任意角的概念与弧度制

1、任意角的概念与弧度制一、角的概念的推广（一）角的概念的推广知识点：1角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点是角的顶点，射线分别是角的终边、始边.说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为2角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。说明：零角的始边和终边重合。3象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。例如：都是第一象限角；是第四象限角。（2）非象

2、限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。4终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如的角都与角的终边相同。 从而得出一般规律：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。5各象限角的集合与轴线角的集合 （1）象限角的集

3、合 第一象限角集合为； 第二象限角集合为； 第三象限角集合为； 第四象限角集合为. （2）轴线角（终边在坐标轴上的角）的集合 终边落在轴的非负半轴上，角的集合为：； 终边落在轴的非正半轴上，角的集合为：； 终边落在轴上，角的集合为：； 终边落在轴的非负半轴上，角的集合为：； 终边落在轴的非正半轴上，角的集合为：； 终边落在轴上，角的集合为：； 终边落在坐标轴上，角的集合为：；例题：1. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1） （2） （3） 2. 若，试判断角所在象限。3. 写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来： （1）； （2）； （3）

4、4.写出所夹区域内的角的集合。5.以下四个命题：（1）小于90°的角是锐角 （2）第二象限的角一定是钝角（3）锐角必是第一象限角 （4）负角也可能是第一象限角其中不正确的命题的个数 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.（1）写出与角终边相同的角的集合；（2）在（1）的集合中，将适合不等式的元素求出来7.已知是第三象限角，则是第几象限角？8.设为锐角，B=为小于90°的角，C=为第一象限角，D=为小于90°的正角，则下列等式中成立的是（ ）A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D9.已知角是第三象限角，则角的终边在（ ）A.第一象限 B.第二象限

5、C.第三象限 D.第四象限10.与120°角终边相同的角是（ ）A. B. C. D. 11.的终边经过点M（0，）,则（ ）A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.既是第三象限角又是第四象限角 D.不是任何象限角12.终边与坐标轴重合的角的集合是（ ）A. B. C. D. （二） 弧度制和弧度制与角度制的换算知识点1弧度角的定义：规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为2弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角的弧度数的绝对值是，3角度与弧度的换算 rad 1=4用弧度制各象限角的集合与轴线角的集合

6、（1）象限角的集合 第一象限角集合为； 第二象限角集合为； 第三象限角集合为； 第四象限角集合为. （2）轴线角（终边在坐标轴上的角）的集合 终边落在轴的非负半轴上，角的集合为：； 终边落在轴的非正半轴上，角的集合为：； 终边落在轴上，角的集合为：； 终边落在轴的非负半轴上，角的集合为：； 终边落在轴的非正半轴上，角的集合为：； 终边落在轴上，角的集合为：； 终边落在坐标轴上，角的集合为：；5一些特殊角的度数与弧度数的对应表：0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°3

7、60°06弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为7扇形面积公式：扇形面积公式为：说明：弧度制下的公式要显得简洁的多了；以上公式中的必须为弧度单位例题：1. 把化成弧度2. 把化成度。3. 将下列各角化为的形式，并判断其所在象限。（1）； （2）； （3）4.填空：（1）_,_;(2) 5.已知一扇形的圆心角是72°，半径为，求扇形的面积6.（1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？7. 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦

8、的长。任意角的概念与弧度制一、角的概念的推广（一）角的概念的推广1.【答案与解析】 解：（1），所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；（2），所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；（3），所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。2. 【答案与解析】 与终边相同, 所以，在第三象限。3. 【答案与解析】解：（1），中适合的元素是 （2），S中适合的元素是 （3）S中适合的元素是 4. 【答案与解析】解：当终边落在上时，角的集合为； 当终边落在上时，角的集合为；所以，按逆时针方向旋转有集合：5. 【答案与解析】解：锐角的范围为0°90°，而小于90°的角可

9、以为正也可以为负，所以（1）是不正确的；钝角的范围为：90 °180°，而第二象限角为：，所以（2）也是不正确的；（3）显然是正确的；（4）中负角也可能在第一象限是对的，如是第一象限角，所以选B.6. 【答案与解析】【解析】（1）与角终边相同的角的集合是： （2）在M中适合的元素是：取时，取时，取时，取时，即元素、为所求.7. 【答案与解析】解：（1）终边落在射线OM上的角的集合为：（2）终边落在射线OM上的角的集合为：终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为：则终边落在直线OM上的角的集合为的偶数倍的奇数的整数（3）同理可得终边落在子线ON上的角的集合为，则终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为8. 【答案与解析】解法一：是第三象限角（1）当时，可得,故的终边在第一象限；（2）当时，可得,故的终边在第三象限；（3）当时，可得故的终边在第四象限；综上可知是第一或第三或第四象限角解法二：如图1-1-1-6可知是第一或第三或第四象限角（二） 弧度制和弧度制与角度制的换算1. 【答案与解析】解：因为，所以 2. 【答案与解析】解：3. 【答案与解析】解：（1），所以，此角为第一象限角；（2），所以此角为