二面角大小的几种求法

1、二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小， 从而又化归为三角形的内角大小， 在其求解过程中，主要是利用平 面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何 背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面 角的大小。I. 寻找有棱二面角的平面角的方法（定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法）一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点） ，过该点在 两个半平面内作垂直于棱的射线， 两射线所成的角就是二面角的平面角， 这是一种最基

2、本的方 法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。例空间三条射线 CA CP CB, / PCA=/ PCB=60q / ACB=90q 求p二面角B-PC-A的大小解：过PC上的点D分别作DEL AC于E, DF丄BC于F,连EF./ EDF为二面角 B-PC-A 的平面角，设 CD=a v/ PCAW PCB=600 CE=CF=2a DE=DF=3a，又 v/ ACB=900 二 EF=2,2a ,2 2 2/ EDF=3a3a -8a 12 3a2- 31. 在三棱锥 P-ABC中，n APB= BPC= CPA=600求二面角 A-PB-C的余弦值。2. 如图，已

3、知二面角 a - a - B 等于 120, PAa, AGa, PB丄 B, Bp，求/ APB 的大小。PA!平面 ABCD PA=AB=a 求二面角 B-PC-D 的DB3. 在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形,大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作 出二面角的平面角。例 在四棱锥 P-ABCD中, ABCD是平行四边形，PA!平面 ABCD PA=AB=a / ABC=30 , 求二面角P-BC-A的大小。解：如图，PA!平面BD过A作AhUBC于H,连结PH,贝U PhUBC/ ABC=30，求二面角 P-BC-A的大小6. 如图

4、，在三棱锥 P-ABC中，PA!平面 ABC PA=AB AC=BC=1 / ACB=900 M是 PB的中点。求证：BCL PC (2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切B7. ABC中，/ A=90, AB=4 AC=3平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是 AB中点M 二面角 P-AC B的大小为45。求(1) 二面角 P-BC-A的大小；(2)二面角 C PB-A 的大小。8. 如图，已知 ABC中, AB BC S为平面 ABC外卜的一点，SAL平面 ABC AML SB于M ANL SC于N,(1)求证平面SABL平面SBC 求证/ ANM是二面角 A-SC- B的平面角.

5、NM9. 第8题的变式：如上图，已知 ABC中，AB丄BC? S为平面 ABC外的一点，SU平面 ABC / ACB= 600, SA= AC= a, 求证平面SABL平面SBC(2)求二面角 A- SC- BC的正弦值.10. 如图,ABCD-A1B1C1D是长方体，侧棱 AA1长为1,底面为正方体且边长为 2, E是棱BC的中点，求面 C1DE与面CDE所成二面角的正切值。OE11. 如图4,平面。丄平面目，口 Q B =l , A a , B B，点A在直线I上的射影为A1,点B在I的射影为B1，已知AB=2 AA仁1, BB1= 2,求：二面角 A1- AB- B1的大小。因 PB=

6、2 a,BC=a,PC= 3 a,中由余弦定理，得：cos / BHD=2 2 2BH DH -BD2BHLBDNa-2a 2又 OV/ BHDCn，则三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线 所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例 在四棱锥 P-ABCD中，ABCD是正方形，P从平面ABCDPA=AB=a求解：（垂面法）如图，PAL平面BD BD丄AC=BD丄BC =过BD作平面 BDHL PC于 社 PC! DH BH:/ BHD为二面角B-PC-D的平面角1PB- BC=S PBCPC BH贝U BH=DH 又 BD=2a

7、在 BHD223很棱1的距离分别为4、3、警，求二面角一-Dz BHD=r 二面角B-PC-D的大小是务12. 空间的点P到二面角-1 - -的面:- 的大小.13. 如图，在三棱锥 S ABC中，SA!底面 ABC AB丄BC DE垂直 平分SC且分别交 AC SC于D E,又SA= AB SB= BC 求二面角 E BD- C的度数。CiMCII.寻找无棱二面角的平面角的方法（射影面积法、平移或延长（展）线（面）法）四、射影面积法：利用面积射影公式S射=S原cos 其中二为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。例 在四棱锥 P-ABCD中，ABCD为正方形，P从平面 ABCD PA=

8、 AB= a,求平面 PBA与平面PDC所成二面角的大小。AD _ PA解：（面积法）如图， AD _ AB = AD _ PBA于A ,PAP! AB = A同时，BC丄平面BPA于 B，故 PBA是 PCD在平面PBA上的射影设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为6,S PCD14. 如图，设 M为正方体 ABCD-A1B1C1D的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。15.如图，AC :.,bd - ，a 与 B 所成的角为 600, AC _ I 于 C, BD _ I 于 B, AC= 3, BD =4, CD= 2,求A、B两点间的距离。16.在四棱锥P

9、-ABCD中, ABCD为正方形, 面PDC所成二面角的大小。PA!平面 ABCD PA= AB= a,求平面 PBA与平五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角， 应先延伸两个半平面, 使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例在四棱锥 P-ABCD中, ABCD为正方形，PA!平面 ABCD PA= AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。（补形化为定义法）解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN则PQL PA PD于是/ APD是两面所成二面角的平面角在 Rt PAD中, PA=AD 则/ APD=45

10、。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45六、向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标， 然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例(2009天津卷理)如图，在五面体 ABCDEI中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为 EC的中点，AF=AB=BC=FE=AQ2,(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD平面CDE(III) 求二面角A-CD-E的余弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点

11、。设 AB = 1,依题意得B 1,0,0 ,C 1,，,0,(I )解:BF 二-1,0, , DE= 0,-1,于是 coS：BF,DE；：BF DE 0 0 1BF DE所以异面直线BF与DE所成的角的大小为600.1 ,1,1 , CE 二 一 1,0,1 , AD 二 0,2,0 ,可得 CE *AM 二 0 ,CE *AD 二 0因此,CE _ AM , CE _ AD 又 AM AD 二 A,故 CE _ 平面 AMD .(II )证明：由AM =D 0,2,0 , E 0,1,1 , F 0,0,1 , M | ,1,2 .而CE二平面CDE，所以平面 AMD 平面CDE.u

12、CE = 0, u *DE = 0.又由题设，平面ACD的一个法向量为v= (0,0,1).(III )解：设平面CDE的法向量为u=(x , y , z),则于是*x + z = 0，令x = 1,可得 u= (1,1,1).厂 y + z = 0.18. ( 2008湖北)如图,在直三棱柱ABC -ABG中,平面ABC_侧面A1ABB1.(I) 求证：AB_BC ；(II) 若直线AC与平面ABC所成的角为二，二面角A-BC-A的大小为;：, 试判断，与的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面 ABB1 A1丄平面BCC1 B仏平面ABC于是很容易想到以 B点为空 间坐标原点建立

13、坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平 面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案：.a口aca、-arcsin，且,)/ 2 2， . 2 2 / 2 2a cb. a ca c由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下:不见棱型严定义法 解法f三垂线法-亠垂面法fffi积法分析：所求二面角与底面 ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。略解：在二面角的棱 PB上任取一点 Q 在半平面 PBA和半平面PBC上作QMPB, QN PB, 则由定义可得 MQN即为二面角的平面角。设 PM=a则在 RtPQM和RXPQN中可求得QM=QN=3a；又由 PQN ： P

14、QM# PN=a,故在正三角形 PMN中 MN=a在三角形 MQf中由余弦定2理得COS. MQN=，即二面角的余弦值为-。33PA 丄 AB PB = PD 因为 AB=AD=a PA _ AD - PB 二 PD， BC 二 DC 二 PBD = PDC。AB=AD=a,PC=PC,过B作BHL PC于H,连结DH DHL PC 故/ BHC为二面角 B-PC-D的平面角因 PB=/2a,BC=a,PC=/3a,丄 PB- BC=S PBCPC BH 则 BH=DH又 BD2a。在 BHD223中由余弦定理，得：cos / BHD=BH2 DH2 -BD22BHLBDa-2a 21，又 0

15、Z BHI 则/BHD=3 二面角B-PC-D的大小是基础练习1.二面角是指（）A两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2. 平面a与平面B、y都相交，则这三个平面可能有（）A 1 条或2条交线B 2条或3条交线C仅2条交线D 1条或2条或3条交线3. 在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10,则它到棱的距离是（）A 5B 20C10 V2D5丘24 .在直二面角 a -l-中，Rt ABC在平面a内，斜边BC在棱1上，若AB与面3所成的

16、角为600,则AC与平面（3所成的角为（）A 300B450C 600D 12005. 如图，射线 BD BA BC两两互相垂直，AB=BC=1 BD,2则弧度数为二的二面角是（）3A. D-AC-B B. A-CD-B C. A-BC-D D. A-BD-C6. ABC在平面a的射影是厶A1B1C1如果 ABC所在平面和平面 a成&角，有（）A. S A1B1C仁血 ABC- si nBB. S A1B1C1= ABC- cos 6 ABC =SA1B1C- cos 6C. S ABC =S A1B1C1- si n6D. S7. 如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB丄l , B为

17、垂足，A为I上一点，且/ PABa,PA与平面M所成角为B,二面角M-I-N的大小为丫，则有（）A sin a =sin B sin 丫B sin B =sin a sin 丫C sin 丫 =sin a sin B D以上都不对8. 在600的二面角的棱上有两点 A B, AC BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB 的线段，已知：AB=6 AC=3 BD=4 贝U CD=。9. 已知 ABC和平面 a, / A=300, / B=600, AB=2 AB a,且平面ABC与 a所成角为300,则点C到平面a的距离为10. 正方体 ABCA1B1C1D1中，平面 AA1C1C和平面 A1BCD1所成的二面角（锐角）11. 已知菱形的一个内角是 600,边长为a，沿菱形较短的对角线折成大小为 600的二面 角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为。12. 如图， ABC在平面 a内的射影为 ABC1若/ ABC1=6, BC1=a且平面 ABC与平面 a所成的角为,求点C到平面a的距离13 .在二面角a -AB- B的一个平面 a内，有一直线 AC它与棱AB成450角，AC与平面B成300角，求二面角a -AB- B的度数深化练习14.若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和2a，到棱的距离为2a，贝眦面角的度数是