2020高考浙江专用培优二轮：专题3第3讲数列不等式的证明问题(选用)

1、第3讲 数列不等式的证明问题(选用)2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题;法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质;3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识明考向抬要点真题感悟考点整合真题感悟 _.，、一，一 .、一 _ *(2017 浙江卷)已知数列Xn满足：X1=1, Xn=Xn+1+ln(1 +Xn+1)(n C N).证明：当nC N*时, (1)0 VXn+1Xn；XnXn + 1(2)2x n+1 XnW2； (3) 2n- 1 W X nW 2n2.证明 (1)用数学归纳法证明：Xn0.当 n= 1 时，X1= 1 0.假

2、设n = k(k 1, kC N)时，Xk0,那么因此n=k+1 时，若 Xk+1W0,则 0VXk= Xk+1 + ln(1 +Xk+1)W0,矛盾，故 Xk+10,Xn0(n C N).所以Xn= Xn+ 1+ ln(1 + Xn+1) Xn+1,因此0 V Xn+1 V Xn(X C N).(2)由 Xn = Xn + 1 + ln(1 + Xn+ 1)得,XnXn + 1 - 4Xn+ 1 + 2Xn= Xn+ 1 - 2Xn+ 1 + (X n + 1 + 2)ln(1 + Xn+ 1).记函数 f(X) = X22x+(x + 2)ln(1 +x)(x 0).2X2+ x/、f (

3、x)=丁+ ln (1+x) 0(x 0), x+ 1函数f(x)在0 , +8)上单调递增，所以 f(x) f(0) = 0,因此 X2+1 2Xn + 1+ (X n+1 + 2)ln(1+Xn+1)=f(X n+1) 0,故 2Xn+1XnWXnXn+12-(n e N).(3)因为 Xn=Xn+1 + ln(1 + Xn+1) Wx n + 1 + Xn + 1 = 2Xn+1,所以 Xn Xn-1 Xn-2 T1X1 = 2T1.,XnXn+1由-2- 2x n+ 1_ 11XnK 22Xn 20,所以12广1)2 r2故 XnW ?n 2.综上, 2干-1 w x nW 2n2(n

4、 C N ).考点整合1 .数学归纳法证明一个与正整数 n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0C N)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n=k(k n 0, kC N)时命题成立，证明当 n= k+ 1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n。开始的所有正整数 n都成立.2 .反证法一般地，由证明Iq转向证明：税Q1 J t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定税 假，推出q为真的方法，叫做反证法.3 .放缩法CB即放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证 A0 且 aw1, nCN).证明：当n2时，anan+1,(1_b)+

5、 1 时，ak+b.证明an+ 1 =2an2 , /an+ 1知,an与a1的符号相同,而 a1= a0,所以 an0,所以 an+1=1=1,当且仅当an= 1 时，an+1=1,andan卜面用数学归纳法证明: 因为a0且awl,所以321,a32a = 才十 产, 即有 a2a32, kCN)时，有akak+i1,2ak+12 一贝U ak+2= -2 -1, 即 ak+1ak+22,均有anan+ib,则由(1)知当k2时,若akb,因为0Vxak+1akb;(1 +x) n= 1+Cx + cSxn1 + nx,而 ak+ 1b1 2+ 1b+ 1,且 a2a3 - akba2-1

6、a 2因为k(b a2) ( b+ 1)a2 (1 b)+ 1,、，1 一 b所以节(k-1)+1a2a2所以 a k+1b.探究提高 数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等式的证明中大显身手.在本例中，(1)首先根据条件等式的结构特征推出an0,然后用数学归纳法证明即可；(2)首先由(1)知当k2时，1a+1akRb,然后利用数列的递推公式证明即可.热点二反证法证明数列不等式例2 (2018 温州调考)已知数列an满足：an0, an+1+,2(n C N).an 、(1)求证:*、3n + 2an+11(n C N

7、).证明1由 an0 , an+ 1 2, an ，得 an+12a2.所以 an+2an+2 +由知 an+ 1 w a n+ 2),*(2)法一 假设存在 aN1, NC N),由(1)可得当 nN时，anWN+i1.1根据 an+111 anan0,而 an1 +1aN+ n-1 111累加可得 -n- 1 +-.(*)aN+n 1aN+1 1由假设可得aN+n1-+1时，显然有 n-1 +-0,aN+1 1aN+1 1因此有1,171(n N).法二 假设存在aN1, NC N),由(1)可得当 nN 时，0ana n+11.根据 an+111 =0 ,而 an1 ,ananan所以

8、rv 1 1 11 an an aN+11 an 1(1 an 2)1 - aN+ 2(1 - aN+1)是 1 an(1 an 1)1aN+11aN+1累乘可得 1 an(1 aN+1)由(1)可得 1 anlog aN+1一 N 11 ，这显然与(*)矛盾.所以 an1(n N*).探究提高 数列不等式需要对数列的范围及变化趋势进行探究，而条件又少，因此，反证法就成为解决这类问题的利器.在本仞中，(1)首先根据已知不等式由an+K2-42证明不等式的右边， 再根据已知不等式国利用基本不等式，可证明不等式的左边；(2)考虑反证法，即假设存在aNt+L )+2，身1 .6一52-3n2-3L

9、、X11另一方面 an =”1 i3n所以 Sn= ai + a2+a3+ an2* * 23*24* * Zn 5+13+ 3 + 0尸 + 3.146 8 8 2 2 46 8 21= 65+99.(3/65+ 9而，心3,2 2146 21一-21,因此 Snan ；(3)设数列证明(2)证明: i11的前n项和为S,求证：1日丁门力.an3 . 2an+1 2an= an 4an + 4= (an 2) 0, . an+1 a n 3 ) (a n 2) 0, an+1an.2(2) . 2an+1 4 = 3n 2an= an(a n 2)an+1 2 an 3 =一an-22 23

10、-22 -23计12(a 12)3 nT2 . an 2+13-2(3) . 2(a n+i 2) = an(a n 2),1 12 ( an+1 2)an (an2)2 an 2 an111an an2an+1 - 21.11an +1 2 an 2C 11 Sn= + + +a1a21anan7 -+ + -a1 1 2 a2 2 a22 a32an2 a+1 2a1 2an +1 21 =1 -an+1 210-2 n1(|a i| -2) , nC N;(2)若 |an| w ； , nC N,证明：|an|2n1(|a 1| -2). *(2)任取nC N,由(1)知，对于任意 mn

11、,|a n|2na n|0|a n+1|on+12a n+ 1|2门+1|a m|112m 6 5 + 2n+1 +2n-T，故 |a n| V3 m 从而对于任意 m n,均有|an| 2+ 7 j 2n.4由m的任意性得|a n| 2 ,取正整数Tog;上且加.儿,口与式矛盾.综上，对于任意n N ,均有|a n| 2.2.（2018 学军中学月考）已知数列an满足，a1=1, an=-1. an+ 12求证:2a n 1 ；3(2)求证:， ，一 1|a n+ 1 an| W3求证:101a 2n an| 1, kC N*)时，有.WakWl成立,3I一11则当 n=k+ 1 时，ak+

12、1 =1 212时，;an +,12 r1an 十 万)1.=1 + an . |a n+ 1 an| =11an+2an-1 + 2|a n一 an-1 |综上所述，|a n+1 an| 2时，由(2)知|a 2n an| w |a 2n a2n 1| + |a 2n 1 a2n2 | + |a n+ 1 an|W 庐 | =邮an3.(2018 .浙东北大联盟考试)已知数列满足3=2, ny * 证明：当nC N时,310向前n项和为S.综上所述，|a 2n an| W 27.(1)0a n+1an；(2)a一 nnn2. 2 an证明 (1) 由于 an+1- an= W0n (n+ 1

13、)则 an+ 1 w a n.若 an+ 1 = an, 则1-an一 0,与 a1 一 2矛盾 ,故 anW。,从而 an+1a2a3an.an+1an1又= 1 - n (n+1)，-2n (n+ 1) 0,则an+ 1与an同号.-1 .又 a1 = 20,则 an+10,故 0an+1an.(2)由于 0an+1an,anan+1T.an+1an n n+1当n时,工=一工工Q工+匕；+工，+1/+二=3二=ann an 1/1an2 /2a、/a1n 1 n n 2n 12 a1 n3n- 1n0,从而an1- -ar- an n (n+ 1)n (n+1)1 11，一一= 1-2-

14、n71，（当且仅当n=1时，取等号）,a2 a3an+11n a1a2an i 2,一 一、4 一 一一 、, * 一*4.（2017 杭州质量检测）已知数列an的各项均为非负数，其前n项和为Sn,且对任意的nCN,者B有a +an+ an+ 2若ai = i, a505 = 2 017 ,求a6的最大值;(2)*，一， 一2若对任意 nCN,都有 $wi,求证：0W& n-an+i,.解由题息知an+1 anWg,n + 2 an+1,设 di = ai + iai(i =1,2,，504),504,且 di + d2+d3+ d504= a505一ai = 2 016.di + d2+ + d5 d6+d7+ d504 54992 016 (di+d2+ d5)499 .di + d2+ d520,a6= ai + (d 1+d2+ d5) 21, a6 的最大值为 21.*(2)证明 右存在kC N ,使得aka k+ak+1 + +3n(n k + 1)a k.对于固定的k,当n足够大时，必有*v bk= akak+ i(k N N),ai+a2+ ani,与题设矛盾,，an不可能递增，即只能