《等比数列》教学设计正式版

1、等比数列教学设计邢台一中【教学内容及内容分析】等比数列是高中课程标准实验教科书数学（必修5）第二章第四节的内容。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算会用到等比数列前n 项和的一些知识，而且起着承前启后的作用 数列作为一种特殊的函数与前面学到的函数思想密不可分，另外也为后面进一步学习数列的极限等内容做好准备。在数列的学习中，等差数列和等比数列是两种最重要的数列模型，并且等差数列与等比数列在内容上是完全平行的,包括定义、性质、通项公式、前 n 项和的公式、两个数的等差（比）中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时可用对比方法，以便于弄清它们之间的联系

2、与区别。【学情分析】教学对象是进入高中不久的学生，他们具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃，敏捷，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比，这是一种积极因素，应充分利用。但相比等差数列，等比数列中要注意的地方更多，比如说：等比数列的公比不能为零，等比数列的各项都不能为零等，这些细节学生容易忽略，通过本节课的学习，增强学生 思维的严谨性。新课程改革纲要提出：“要改变课程实施过于强调接受学习，死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获

3、取新知识的能力、 分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。 针对这一目标，这节课做了如下设计：（ 1 ） 通过一个 “折纸游戏 ”让学生从感性上认识等比数列，借助丰富的实例，使得学生加深对等比数列的认识。最终，通过学生的观察、分析、探讨得出等比数列的概念。并且借助这一过程使学生认识到数学来源于生活，经历观察现象，发现问题，总结归纳这一过程，促使学生形成善于观察，善于思考的好习惯。（ 2） 学生相互探讨，积极思考，以等差数列的通项公式的推导为参照物，探索等比数列的通项公式；通过与指数函数的图像类比，探索等比数列的通项公式的图像特征及指数函数之间的联系。通过这一过程锻炼学生的类比能力。（ 3）

4、让学生通过具体练习进一步体会从实际问题中抽象出等比数列模型，提高学生解决简单实际问题的能力。本节课还渗透了一些数学思想方法,比如类比思想、归纳思想、一般到特殊的思想等。【三维教学目标】知识与技能：通过实例,理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、等比中项、图像特点,能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建摸能力过程与方法：通过现实生活中大量存在的数列模型,让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型,体会数学是丰富多彩的而不是枯燥乏味的,达到提高学生学习兴趣的目的.情感、态度、价值观：通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的精神,严谨的科学态度.体会探究

5、过程中的主体作用及探究问题的方法,经历解决问题的全过程。【教学重点】等比数列的定义和通项公式。【教学难点】等比数列和指数函数之间的联系。【教具】多媒体【教学过程】一、导入新课情境一：做折纸游戏首先教师提出问题：一张普通的A4 纸，有人说至多只能折九次，你信吗？学生准备一张纸，动手实践，结果发现折不到九次就折不动了。这时，教师鼓励学生说明原因。学生讨论，教师作补充，共同分析厚度的变化，得出一个数列。教师提问：如果你能够对折50 次，猜它的高度将是多少？学生纷纷猜测。最后揭示答案：可以在地球和月球之间建一座桥！师生结合刚才的数列得出高度为 2h,并且发现数列的规律为：后项是前项的2 倍。【设计意图

6、】以小游戏开头，且此结果出乎预料，提高学生学习兴趣。情境二：阅读书本上给出的四个实际情景下的数列教师引入：很有规律的数列！生活中，还有这样的数列吗？布置学生阅读课本，提炼模型。【设计意图】培养学生重视教材的习惯，提高学生的阅读能力，体会数学源于生活的实际。体现由特殊到一般的数学思维模式。预计用时：5分钟二、推进新课（一）归纳上述几个数列共同的特点，类比等差数列给出等比数列的 定义。问题一：观察上述数列，你能发现它们存在什么共同的特征吗？能用 语言来描述它吗？ 学生相互讨论，必要时教师启发学生类比等差数列概 括出等比数列的定义和公比的定义。教师板书定义，共同讨论并修正学 生给出定义中的不足。【设

7、计意图】由几个具体数列提炼出定义， 培养学生归纳总结的能力， 类比等差数列下定义，增强学生的类比能力，体会数学知识之间的联系。 让学生发表自己的见解，强化学生的主体地位，培养学生的语言表达能 力。课件展示：下列数列是否为等比数列，如果不是，请说明原因：A 3, 3, 3, 3, A 2, 0, 2, 0, A （1） 2, 4, 8, 24, 72,学生互相讨论，教师提问学生回答（1） （2）,结合学生回答，在定 义的相应部位用彩笔标注需要注意的地方：（1）比为同一个常数；（2） 项不为零；公比不为零。 提问学生回答（3）,引导学生发现（3）这个常数数列，既是等比数 列，也是等差数列。教师追问

8、：任意一个常数数列既是等比数列，也是等差数列吗？【设计意图】结合练习找到定义中的需注意的点，讲练结合，使学生更好的掌握知识。 预计用时：5分钟（二）类比等差数列通项公式的推导过程， 推导等比数列的通项公式。问题二：根据定义，如果我们知道首项和公比，可以写出第二项、第三项，如果我们想得到第100项，虽然能得到，但是会费很大的功夫。这样就促使我们来研究等比数列的通项公式。那同学们能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？预计：学生可能想到的方法有三种：不完全归纳法，累乘法，迭代法。提问学生，展现学生风采。教师板书通项公式。师生共同利用通项公式研究开头折纸问题。50第2/

9、5页板书：通项公式【设计意图】培养学生自己解决问题的能力，变 要我学”为 我要学” 研究折纸问题，呼应开头，并实现对通项公式的简单应用，加深印象。,求它的首项；93-课件展示：例1、一个等比数列的第5项是41, 公比是例2、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第一项 和第二项。预计：学生可能想到的例2的解法，一是利用方程的思想，二是利用 等比数列的定义，三是等比中项的思想来做题，但现在还不知道等比中 项的概念）【设计意图】让学生熟悉等比数列的通项公式，并能灵活应用之。结 合例2,锻炼学生思维的灵活性，并为引入等比中项的概念做铺垫，使知 识点过渡自然。预计用时：12分钟（三）比照

10、等差中项的定义，请学生自己总结出等比中项的概念。2项呢？十1项、第n +问题三：通过刚才的例2,我们发现等比数列的 第2项、第3项、第4项也是成等比的，那第5项、第6项、第7项呢？ 第n项、第n学生简单考虑，就能回答出来。教师引导学生给出证明。教师追问：这和以前我们学到的哪部分知识点有些相似呢？（生回答:等差中项）你能类等差中项的概念，自己给出等比中项的概念吗？学生作答，教师补充并板书定义。【设计意图】类比旧知识，探究新定义，提高学生的学习能力。课件展示：练习：1、判断：任意两个数都有等比中项。追问：任意两个非零的数都有等比中项吗？学生讨论作答，教师引导学生发现有等比中项的两个数符号必须一致。

11、2、填数，使下列几个数构成等比数列：(1) 1. ( ) , 16 (2) 1, 2, ( ) , 8, 16学生讨论作答，教师引导学生发现，等比数列中奇数项的符号一致，偶数项的符号一致。【设计意图】通过练习，使学生发现定义中需注意的地方，加深对概念的理解。预计用时：5 分钟（四）学以致用，例题分析例3、一个等比数列的第2 项是10，第3 项是20，求它的首项和第4项。例4：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长（精确到1 年）？【设计意图】例3 加强学生对概念的理解，能够灵活运用公式；例4增强学生联系实际的能力，培养数学建模意识。预计

12、用时：6 分钟（五）探索等比数列通项公式的图像特征问题四：数学1中也有 “半衰期 ”的问题，还有“细胞分裂”、 “复利计算 ”的练习，当时是用什么方法解决的？它和数列之间有什么样的联系？带着问题布置学生做书上的“探究 ” （ 2），（3）。启发学生将等比数列和指数函数的联系起来，让学生描点作图画出上述两组图像，然后交流、讨论、归纳出来两者的关系。复习等差数列通项公式的图像特征，作对比加深印象。【设计意图】通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，揭示数学 知识是相互关联的。启发学生从不同角度去看问题。第3/5页预计用时：5分钟三、课后探究(数学兴趣小组课下活动)课件显示：探究一：1、利用推导等差

13、数列和等比数列的通项公式的方法，由下列数列的递推公式求出通项公式：n； =1-an-1,an= (1) al1+1n-an=1,ann。= (2) al探究二：做课后练习1, 3, 4,结合练习，类比等差数列的性质，自 主研究等比数列的性质。【设计意图】课后探究给学有余力的学生创造更广阔的数学空间。预计用时：1分四、小结。等航列等餐(it)中承通骑绘式9 *1. tMt*a【设计意图】预计用时：1分钟五、作业布置作业：课后习题 A组1, 6, 8【设计意图】1题锻炼学生的计算能力及对通项公式的应用，6题巩固对等差(比)中项的认识，8题综合考查本节课所学内容。学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累

14、，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300 下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300 下，哪个同学坚持了，有90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲

15、学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激

16、情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化

17、自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、 “笔记” “阅读”直到“考试

18、”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、 “错误的方法”和“积极的行为”、 “消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的

19、方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7 个方面，分别

20、是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲

21、述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可