有2X3 = 6（种）选法.第四类， 多面手”都参加，有2种选法，故N= 6+ 4+ 6+ 2= 18（种）.【题型四】：经典问题（1）涂色问题操 场舍区餐 厅教学区例题4 （1）图例题4 （2）图例题4（ 1）:如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色， 为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色若有 5种不同的颜色可选， 则有中不同的着色方案.【解析】：操场可从5种颜色中任选1种着色；

11、餐厅可从剩下的4种颜色中任选 1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的 3种颜色中任选 1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的 3种颜色中 任选1种着色根据分步乘法计数原理，共有 5X4X3X3= 180种着色方案.例题4（ 2）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要 求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？【解析】：第一类：1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成，第一步,先涂1 号区域和4号区域,有5种涂法，第二步,再涂2号区域,只要不与1号区域和4号区 域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂3号区域，只

12、要不与1号区域和4号区域 同色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有5X4X4=80种涂法;第二 类:1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，第一步，先涂1号区域，有5 种涂法，第二步，再涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法；第三 步，涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有3种涂法涕四步， 涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法由分步乘 法计数原理知，有5X4X3X3=180种涂法.依据分类加法计数原理知，不同的涂色方 法种数为80+180=260.【点评】反思：涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方

13、法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色为 主分类讨论，适用于 区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；(3)将空间 问题平面化，转化成平面区域的涂色问题.变式训练1:用5种不同颜色给图中的 A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区 域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？【解析】解法一：A可从5种颜色中任选1种着色；B可从剩下的4种颜色中任选1种着 色；C和A、B颜色都不能相同，故可从其余的3种颜色中任选1种着色；D和B、C的颜色都不能相同，故可从其余的 3种颜色中任选1种着色根据分步乘 法计数原理，共有5X4X3X3= 4

14、80种着色方案解法二：先分为两类：第一类，当D与A不同色，则可分为四步完成第一步涂 A有5种方法，第二 步涂B有4种方法，第三步涂C有3种方法，第四步涂D有2种涂法，由分步 乘法计数原理，共有5X 4X 3X 2= 120种方法.第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步涂 A和D有5种方法，第二步涂 B有4种方法，第三步涂C有3种方法，由分步乘法计数原理共有 5X 4X 3 = 60(种)，所以共有120+ 60= 180种不同的方案.变式训练2:用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【解析】：给各区域标记号A、B、C、

15、D、E，则A区域有4种不同的涂色方法， B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D 涂色的颜色，如果 B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种.因此应 先分类后分步.第一类，B、D涂同色时，有4X 3X 2X 1X 2= 48种， 第二类，当B、D不同色时，有4X 3X 2X 1X 1 = 24种, 故共有48 + 24= 72种不同的涂色方法.变式训练3:如图，一环形花坛被分成A,B,C,D四个区域，现有4种不同的花可供数为().选种,要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同种法的种A.96B.84C.60D.48【解析】方法一：先种 A地有

16、4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的 花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D 地有2种，即不同种法总数为 N = 4X 3X (1X 3 + 2X 2) = 84种.方法二：若种4种花有4X 3X 2X 1 = 24种；若种3种花，则A和C或B和D 相同，有2X 4X 3X 2 = 48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4X 3= 12 种.共有 N = 24+ 48 + 12= 84 种.变式训练4:将1,2,3填入3X3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有A. 6种C. 24 种()aB. 12 种丄D.

17、 48 种S【解析】：假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3,此时，其他剩余的 空格都只有一种填法，又第一行有 32X1 = 6种填法.故不同填写方法共有 6X2 =12 种.变式训练5:如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相 邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有（）A. 400种B. 460种C. 480种D. 496种【解析】：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A种相同作物1 种，D、A不同作物3种，.不同种法有6X 5X 4X （1 + 3） = 480种.故选C.变式训练6:有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的 4块试验田中，每块

18、种植一种作物，相邻的试验田（有公共边）不能种植同一种作物，共有多少种不同 的种植方法？ABCD【解析】方法一：第一步，种植 A试验田有4种方法；第二步，种植B试验田有3种方法；第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此 时有1X 3= 3种种植方法.若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有 2种种植方法，共有2X 2= 4种种植方法.由分类加法计数原理知，有 3+ 4= 7 种方法.第四步，由分步乘法计数原理有 N = 4X 3X 7 = 84种不同的种植方法.方法二： (1)若 A、D 种植同种作物，则 A、D 有 4种不同的种法， B

19、有 3 种种植 方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4X 3X 3= 36种种植方 法(2)若 A、D 种植不同作物，则 A 有 4 种种植方法， D 有 3 种种植方法， B 有 2 种种植方法， C 有 2 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 4X 3X 2X 2= 48 种种植方法综上所述，由分类加法计数原理，共有 N= 3648=84种种植方法 .【题型五】：经典问题( 2)组数问题例题 5：用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)四位密码？ (2) 四位数？ (3)四位奇数？【解析】 (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四

20、步：第一 步，选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法；第二步，选取左边第二个 位置上的数字，有 4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法由分步 乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有 N= 5X 4X 3X 2= 120 个(2) 完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4这 4 个数字中选一个数字作千位数字， 共 4 种不同的选取方法， 第二步从 1,2,3,4 中剩余的三个数字和 0共 4个数字选一个数字作百位数字， 有 4种不同的选取方 法；第三步， 从剩余的三个数字

21、中选取一个数字作十位数字，有 3 种不同的选取方法； 第四步， 从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字， 有 2 种不同的选 取方法 由分步乘法计数原理， 可以组成不同的四位数共有 N= 4X 4X 3X 2= 96 个(3) 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步： 第一步定个位，只能从 1、3 中任取一个有两种方法，第二步定首位，把 1、 2、 3、 4 中除去用过的一个还有 3 个可任取一个有 3 种方法，第三步，第四步把剩 下的包括 0在内的还有 3个数字先排百位 3 种方法，再排十位有 2种方法由分 步乘法计数原理共有 2X 3X 3X 2= 36 个变式训练 1：从集合 0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a， b 组成复数 abi，其中虚数有 ( )A. 30 个B. 42 个 C . 36 个D. 35 个【解析