幂函数经典例题(答案)

1、实用标准文档幕函数的概念例1、下列结论中，正确的是()A.幕函数的图象都通过点(0,0), (1,1)B.幕函数的图象可以出现在第四象限 , 一.1 ,C,当吊指数a取1,3, 2时，号函数y= x"是增函数D.当事指数 后1时，幕函数v= X”在定义域上是减函数解析 当事指数a= 1时，幕函数y=x的图象不通过原点，故选项A不 正确；因为所有的幕函数在区间(0, +00)上都有定义，且y= xa (aC R), y>0, 所以幕函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当a= 1时，y= x”在区间(°°, 0)和(0, +oo)上是减函数，但它在

2、定义域上不是减函数.答案 C1例2、已知号函数f(x) = (t3t+1)x(7 + 3t 2t2) (tC Z)是偶函数且在(0, +8)上 5为增函数，求实数t的值.分析 关于幕函数y=x"(/R,林0)的奇偶性问题，设p (|p|、|q|互质)， q当q为偶数时，p必为奇数，y=xp是非奇非偶函数；当q是奇数时，y=xp的奇 qq偶性与p的值相对应.解 ”)是幕函数，.t31+1 = 1, .t= 1,1 或 0.当t=0时，f(x) = x5是奇函数；，2ie一,当t= 1时，f(x)=x£是偶函数；5当t=1时，f(x) = x8是偶函数，且2和8都大于0, 55

3、 5在(0, 十°°)上为增函数.故 t= 1 且 f(x) = x8或 t= 1 且 f(x) = x2. 55点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 tez给予足够的重视.例3、如图是幕函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象，则()A. -1<n<0<m<1 m>1 解析 在(0,1)内取同一值xo,作直线x= 大”.如图，0<m<1, n<1.1<n<0, m>1 D. n<1,xo,与各图象有交点，则 “点低指数答案 BOO点评 在区间(0,1)上，幕函数的指数

4、越大，图象越靠近 x轴；在区间(1, 十 )上，幕函数的指数感大，图象越远离 x轴.例4、已知x作出函数y=x2和y=x3的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例 5、函数 f(x) = (m2 m1)xm2+m3 是幕函数，且当 x (0, 十 °°)时，f(x)是 增函数，求f(x)的解析式.分析解答本题可严格根据幕函数的定义形式列方程求出m,再由单调性确定m.解 根据幕函数定义得m2 m 1 = 1,解得 m=2 或 m= 1, 当m= 2时，f(x) = x3在(0, +8)上是增函数；>x3,求x的取值范围.错解 由于x2>0, xgC

5、 R,则由x2>x1-,可得x R.错因分析上述错解原因是没有掌握幕函数的图象特征，尤其是y = x"在0>1和0< 0<1两种情况下图象的分布.正解1变式已知y= (m? + 2m-2)xm2_1 + 2n 3是吊函数，求 m, n的值.2，m +2m2=1解由题意得m21*0,l2n 3 = 0m= - 3解得33,n = 23所以 m= 3, n = 2.例6、比较下列各组中两个数的大小：3322(1) 1.55, 1.75; (2) 0.71.5, Of： (3) (-1.2)月(-1.25) 3.3解析：(1)考查幕函数y=x5的单调性，在第一象限内

6、函数单调递增, 33, - 1.5 <1.7 ,1.55 < 1.75 ,3(2)考查幕函数y=x2的单调性，同理0.7 1.5 >0.6 1.5.2.( 1.2) 3(3)先将负指数幕化为正指数幕可知它是偶函数，:22222(-1.2) 3 = 1.23, (-1.25) 3 =1.25 3,又 1.2 3>1.25 32>1.25 3点评：比较幕形式的两个数的大小，一般的思路是：(1)若能化为同指数，则用幕函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小.例7、比较下

7、列各组数的大小3-2与3.1-5；一8 一7与一露分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性， 当不便利用单调性时，可用 0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法.5 .解 (1)函数y=x 2在(0, 十0°)上为减函数，55又 3<3.1,所以 32>3.12.(2)87=照 函数y=在(0, +8)上为增函数,又8>9则设阅78'从而一 8 q< 8点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善 于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数.变式比较下列各组数的大小：2 r 2与6)- 223.2(2)4.15,(T.9)3与 3

8、.8 §.解(2)-2=修)3, (6,2=(6)-2,一， 2, 一 2 九:函数y=x 3在(0, +00)上为减函数，又 =3>6, .2 2； 2酋 2Vm 2a 2 一，3厂36 厂3<6 !- 3 C63.1-/1OV3一 592 2,22 A(45>15=1Q<3.8 3<1 3=1322所以(一1.9)5<3.8 3<(4.1)5.例8、已知幕函数y= x3m 9 (m N*)的图象关于y轴对称，且在(0, +)上函数值随x的增大而减小，求满足(a+1) 9<(3 2a)£的a的范围.33解 V函数在(0 ,

9、+ °°)上递减， .3m 9<0,解得 m<3,又 mC N , m= 1,2.又函数图象关于y轴对称，3m 9为偶数，故m=1,.11. .有(a+ 1)-o<(3-2a)-. 33一1，又X鼻在(一8, 0), (0, +OO)上均递减，3. a+ 1>3 2a>0 或 0>a+ 1>3-2a或 a+ 1<0<3-2a,解得2<a<3或 a<1. 32点评(1)解决与幕函数有关的综合题时，一定要考虑幕函数的定义.(2)幕函数y=x",由于a的值不同，单调性和奇偶性也就不同.变式 已知幕函

10、数y= xm - 2mi- 3 (mCZ )的图象与x轴、y轴都无公共点， 且关于y轴对称，求m的值，且画出它而图象.解 由已知，得 m2-2m-3<0, 一 10m& 3.又. me Z, . .m=1,0,1,2,3,当m=0或m=2时，y= x 3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题 息.当m= 1或m=3时，有y=x0,其图象如图所示.当m= 1时，y=x 4,其图象如图所示.练习一、选择题1 .下列命题：幕函数的图象都经过点（1,1）和点（0,0）;幕函数的图象不可能在第四象In = 0时，y=xn的图象是一条直线；幕函数 y= xn,当n>0时，是增函幕函数

11、y=xn,当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小.其中正确的是（）A.和 B.和 C.和 D.和答案 D2 .下列函数中，不是幕函数的是（）A. y=2xB. y=x 1 C. y = /xD. y= x2答案 A3 .设延2, 1, 1, 1, 1 1, 2, 3r,则使f（x） = x"为奇函数且在（0,2 3 2+ oo）内单调递疝的a值的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案 A4.当xC (1, +8)时，下列函数图象恒在直线 y=x下方的偶函数是().1_2_2_1A. y=x2 B. y= xC. y= x D. y=x答案 B是（5 .如

12、果幕函数y= (m2 3m+3) xm2m2的图象不过原点，则 m的取值 )答案解析由已知A. 1 <m< 2B , m= 1mi= 2C, m=2D, m= 1 m2 3m+ 3= 12m m 2 0 0m= 1 或 m=2.6 .在函数y=2, y=2x2, y=x2+x, y=1 (x*0)中幕函数的个数为()xA. 1B. 0C. 2D. 3答案 C解析依据幕函数的定义判定，应选C.7.幕函数f（x）的图象过点%, 2 ；,那么f（8）的值为（）A. 2gB. 64 C.乎 D.614答案 C解析 设f(x) = x" (a为常数)，将3，2 j点代入得2 = 4

13、",后g, f(x) = x112-2，. f(8) = 8-2=4.8.下列函数中，值域为0, +8)的函数是()A. y= 2xB. y= x2C. y=x 2 D. y= logax (a>0,且 a*1)答案 B解析根据函数图象，选B.二、填空题1 .若幕函数y=f(x)的图象经过点 ,3 J,则f(25) =.答案15解析 设 f(x)=x",则 9"= 1, a= 1. 321 1 f(25)=25 1=5.2 ,设幕函数y = x"的图象经过点(8,4),则函数y = x"的值域是答案0, +OO)解析由 4 = 8&quo

14、t;,得 0(|, ' y= x1>0. 333 .如图所示是幕函数y=x a在第一象限内的图象，已知a取±2, ± 四个 值，则相应于曲线 C1, C2, C3, C4的a依次为.文案大全11答案 2, 2, -2，-24.若幕函数y=f(x)的图象经过点(2, 瓜 则f(25)的值是.答案 5解析 设丫=乂"，:点(2,啦)在y=x"的图象上，1-11 _72 = 2 , . a= 2, . .f(x) = x2.故 f(25) = 252=5.5 .幕函数y=x"(代R)的图象一定不经过第 象限.答案四，6 .把下列各数23

15、, j|， 3， 3),拿,熊,按由小到大的排列顺序为答案12讹 11<*翳22. 333523 31 .7.已知幕函数f(x) = x2,若f(a+ 1)<f(10 2a),则a的取值范围是.答案 3<a<5解析 f(x) = x2 =上(x>0),由图象知x (0, +00)时为减函数，又f(a+ 1)<f(10-2a),1+1>0,，a>1,10 2a>0, 得<a<5,. 3<a<5.la+1>102a.1a>3.三、解答题211.求函数 y= x5 +2x5 + 4 (x>-32)值域.

16、1解析：设 t=x5, /x>-32, .>-2,则丫=式 + 21 + 4= (t + 1) 2+3. 当 t = 1 时，ymin=3.21函数 y= x5 +2x5 + 4 (x>-32)的值域为3, + g).点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法.(2)2 .已知f(x) = (m2 + 2m) xm2+m1, m是何值时，f(x)是(1)正比例函数; 反比例函数；(3)二次函数；(4)幕函数.解(1)若f(x)为正比例函数，则,.m=1.m2 + m 1 = 12 一 一m +2mw0(2)若f(x)为反比例函数，则1.m + m 1 = 1i 2，:m=m

17、+2mw0(3)若f(x)为二次函数，则；m2+ m 1 = 21±/T3m2 + 2m0'2.(4)若 f(x)为幕函数，则 m2 + 2m=1, ；m=1班。3 .已知点(M2, 2)在幕函数f(x)的图象上，点(一2, 4,幕函数g(x)的图象 上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x); (2)f(x) = g(x); (3)f(x)<g(x).解 设 f(x) = x",由题意得：2=(V2)2? a= 2,f(x) = x2.-10 I 工同理可求：g(x)=x-2,在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所 示.由图象可知

18、：当x>1或x<-1时，f(x)>g(x).当 x=± 1 时，f(x)=g(x).(3)当-1<x<0 或 0<x<1 时，f(x)<g(x).4.已知函数 y=(a_、a 3a+ 2* 0.解彳#a=4,即a = 4时，此函数为正比例函数;a2 - 5a + 5= - 1,2_、a 3a+ 2* 0.解彳4 a=3,即a = 3时，此函数为反比例函数.5.已知函数 y= 4/15 2x-x2 .(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间.解析：这是复合函数问题，利用换元法令t = 15 2x-x2,则y=Vi,(1)由152x