微积分基本知识

1、微积分基本知识第一章、 极限与连续一、数列的极限1. 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数Xi,|汁Xn,川叫数列，记作Xn，并吧每个数叫做数列的 项，第n个数叫做数列 的第n项或通项 界的概念：一个数列Xn ，若 M 0，s.t对n N*，都有Xn M，则称人是有界的：若不论M有多大，总 m N*， s.t Xm M，则称Xn是无界的若a Xn b，则a称为Xn的下界，b称为xn的上界Xn有界的充要条件：Xn既有上界，又有下界2. 数列极限的概念定义：设Xn为一个数列，a为一个常数，若对0，总 N , st当n N时，有Xn a则称a是数列Xn的极限，记作lim Xn a或xna(

2、n )n数列有极限时，称该数列为 收敛的，否则为发散的 几何意义：从第N 1项开始，Xn的所有项全部落在点a的邻域(a ,a )3. 数列极限的性质 唯一性收敛必有界保号性：极限大小关系数列大小关系(n N时)二、函数的极限1. 定义：两种情形x Xo :设f (x)在点Xo处的某去心邻域有定义，A为常数，若对 0，0，st当0 x x0时，恒有f (x) A 成立，则称f (x)在x x0时有极限A记作 lim f (x) A或 f (x) A(xx0)X X0几何意义：对0，s.t 当 0X X0时，f(x)介于两直线y Ast当0 x x0时，恒有f (x) A 成立，称f (x)在X)

3、处有右极限A，记作 lim f(x) A或 f(x) Ax xlim f (x) A的充要条件为：f(x)f(x) = AX x垂直渐近线：当lim f (x) 时，x X。为f (x)在x处的渐近线X x0 X :设函数f(x)在X b 0上有定义，A为常数，若对 0, X b,st 当x X时，有| f (x) A 成立，则称f (x)在x时有极限A，记作im f (x) A 或 f (x) A(x )lim f (x) A 的充要条件为：lim f (x) lim f (x) AXXX水平渐进线：若lim f (x) A或lim f (x) A，则y A是f (x)的水平渐近线Xx2.

4、函数极限的性质：唯一性局部有界性局部保号性(在当0 |x x0时成立)三、极限的运算法则1. 四则运算法则设 f(x)、g(x)的极限存在，lim f(x) A,lim g(x) B 则 lim f(x) g(x) A B limf (x)g(x) AB lim f(x)- (当 B 0 时)g(x) B lim cf (x) cA ( c为常数) lim f (x)kAk( k为正整数)2. 复合运算法则设 y f (x)，若 lim (x) a，则 lim f (x) f (a)X X)X X0可以写成lim f (x) f lim (x)(换元法基础)x X0x X0四、极限存在准则及两

5、个重要极限1 极限存在准则夹逼准则设有三个数列Xn ,yn ,Zn ,满足YnXnZn,lim ynlim zna贝V lim xnannn单调有界准则 有界数列必有极限3. 重要极限limX 0sin xX1 lim 1 -1或lim 1 x匸 eX 0五、无穷大与无穷小1. 无穷小：在自变量某个变化过程中lim f(x)0 ,则称f (x)为x在该变化过程中的无穷小探 若f(x) 0，则f(x)为x在所有变化过程中的无穷小若f (x) ，则f(x)不是无穷小性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小2. 常量与无穷小的乘积为无穷小3. 有限个无穷小的乘积为无穷小4. 有极限的量与无穷小的乘积为

6、无穷小5. 有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim f(x) A的充要条件是f(x) A (x)，其中(x)为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(x),(x)，为同一变化过程中 的无穷小若 lim -c (c 0常数)则是的同阶无穷小(当c 1时为等价无穷小)若 lim -c ( c 0常数)则是的k阶无穷小若 lim -0则是的高阶无穷小常用等价无穷小：(x 0) x sin x 怡玄nxarcsinxarctanxln(1 x)NeX 1;x2cosx ； (1IT 2x) 1N x ; ax 1“xlna2无穷大：设函数f(x)在xo的某去心邻域有定义

7、。若对于 M 0 ,Os.t当0 xx0时，恒有f(x) M称f(x)当xXo时为无穷大，记作lim f (x)x Xo无穷大定理：lim f (x)无穷小lif)为无穷小(下：趋于某点，去心邻域不为 0)If)为无穷大探 无穷大的乘积为无穷大，其和、差、商不确定六、连续函数1 定义设函数y f (x)在Xo某邻域有定义，若对0， Ost当0 x xo时,恒有： f(x) f(x。)也可记作 lim f (x) f (x0)或 lim y 0x x0x 0f(X) f(X)(或 f(X) f()为左(或右)连续2 函数的间断点第一类间断点：左右极限存在左右极限相等，该处无定义左右极限不等可去间

8、断点 跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3. 连续函数的运算若函数f (X)与g(x)都在X处连续，则函数f (x)f (x) g(x)， f (x)g(x)，( g(x) 0 )g(x)定理：y fg(x)， g(x) U0，若g(x)在x处连续，f (g)在u处连续，则yfg(x)在X0处连续4闭区间连续函数的性质 最值定理：f (x)在a,b上连续，贝V x!,x2，对一切x a,b有f(xjf(x)f(X2)介值定理：f(x)在a,b上连续，对于f(a)与f(b)之间的任何数u，至少 一点s.t f ( ) u导数、导数的概念定义：设函数yf(x)在点X0的某邻域有定义，

9、如果极限lim f (xox) f(X。)x 0存在，则称函数y f (x)在点Xo可导，极限值为函数y f (x)在点x0处的导数，记为f (xo)单侧导数：设函数y f(x)在点x0处的左侧(x0,x0有定义，若极限lim f (xox) f (xo)x o存在，则称此极限为函数xy f (x)在点xo处的左导数，记为f (xo)，类似有右导数f (xo)导函数：函数y f(x)在某区间上可导，贝yf (x x) f (x) f (x) limx oxII性质：函数y f (x)在点xo处可导的充要条件f (xo) f (xo)可导连续导数的几何意义：函数点处的切线斜率二、求导法则1 函数

10、的和、差、积、商的求导法则定理：若u u(x),v v(x)都在x处可导，则函数u(x) v(x)在x处也可导，且u(x) v(x) u (x) v (x)定理：若u u(x), v v(x)都在x处可导，则函数u(x)v(x)在x处也可导，且IIu(x)v(x) u v uv推论：若ui,|,un都在x处可导，则函数5氏|片在x处也可导，且定理：若u u(x),v v(x)都在x处可导，贝y函数在x处也可导，且 v(x)u(x) u v uvv(x)v22 反函数的求导法则定理：设函数x g(y)在I y上单调可导，它的值域为lx，而g(y)0，则其反函数y g 1(x) f(x)在区间lx

11、上可导，并且有f(x)(X。)可导，则复合函数4. 复合函数的求导法则定理：若函数u(x)在X。可导，函数y f(u)在点uoy f ( (x)在X。处可导f( (x) f( (x) (x)三、高阶导数或dx號(连锁规则)定义：若函数y f(x)的导数yf(x)仍可导，贝V y f(x)导数为y f(x)的二阶导数，记作y,f(x)，写， 类似的，有n阶导数y(n),f(n)(x),ydxdx四、隐函数求导对于 Fx, y(x)0 ,或 Fx, y(x) Gx, y(x)，若求鱼dx求导法：方程两侧对x求导微分法：方程两侧求微分I公式法：dy 昌，将方程化成Fx, y=0,将F看成关于x,y的

12、二元函数，分dx Fy别对x,y求偏导Fx,Fy五、参数方程所确定的函数求导x(t) dydydtdy / dxyty(t) dxdJdxdt dt(t)xt导数公式基本函数：C 0(x )1x(ax) ax ln a(log ax)1xln a(sin x)cosx1(cos x)sin x1(cot x)2 csc x1(secx)secx ta n x导数运算法则:(u v) u v(cscx)(arcsin x)(arccosx)(arcta nx)(arccot x)(Cu)CSC x cot X1厂X211 x2Cu(uv) u v uvuv2 v(u v)(n) u(n)v(n)

13、(n)(uv)nC：uk 0(n k)v(k)高阶导数Cf (axb)(n)Can f (n)(ax b)n (m)(x )m nAn xm,( n N )若m n,则 01 (n)1)啤x(ax)(n)x na In a(log a x)(1)n(si nx)sin(xy)(cosx)(n)cos(x1(n 1)! xn ln a 牛)探 1. o(xn 1) o(x)xn2.叭f(x0)需补充条件f(x)在x0处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定义：设函数y f(x)在某区间I上有定义，xo,xox I ，若y f (xo x) f (xo)可表示为y Ax o( x)(其中A与

14、x无关)，则称A x为y在x0处 的微分，记作dy A x探dy与y的区别：当y为自变量时，dy y当y为因变量时，dy y， y dy o( x)， dy为y的线性主部定理：对于一元函数y f (x)，可导 可微性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分dny f(n)(x)(dx)n二、微分的几何意义“以直代曲”三、微分中值定理中值定理条件结论Rollea,b上连续,(a,b)上可导, f(a) f (b)至少存在一点 ，使得f( ) 0Lagra ngea,b上连续，(a,b)上可导f(b) f (a) f b aCauchya,b上连续，(a,b)上可导，g (x)0f(b) f (a)

15、f() g(b) g(a) g()有限增量定理：y f (x x) x (01) L Hospital 法则:0型未定式定值法：f(x),g(x)在x0的某去心邻域有定义，且0lim f (x) lim g(x) 0 , f (x), g(x)在 x0 的某去心邻域可导，且 g (x)0x Xox xolim 3x X。g (x)lim 3 A ,则有 lim 3x xo g (x)x xo g(x)0类似，0 ，1，o0， 四、函数的单调性与极值1. 单调性：定理：设函数y f (x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则导数符号原函数单调性f(x) 0/f(x) 02. 极值定义：设函数y

16、 f (x)在点xo某邻域有定义，若对该邻域一切x都有f (xo) f(x)贝U f (xo)是函数f (x)的一个极大值，点Xo为函数f (x)的一个极大值点。(极小值类似)函数取得极值的一阶充分条件函数y f (x)在点Xo去心邻域可导，且在Xo处可导或导数不存在，贝V：当XXo时，f (X)0， xXo时，f (X)0,则f(Xo)是极大值当XXo时，f(x)0， xXo时，f(x)0,则f (Xo)是极小值无论X Xo还是Xx0，总有f(x)0 (或f(x)0 )，则f(Xo)不是极值函数取得极值的二阶充分条件IH函数y f(x)在点Xo处具有二阶导数，且f (Xo) 0，f (Xo)

17、 0，则 若f (Xo) 0，则f (Xo)是极小值 若f (Xo)0，则f(Xo)是极大值第四章、不定积分一、不定积分的概念和性质1. 原函数与不定积分原函数：设f(x)在|上有定义，若对 XI，都有F (x) f (x) 或 dF (x) f (x)dx则称F(x)为f (x)在I上的一个原函数原函数存在定理：若函数f(x)在I上连续，则在I上 可导函数F(x)，s.t对x I，都有F(x)f (x)。即连续函数一定有原函数不定积分：设F(x)使f(x)的一个原函数，C为任意常数，称F(x) C为f(x)的不定积分，记作f(x)dx F(x) C几何意义：积分曲线族2. 不定积分的性质：

18、积分运算与微分运算为互逆运算 f(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx k 0二、换元积分法1. 第一类换元积分法定理：设f(u)有原函数，且U (X)具有连续导数，则f (x) (x)有原函数f (x) (x)dx f(u)du2. 第二类换元积分法定理：设f(x)连续，x(t)具有连续导数，且(t) 0，则f(x)dx f (t) (t)dt，其中 t 1(x)三、分部积分法IIuv dx uv u vdx四、有理函数的积分1. 简单有理函数的积分将真分式P(x)分解为部分分式之和Q(x)对于Q(x)(xa)k形式：应分解成k个部分分式Ax

19、 aA2Ak(x a)2(x a)k对 于 Q(x) (x2 px q)1应分解成I个部分分式Ci x DiC2 x D2C i x D |，J 2- jx px q (x px q) h (x px q) 求4种积分1,1,Cx D ,Cx D ,dx ,kdx,dx,2pdxx a(x a)x px q(x px q)2其中，对于Cx Dp4q p2dx，可令 t x , a(x2 px q)124则(xl dx px q) (t adt，再利用递推法2. 三角函数有理式的积分sin x万能变换：ta n2cosx2u1 u21 u21 u2，dx其他方法:形式换元f (sin x,cos

20、 x)f ( sin x,cos x)t cosxf (sin x,cos x)f (sin x, cosx)t sin xf (sin x,cosx) f ( sinx, cosx)t tan x二、tann xdx 与 cotn xdx n N对于 tann xdx 令 t tanx对于 cotn xdx 令 t cotx、se(? xdx 与 csC xdx n 为偶数 对于 sec? xdx 令 t tan x对于 cscJ1 xdx 令 t cot x四、sinm xcosn xdx当n,m至少有一个为 奇数时，可利用sin2 x cos2 x 1将其转化当n,m均为偶数时，利用2倍

21、角转化五、d sin x bi cosx ,- dxa sinx bcosxA (a sin x令B(acosx分Cbsin x)解出A,B原函数为 Ax Blnasinx bcosx分母积分表kdx kx Cxndx1)dxxIn x CaxdxCIn asin xdxcosxcosxdxsin xtan xdx In cosxcot xdxIn sinsecxdxIn secxtanxcscxdx In cscx cotx2sec xtanxcsc xdxcotxsecxtanxdx secx Ccscx cot xdxcotxr1dx arcsin x、1 x21dx arcta n x

22、 C1x2x2a2dx arcta n - adx aXaXaC丄ln2a1xdxarcs in 、a2 x2a1 dx2 2x aIn第五章、定积分、定积分的定义定义：设函数f (x)在a,b上有界，在a,b任意插入n-1个分点a x0x-iI Xn 1 xn把a,b分成 n 个小区间，XjXiHi 1,2,|, n)记Xi Xj 1，在第i个区间上任取一点i，用f ( i)乘上区间长度 x，即f( i) Xj，并作和f( J xi 1记 max x, x2J|, xn ,无论怎么分割，无论怎么取i，若 0时，nbf( i) xi趋于同一极限，则称此极限为f (x)在a,b上的定积分.记作

23、f (x)dxaf(x)dxnlim0f( i) xi0 i 1可积定理： 函数f (x)在a,b上连续 函数f (x)在a,b上有界，且仅有有限个第一类间断点 函数f (x)在a,b上单调有界二、定积分的性质b kf(x)dxabk f(x)dxab a f(X)g(X)dXbf(x)dxaba g(x)dx区间可加性bf (x)dxacf(x)dxabf(x)dxcb Cdx (b ab f (x) dxaa)C单调性:若a,b上f(x) g(x)则ba f(x)dxbf(x)dxaba g (x)dx 估值性质：设M , m分别为f (x)在a,b上的最大值与最小值，则bm(b a) f

24、 (x)dx M (b a)a 定积分中值定理：若f(x)在a,b上连续，则在区间a,b上至少存在一点，s.tf(x)dxf( )(b a)1 b f (x)在a, b上的平均值为f (x)dxb a aaaa 若f (x)为奇函数，a f (x)dx 0 ;若为偶函数 a f (x)dx 2 f (x)dx(11)o2 f (sinx)dx。彳 f(cosx)dxo xf (sin x)dxf (sin x)dxf(x)为周期函数,af(x)dx0 f (x)dxTT f (x)dx2nTf (x)dxTn 0 f(x)dx三、微积分学基本定理1. 变上限函数x(x) f(t)dt x a,ba定理：若f(x)在a,b上连续，则变上限函数 可导，(x) f(x)2. 原函数存在定理若f (x)在a,b上连续，则函数(x)是f (x)在a,b上的一个原函数3. Newt on-Leib niz 公式(微积分基本定理)f(x)在a,b上连续，F(x)是f(x)在a,b上一