1997年哈尔滨工业大学量子力学试题

1、1997年量子力学考研试题一.氢原子在t =0时刻处于状态r,0 =Cr 2 r , 1 3 r 2 3 2式中， r为氢原子的第n个本征态。(1) 计算 C = ?；(2) 计算t二0时能量的取值几率与平均值；(3) 写出任意时刻t的波函数 r,t o解：(1) 利用归一化条件cW123可知于是，归一化后的展开系数为；3 ；(2) 氢原子的能量本征值为依题意知，能量的可能取值与相应的取值几率为E1E2E3卩e42 2J e4e418 2* , , =24813134 一413* =333W e2 二284而能量的平均值为_3E 八 EiW Ei 二i =14 e2 2 89 2 4 18 2

2、 e4 323 e496 2(3) 任意时刻t的波函数为i 1-屮（r,t）=E c/OJe x p*Ejt 乩（）= i i Ai3- i 】1-（ i33（r ）e xi PT证明:(1) 若一个算符与角动量算符J的两个分量对易，则其必与J的另一个分量对易;(2)在J与JZ的共同本征态|JM下，Jx与Jy的平均值为零， 且当M = J时，测量与Jy的不确定性之积为最小。证明：(1) 设算符F?与角动量算符JX及Jy皆对易，即F,XLIF,J；=0同理可知，若算符f?与角动量算符e及Jz皆对易，则算符f?必与jy对 易；若算符F?与角动量算符Jy及?皆对易，则算符F必与Jx对易， 于是，问题

3、得证。(2)在卩与?z的共同本征态| JM下，JX的平均值为JM ?x JM)= 1jM J+ / JM)由升降算符的性质可知? JM)十 Jj(J + 1)_M(M1)|jM士 1于是有JM JJ JM)二 0同理可证，算符Jy在丨JM下的平均值也为零。在I JM )态上,JM J? JM1 Jm I #? P ?_ JM ；二41 JM P P P P JM ；二 1 (JM PJ (J 1) - M 2 丨 2 - J； JM，42同理可得(JM J JM=-J(J 1)- M2 卜22故有Jx2 Jx2J(J -) M2F 44或者写为-Jx Jy = ：J(J 1) M“ 2显然，当

4、M二J时，上式取最小值Jyi2n2x 0, x b0乞x乞aa x b(见2003年第3题)有一质量为m的粒子，在如下势场中运 x =0,Vo, 试求出束缚能级所满足的方程。解：当E V0时，四个区域的波函数分别为,x - 0w 2(x)= As i (ik.x + 6 ) .2 13 x = Bs i ik2(x)4 x - 0式中，kiJ2mEJ2m E - V。）k2由x = 0处波函数连续可知，二0，由x = b处波函数连续可知 y = - kb再利用x二a处波函数及其一阶导数连续的条件Asin ka = B sin k2a - k2bAk1 coska = Bk2 cos k2a -

5、 k2b求出此即E Vo时能量本征值满足的超越方程。当E Vo时，四个区域的波函数分别为1 x - 0屮 2（x）= As i（ikx）3 x 二 Be x px Ce x p ： x4 X = 0式中，,J2m Ej2m（V - E）L = a =；由x二b处波函数连续条件可知，Bextp C e x p b ： 1 二 0或者B = -Ce x p2b再利用x二a处波函数及其一阶导数连续的条件Asin ka 二 B exp a：C exp - aAkcoska = B： exp a - C： exp - a：利用B与C的关系式，将上两式改写为Asinka - - Cexp a -2b Ce

6、xp-a：Akcoska 二 C exp a - 2b - C： exp - a：最后，得到EV时能量满足的超越方程k expa - 2b“-ex(pa) kex0a - b 讴-1 t aka 二e xfa - 2b e x p a e x 卑 a - b1四.由两个自旋为两个自旋为2粒子的总自旋量子数s= 0,1，其单态为的粒子构成的体系，若两个粒子的自旋态分2别处于9仁o丿；cos exp2QI sin exp I 2的态上，求体系分别处单态与三重态度几率。解：依题意可知，两个粒子构成的体系处于状态-ec o-s e xp-0c o-s e x22P1I 2丿-+】故体系处于单态度几率为

7、2 1W(s = o)*0021 .s i n e x221 .2 二 s i n2而三重态为10+ + - +11；二1-1十体系处于三重态的几率为1送IM -121M-+】两者几率之和1s i n e212 2 二n20s-2co2Vs i 2iec o-s e2、角频率微级o的线谐振子，受到微扰W五一个质量为J的作用，(1) 用微扰论求能量的一级修正;(2) 求能量的严格解，并与(1)的结果比较解:(1)无微扰线谐振子的哈密顿算符H?o满足= E： n)其中，能量的一级修正为E1TkV?k)= ”kx2k)利用公式荷X2恥責丽灵+祈1馬mn + Z心mn+2得到能量的一级修正为Ek12 2k 1