(数)导数与微分解答

1、第二讲导数与微分一、大纲考试要求1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.2 掌握基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求 分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数.3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的 微分.二、内容提要1. 导数的概念（变形，注意相应的增量的含义几何意义：切线与法线的求法 物理意义：速度，加速度左，右导数的概念：f .（Xo）, f _（X°）;与记号：（X。* 0

2、）的区别.2. 求导数的四则运算，复合运算，反函数，隐函数，参数方程决定的函数的导数的计算（积分限函数的导数在定积分复习）3. 微分的概念与求法；可微，可导，连续的关系；微分在近似计算中的应用；一阶微分形 式的不变性4. 高阶导数（递归定义）1ax b多项式的高阶导数；可求n阶导数的函数形式：eax,sin ax, cosax, ,ln（ax b）等（注意变化为这类函数），莱布尼兹公式；分段函数在分断点的高阶导数；反函数，隐 函数，参数方程决定的函数的高阶导数5. 基本初等函数的求导公式三、常考知识点1. 导数定义的考查2. 求已知函数（包括显式、隐式、参数式及变上限积分确定的函数）的导数或微

3、分或高阶 导数3判断函数在一点的可导性（常结合连续性、极限存在性）分段函数的导数4导数的几何意义，即曲线的切线和法线的求法（曲线方程可以是显式、隐式、参数方程 形式及极坐标形式）导数的经济意义（含边际与弹性的概念）5可导、可微、连续的关系四、导数定义的考查例 1： f（x） x（x 1）（x 2）（x n），求 f （0）, f （-1）解:例 2： f (x) =(ex-1)(e2x-2)IH(enx -n), n为正整数，求 f (0)解 f'(0)XempHx2 xnx-1)(e-2) (e -n)xt1)n( n-1)!类似:例3:f(x)=(arctanx -1)(arcta

4、nx2-2) (arctan x100 -100)求 f' (1)444x2f (x) 2f(x3)设 f (0)存在，f(0) =0(A)-2 f (0)( B) 一 f (0)2x f (x) -2 f (x 解 lim厂X：x例4：设函数f (x)在点x=a可导，则函数(A) f(a) =0, f (a) =0(B)(C) f(a) 0, f (a) 0(D)=limx_02 、，则lim寸x 0X3(C)f (0) xf(X)2f(x )3H_f'(0)(D) 0x33x| f (x)|在点X = a不可导的充分条件是f(a)=0, f (a)=0f(a) ： 0, f

5、 (a) ： 0a左右f (x) 定是一边至少存在一点Xa,b，使得(B)至少存在一点(C)至少存在一点(D)至少存在一点X) a,b，使得X a,b，使得 x0 a,b，使得f X。 f a f x) f b f x。i=0f 冷 1=°例6：设函数f x在x = 0处连续，且lim f h2 J 则()0h2解 因为在x=a左右f (x)恒正恒负，|f(x)|都可导，所以在x =正，一边负即如 f '(a 0) = f '(a), f'(a -0) = f'(a),可不导即是 f (a) =0, f (a) = 0例5:设X在la,b 上连续，且

6、a 0, f b ： 0 ,则下列结论中错误的是(A) f 0 - 0且fJ：0 存在(B) f 0 = 1且f.：；：0 存在(C) f 0 =0且仁0存在(D) f 0 = 1且f亠0存在五、各类函数的导数，高阶导数，微分的求法1.复合函数1 sinx 土 例 7. y =ln.,求 y .v 1 -s inx1 . r 1 1 、 y 丨 nT2 1 +si nx 1 -si nx1cox丄cox解 y' = se(x21+sirx 1 -si nxy'' = se at a ixn仮,x y 二、2x 1,xdy解 ,dx例8:1 y"(f(x)，则孑

7、:1dx(f X f x'5f1fe'(f(e)"(2)f ()12.参数方程决定的函数决定y =t -121 -3t _ 丄9.-2t= y(X)，求 丁. ( d>X 的求法)dy210.132t22rX求曲线丿£2t 23t2 1-2t2=2t 3 arctant在上=。处的切线与法线方程y=2-3t+l n(1+t2)切点为(3,2)dy _3 1 . t2-3 2t -3t22dx 2 y'233 t1 t2dydx|t =o所以切线方程为y-2=-x，3 ,y=-x5法线方程为y-2=x-3 ,y=x-13.隐函数11. . x2

8、y2 = earcta nyx决定dxy= y(x)，求 y , y . ( ,dy 的求法) dy解两边对x求导xy-y2x 2yy'arctxan x2a rc1xanxyy2/厂下Y 口xx yy 二 xy'y(1)x y y':x _y对(1)两边x求导1 (y')2 yyjy' xy''-y'1 (y')22(x2 y2)y :x-y (x-y)3例12.决定y二y( x)，求yx 二 arctant2y _ty2 ey =5dx 12dt 1 tdy2 dyy dyy -2tyey0dtdt dtdy y1 ；

9、 (x2 1)3(3x 1) x例 16. f(x) =x(x 1)(x 2) (x n)，求 f(n 气刈.dt _ey -2ty 2dyy2(i t2)dx ey -2ty 24 幕指函数(取对数或用f(x)g(x) =eg(x)lnf(x)例 13. y =(1-)2x，求 y (1).x12xl n14解 y =e x12xl n1( )1_ 2y，= e x2山+ )+ x 1 +xy'(1) =e2ln22ln2 -1例 14. yX 二 xy 确定了 y 二 y(x)，求 dy .xln y = y ln x解 两边去对数In ydx dy = In xdy dxyxxy

10、In ydx x2dy 二 xy In xdy y2dx即dyylny-y：dxxyl n x x5.多个因子乘积的函数(多个指至少 3个)r例 15. y =x(2x-5)323，求y .(形式写法)(x2 1)3(3x 1)解两边取对数. 1ln y =2两边求导-ln x +3ln 2x-5 -3ln x2 +1 -ln 3x+13x(2x -5)1323 2x2x -5x2 +1(n 1)3x3 1例17.y =x +1,x>0,求厂cosx,x 兰0解 y=f'(x) = /X-si rxf'(0 0) =0; f'(0-0) =0 即f2x=f'

11、;(x) = *sir xx _0x : 0例 18. y 二 elx 创，求 y .y =f'(x)e(z_e（a）f'(a 0) =1; f'(a -0)即y"= f'(x) = «旷）_e（a）例19. f (x) = (x2x2) | xx |有几个不可导点？232(x -x-2)(x-x ) =x(x 1) (x-2)(1-x)232(x -x-2)(x -x) =x(x 1) (x-2)(x-1)232(x _x _2)(x _x ) =x(x T) (x_2)(1_x) (x2 _x - 2)(x3 _x) =x(x 1)2(x

12、 _2)(x_1)fd) = iim 住)"-1)所以，解 f(x)二3=lim (x 2) x -x=0limTf(0)xO|x|lim xO x= lim (x_2)(x +1) x -10不存在 f'（0） 不存在f'(-1)<im f(Xf1)x >4limfX 1x -1X 1l i mx 1 x -1x；Jx=lim (x 2) x3 -x-0Pm(x-2)(x 1)x(x 1)不存在f'（0）不存在例20. f(x)=im_r1 xrfx2 V,xX -1X 10，求 f (x).l nZ 2 n xl i 哼1 +x +!、.2)&

13、lt;2解 f (x)-0*1X2 X.2X ： -1一1 ： x ： 00 ： x . 1X 1f'(x)=00 x : 11 ： x : 2 而且函数f (x)在x=1,2不可导x 2f'(x)=0例 21. f(x)ax-2x e0 ： x : 11 ： x : 2x 22+ bx + c x 0,' ，求(1) a, b, c，使 f "(0)存在( 2) a, b,c，使 f "(0),x ： 0存在解(1)f'(x)；ax+b,2e ,f (0)存在故f (0 0) = b = f'(0-0) = 2f(x)是连续函数，故

14、f(00) =c 二 f (0 _0) =1,c =1,a 任意(2) f (0)存在即 f (0)存在，从而 b = 2, c = 1f''(x)'2a, 占,x ： 0f (0)存在即=47.反函数例22.不求出反函数，计算y二In(1 x2)的反函数的二阶导数d2xdx 1dydydxd2xdy2x d x22x dxx2.1 x2 dy8.积分限函数(在定积分一章复习)x = 1+2t2例设函数y = y(x)是有 JTUdu； uut -1所确定的求,2 |t=9dx22lntdy t(1 2l nt)edx " 4t _2(1 2lnt)2e2d_

15、y |t |e_dx2，tz9 2(1 2lnt)_ ltz9 9(1 4ln 3)_9. n阶导数的其它例子例 23. y 二3，求 y(10).x2 +3x -415(x-1)2x311y 二x2 +3x -45(x +4)y(n)(-常 n111y 一 5(x 4)n1(x 1)n1例 24.设 fx) = f 2(x) , n > 2，则 f (n)(x) = n! f n(x)解 f (x)二 f 2(x)f''(x) =2f (x)f'(x) =2f3(x)f'''(x)=2 3f 2(x)f'(x) =2 3f 4(x

16、)(n)n 1n z 、f(x)=2><3汇xnf (x) = n!f (x)例25. y =x2sinx,求y(莱布尼兹公式的适用范围)-(8)2兀兀8X 7兀解 y()=xsinX8) 8 2x s i nx( 7 )2s i nx( 6 )2 2 2 2所以-56y(8)(2H(-)2例 y =arct axi，求 y(n)(0).1 2解 y' 2(1 x )11 x0=(1x2)y')(nJ1) =(1 x2)y(n) 2(n -1)xy(nJ)(n-1)(n-2)y(n).0 = y(n)(0)(n-1)(n -2)y(n)(0) y(n)(0) (n

17、-1)(n-2)y(n)(0)所以y(n)(0) = 一(n -1)(n -2)y(n刀(0) = (-1)2(n -1)(n -2)(n -3)(n -4)y(n-4)(0) ”0n = 2m'(-1)m(2m)!n = 2m 1y 二 ex si rx，求 y(n).y ex (s i x co sx)y'' =、2ex(si n( x )X=.2e s i nX )4:-_ 2 x二+ cos(x+)=(寸2) e sinX+2-)44所以y(n;2)nexsi nX + )46.杂例 例26 .F x)=设f(x)在X0处有f(X0) f (x) (x在X0处可

18、导，并求 lim F(X)F(X0)X 汪 X Xo二 limX %= f(x0)=O ,(x)在x的某邻域内有界.证明F(X。).他(X)=0 二 F'(x0)X X°例27.设f(x)可导，则 Alim f(x)亍-：Clim f(x) :=(D ). lim f (x)X .呵 f(X)X .=oO例28 作变量代换x二si nt将微分方程(1 - x2) d2y)dx2lim f (x) -:lim f (x)-二XX_J .：:limX J ：_xdy a?y = 0化为关于 y = y(t)的 dxf (x) - ： = lim f (x):-微分方程(并求方程的

19、通解)dy dy dt 1 dydx2dt dx cost dt1_dycos31 dtcos21 d 2td y sin t dy=十dx2-d2yy = q cosax c2sin axa2y = 0 r2 a2r = aig(x) ex0_ x = 0其中x = 0(1) f'(x)( 2)讨论 f'(x)在(-：，：)上的连续性.设函数f (x) = *g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1©(0) 一 1解(1) f'(x)二(2) x叫 f'(x) Pm0x(g'(x) e ) -(g(x) -e )2xf (X) - f (0)g

20、(x) _e心_ limx )0x(g'(x) e ) -(g(x) -e )2xg''(0)T2x(g''(x)-e )2xg''(0)-i2f'(x)在(：)上是连续的.1门2 , x = 0 x例 29设 f(x)=xarctani0,丄12xarctan - r,x2 x4 +1lim =lim ar ctx 0 xx0f (x)在X二0处是连续的.，讨论f (x)在x = 0处的连续性.x = 0解 f'(x)=*1 二an 二x 2例30已知一个长方形的长 l以2cm s的速率增加，宽 w以3cm s的速率增加

21、，则当l =12cm,w =5cm时，它的对角线增加的速率为 3 cm sdl dw dC 兀 12 2 5 3 3_2,l2 w2_解对角线S -丨 2W2dt|t013例31 ：曲线tan (x y )4=ey在点(0,0)处的切线方程为，法线方程为解j八，4)(1y')=eyy'y'(0) ysec(x y2兀sec2(1 y'(0)H y'(0)41法线方程为 y-1x2七、补充：边际成本、边际收益、边际利润，弹性，需求 弹性，需求对收入的弹性例32 02年数四:设某商品需求量Q是价格2切线方程y = -2x(对价格)弹性，收益(对价格)p的减函

22、数 Q = Q( p)，其需求弹性空右 0 , (1) R为总收益函数，证明9旦=0(1 - ) (2 )求p=6时总收益对 192-p2dp价格弹性，并说明其经济意义.解(1) R(p)=pQ(p)上式两边对p求导血虫(甘卩皿虫(1+卫皿)=Q(1)dpdpQ dp(2)更坐二丄Q(-)八Ep R dp pQ=12p2192-3p2192-p2192-p2ER 7|p 出0.54.Ep p 13经济意义：当p = 6时，若价格上涨1%,则总收益将上涨 0.54%.例33 07年数三:设某商品的需求函数为Q=160-2p ，其中Q，p分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商

23、品的价格是()(A)10(B)20(C) 30(D)40例34 09年数三:设某产品的需求函数为 Q=Q（P）,其对应价格P的弹性=0.2，则当 需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 12000元解（Qp）' = pQ' Q且p二止=0.2P Q所以（Qp）'=1.2Q将 Q等于10000代入即得（Qp）'=12000练习：1.xmmt）决定八y（x），求乂dxy =5(1 COSt)dydx5si nttcot -25(1 -cost)dy d2ydx2解d2ydx21 2 t 1csc -2 2dx1 csc22 5(1 _ cost)25(

24、1 _ cost)dt2. y =1 xexy 决定 y = y(x)，求 y |x» 解 x = 0, y =1对方程 y =1 xexy 两边 x 求导yexy - xexy(y xy') (1)对方程 (1)两边 x求导 y” = 2exy(y xy') xexy(y xy')2xexy(2y' xy”)将x =0, y =1,y'(0) =1代入上式，得y''(0) =2.3. y =x2 +ax +b与 2y = -1 + xy3相切于(1, T )，求 a,b.23解 y=x +ax + b 与 2y = 1+x y

25、 相切于(1, -1),故有一1 = 1 a b a b = -22 a 叮？ 2"1即 a1,b 13xy -24决定i,f可导不为0，求孰"dy|f'(e3t-1)e3t 3|It 予t n Qdxf'(t)5.2y =sin f (x )，求dxdy222xf '(x )cos f (x )dx= 2 f '(x2) cos f (x2) 4x2 f ''(x2) cos f (x2) 一4x2 f '(x2)2 si nf (x2) dx6.f（x y）, f二阶可导，且一阶导数不为1,dx2 .齐 f'

26、;" y')f'(x y)1 - f'(x y)d y = f''(x y)(1y')2 f'(x y)y''dxf''(x y)1 - f'(x y)(1 y')2f''(x y)(1-f'(x y)37. xef(y) = ey, f (x) 1, f 二阶可导,求d2ydx2ef(y)dy 二dx 一 ey -xf'(y)ef(y)ef(y)ey(1-f'(y)2ef（y）3 xef（y）（史）2 xef（y）dxdxdx2d2y ved2ydx2从而d2y2ef(y)dxdx2ey -xef(y)e2f(y)ey-xef(y)2&设f （x）, g（x）为恒大于0的可导函数,f g _ fg ： 0，当 a x b 时(C.f(x)g(b) f (b)g(x)B.f(x)g(a) f (a)g(x)f(x)g(x) f(b)g(b)D.f(x)g(x) f(a)g(a)因fgw<0即（g（加常'<0 gc;单调下降f (x)f (b)x : bg(x)g(b厂 559. f (0) =0, f (x)在x = 0处可导的充要条件为(叫 2 f(1-cos