11第五章留数及其应用

1、第五章留数及其应用§ 1.孤立奇点一.孤立奇点的分类1.孤立奇点的概念定义：若函数f Z在Z点不解析，但在Z点的某一 去心邻域0< | z- % |$内处处解析.则称Z为f z的孤立奇点.例1.求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点11(1)T z z(2)1 z2.z2 + 111f z.(3)f z =ez.(4)1 sinz注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤 立奇点.2.孤立奇点的分类设Z0为f z的孤立奇点，f z在zo点的洛朗展式为艺 Cn(z-zo)n.n=-°°(i )若"n> 0,有C_n = 0恒成立，则称zo为f

2、(z)的 可去奇点.(ii )若 m 0,有 C_m = 0,但对于 n ' m,有 C-n = 0恒成立，则称zo为f（z）的m阶极点.（iii）若 v m> 0卢 n> m,有 C_q 0,则称 z 为 f（z） 的本性奇点.说明：（0< z Zq < 5 ）为f（z）的洛朗展式 其和函数为在点Z）解析 的函数.（2）无论函数f z在点zo是否有定义，补充定义则函数在点zZ1解析,-3孤立奇点的类型的判断（1）可去奇点的判定方法定理1设f（z）在zo点的某一邻域0<|z-Zq|<e内解析，则Zo为f z的可去奇点的充分必要条件是：zim°

3、;f（z）=c。g 定理 T设Z0是f Z的孤立奇点，则Z0为f Z的可去 奇点的充分必要条件是：f Z在 0< | Z- Zo I < 5 内有界.极点的判定方法结论：zo是f Z的m阶极点的充要条件是：z Zo其中® （Z）在邻域z-Zj|vb内解析，且®（Zo）*O. 定理2设f（z）在Zo点的某一邻域O<|z-Zo|c内解析,则Zo为f Z的极点的充要条件是：！吧和z）=® ； Zo是f（z）的m阶极点的充要条件是：赠严©"（八 j；其中Cm为一确定的非零复常数,m为正整数.（3）本性奇点的判定方法例2. 定理3设f

4、z在Zo点的某一邻域o< z-Zo内解析,则Zo为f（z）的本性 奇点的充要条件是：极限 lim f z = Co Co与 lim f z 八；均不Zr ZoZr Zo成立.例3.判断下列函数的奇点的类型:(1) f zsinz.(2)1 2（Z- l）（z 2）(3).函数的零点与极点的关系定义：若有正整数m,使得%）%心）,其中Iz）在Z0点解析且®（Zo& 0,则称z为f（z）的m阶零 占八、定理4若f z在Zo点解析厕zo为f z的m阶零点 的充要条件是：f（zo）= 0, f g）= 0,f "（%）= 0, f ，>（%）= 0,例 4.但

5、f m % = 0.例5. 判断函数f z = z - 1的零点及其阶数.1定理5若z0为f z的m阶极点，则z为77的m阶 零点.反之亦然.1三.判断函数f z =詰的极点及其阶数.三.函数在无穷远点的性态定义：若存在R>0,有函数f z在无穷远点的邻域 R< |z|< + -内解析，则称无穷远点为f（z）的 孤立奇点.设f（z）在无穷远点的邻域 R<|z|< + 8内的洛朗展式为' Cnz°那么规定：n = -°°（i ）若灯n > 0,有5= 0恒成立，则称z为f（z） 的可去奇点.（ii ）若m 0,有6= 0,

6、但对于 n m,有6=0恒 成立，则称z 00为f（z）的m阶极点.（iii）若 v m> 0, m n> m,有 C 0,则称 z 00 为 f（z）的 本性奇点.定理6设f（z）在区域 R z<+ s内解析，则z例6.为f z的可去奇点、极点和本性奇点的充 要条件分别是：极限zimf z存在、为无穷 及即不存在，也不是无穷.例7.判断下列函数的奇点z= 的类型：（1）f（ z）=1z2 ,（2）f z = 1 2z 3z2 4z3,（3）f z = ez,（4）1 f z.sinz1例6.判断函数f z = z ez的孤立奇点的类型.§ 2留数一.留数的概念及留

7、数定理定义：设Z0为解析函数f z的孤立奇点，其洛朗展式为' Cn z,称系数C 1为f Z在Z处的n =-°o留数，记作ReS f z , zo1.1求zez在孤立奇点0处的留数.2 1求z cosz在孤立奇点0处的留数.sinz求厂在孤立奇点0处的留数.定理7（柯西留数定理）设f（z）在区域D内除有限多个孤立奇点zl，z2, zn外处处解析,C是D内 包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线，那么nf zdz 二 2 i ReSf z , zk 1Ck=1说明：留数定理把计算周线上的积分的整体问题 转化为函数在周线所围成的区域内的各个孤立奇 点处的留数的局部问题.dz2 Z e

8、例9计算积分二.函数在极点的留数法则I如果zo为f z的简单极点，则Res f z , z0 = lim z z0 f zZr Z0一一 1例10求f z = zz_ 2 Z 5在各孤立奇点处的留 数._P（ Z）法则u设f z = Qz,其中P Z,Q z在Z0点解析,如果p z0, z为Q z的一阶零点，则z为f z的一阶极点，且Resfz，讣孟z_ 71例11求f z二盂在"2的留数.法则山如果z为f z的m阶极点，则d 口“lim mt z ym Tz z0 dzResz,讣亠5 m 1 !mf zzy , e例12求f z =耳在孤立奇点0处的留数.5z 2例13计算积分Z

9、=2z77dz.例14计算积分'|sin2 z2dz.z =2 z z 1二无穷远点的留数定义：设函数f（z）在区域R< z < + -内解析,即为函数f（z）的孤立奇点，则称抚-山虫（C :z = R,）为f z在二的留数，记作Resfz,.定理8如果函数f z在z平面只有有限多个孤立奇点（包括无穷远点），设为Z1,z2/ Zn/ .则 f z在所有孤立奇点处的留数和为零.法则w（无穷远点的留数）若：为函数f z的孤立奇点侧Res1 f z ,10例15求f z = z42 2 z 2 3在它各有限奇点的留数之和.计算积分:z 0； z 3 其中C为正向圆周z = 2.&

10、#167; 3留数在定积分计算中的应用2 n_.形如0 Rcosjsi”古的积分思想方法：把定积分化为一个复变函数沿某条 周线的积分.两个重要工作：1)积分区域的转化，2)被积函数的转化.sin"cos 二dz 二 i e' d ddz,iz1iv(e2J2(62 Az 1 e ) ,2 iz z21e ) ,2z当二从0到2周.时,z沿单位圆1的正向绕行例17计算1二2d 0 p 10 1 2 pcos p二.形如_ R x dx的积分设R x为复函数R z的实值形式，其中R z满足条n -1n -2.a2z竝荷"2)bm；nzaqza2zmm1m1zazbz件：

11、R(z)(1)Rz(2) Q z在实轴上无零点；(3) R z在上半平面内只有有限多个孤立奇点乙，z2 ,zn ,则有COR x dx= 2 ik=1Re S R z ,g x2计算积分:x4x 210x2dx.9三.形如R x eiax dx a 0的积分定理9（若当引理）设函数g z在闭区域：日argz"2,R0 兰 z 丈 + （ R0 兰 0, 0 " “ 兰日 2 兰 71）上连续，并设CR是该闭区域上一段以原点为中心 以R R Re为半径的圆弧.若在该闭区域上有 lim g z 0 z=,则对任何a>0,有m:g z eiazdz 二 0C R由若当引理可知：Rxeiax_£30