人教A版必修41.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设

1、人教A版必修4 1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学设计基本信息名称5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念执教者田国纲课时一课时所属教材目录中等职业教育课程改革国家规划新教材 （高等教育出版 社）数学（基础模块 上册）P102 5.3.1任意角的正 弦函数、余弦函数和正切函数的概念教材分析本节是学生在初中学习了锐角三角函数，高中学习了函数的对应定义，以及哥、指、对函 数后，将锐角三角函数推广到任意角三角函数，是对集合与函数的知识的进一步渗透。本课是数学基础模块上册第五章三角函数中第三节的A课时。三角函数是基本初等

2、函数，它是因 变量随自变量变化现象的重要数学模型，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数正是这一思 想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。教材采用从特殊到一般的方法，将直角三角形平 移到直角坐标系中，从而将直角三角形中定义的锐角三角函数推广到任意角的三角函数。并且 根据三角函数的定义，研究任意角三角函数的定义域、三角函数在各个象限的正负号以及界限 角的三角函数值。为今后学习解析几何等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌 握任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念尤为重要。学情分析三角函数与之前学习的函数是一般与特殊的关系，三角函数置于其上位概念（即函数）之 下，教学中应当注意发挥学

3、生头脑中已有的函数对应定义，以及在哥函数、指数函数、对数函 数的学习中建立的经验、思想方法的指导作用。以已用的集合与函数、指数函数与对数函数的 知识为基础，通过联系和类比来研究三角函数，使学生明确三角函数与哥、指、对函数的研究通性，从而明确需要研究的问题及其方法。三角函数的教学应是一种逐渐分化”式的教学，要讲好概念，讲好知识的推展过程，讲好知识的前后联系。在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教学素材的回顾性、问 题性、思想性，在知识发生发展过程中，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学 思想方法的形成过程，设计成才-系列的问题，启发学生的积极主动思维。这样，可以使学生 感到数学

4、概念的形成是自然的，数学知识的发展和数学思想方法的形成也是自然的，而/、是牵 强和深奥的。教学目标1、知识与技能：理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，掌握利用计算器求任意 角的三角函数值、已知三角函数值求角、作三角函数的图像等实际操作，培养学生的计算工 具使用技能。2、过程与方法：通过从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程。领T第直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。3、情感、态度与价值观：培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观；培养学生求真务实、实事求是的科学态度。教学重难 点

5、重点任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、定义域、正负符号判断法。难点1、把三角函数理解为以实数为自变量的函数2、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数在各个象限的正负值教学策略 与设计说 明教法分析：我将采用探究式为主，讲练结合法为辅的教学方法。教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。探索与发现新知识是教学的重点.所以在教学中米用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识。学法指导：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通

6、过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图课前指导在教学前，先指导学生利用互联网 的，查找与任意角三角函数学习相关 的资料百度搜索：任意角的 正弦函数、余弦函数和 正切函数的概念。自主预习本课基本 知识点，初步了解 基础知识。复习引入、回 想再认问题：初中，我们学习过 角函数，（如图1）在RtAOEB 是直角，那么根据锐角三角函学 义，/O的正弦、余弦和正切; 定义的？（通过提问，帮助学 初中学过的锐角三角函数的定.锐角三 中，/E 即勺定 是如何 .生回顾 义）B对边 | PM | ysin a =斜边

7、 |OP | r邻边 I OM | xcosot=!=一斜边 |OP| r,对边 I PM | ytana邻边 |OM | x1771卜一/ 4不 来 4XaU pp温故待新门心而日 A1A Z-U V7-U夹4OE回忆函数的性质唤酉生学生对函数 的认识强调：只要角度确定r,无论角的边 长如何改变，正弦、余弦和正切值都 已经确定r。每一个确定的锐角，都 有相应的唯一的正弦值、余弦值和正 切值与之对应。因此，锐角三角函数 是以角为自变量，以边长的比值为函 数值的函数。探讨学习、建 构知识上节课，我们已经把锐角推广到 了任意角，今天锐角的三角函数概念 也能推广到任意角吗？试试看，可以 独立思考和探

8、索，也可以互相讨论！问题1:今天我们能否继续在直 角三角形中定义任意角的三角函 数？小组讨论：每组汇总结论，陈述理 由引导学生在平卸 直角坐标系中定 义任意角三角函 数。问题2:（追问）在上节课，我 们是如何将锐角的概念推广到任意 角的？小组讨论：每组汇总结论，陈述理 由进一步引导学生 在平向直角坐标 系中定义任意角 三角函数。11 / 9打开【百度搜索】： 93d619b6648d7c1c746fb.htmlRW上课件把锐角a放置于直角坐标系（角的顶 点与原点重合，角的始边与x轴非负 轴重合），在直角坐标系中，在角a终 边上任取一点B,彳BE _L x轴于E, 构造一个 RTAOEB ,贝U

9、 /EOB = a（锐角）设 B（a,b）（a A0,b0） , 0t 的邻边OE=a、对边EB=b,斜长|OB|=r = .a2 b2问题3:我们知道，借助平面直角坐 标系，就可以将几何问题代数化，如 将点用坐标表示出来，把线段的长用 坐标算出来。那我们能否在平面直角 坐标系中，用角的终边上的点的坐标 来表示三角函数定义式中的三条边 长呢？sin 二：EBb=)rrOBacos：=rrEBbtan -OEa问题4:既然我们已经可以用终边上 的点的坐标（比值）来表示锐角三角 函数，那如果终边不在第一象限，也 就是角a不再是锐角时，我们可以用 这种方法定义任意角三角函数吗？教师打开启动math3

10、d 6.09 ,展示 不同象限的角。学生一起探讨将锐角 三角形放到直角坐标 系中研究（如图2）学生分组讨论结论：在平面直角坐标 系中考察锐角三角形， 可以用终边上的点的 坐标（比值）来表示锐 角三角函数。任意角三 角函数定义“再创造”：学生互相讨论，发言。自主学习，集体 探究展开想象，大胆 创新这样的处理，不 仅保持了学生一 定的思考能力， 还有助于学生克 服认识上的困 难，既用坐标定 义了三角函数， 又解决了在直角 三角形中不能定 义任意角的三角 函数的问题，并 形成正确的认识教师引导学生一起归纳：【定义】设a是平面直角坐标系中的一个任意角，点 B(x,y)是角a 终边上任一点，B与原点。之

11、间的距 离记作r ( r = Jx2+y2 0),那么 角a的正弦、余弦和正切分别定义 为：ysin 一 二正弦：rxCOS-i =余弦：ry tan 工=正切：x为使学生更深刻领会任意角三角函数的定义，引导学生思考如下两 个问题：问题5:比值会随着点B在终边的位置改变而改变吗？打开math3d 6.09(如图3),观察，体验培养过程思维， 强化函数两个变 量之间的变化关 系先由学生自由发表意 见学生观察三角函数值 的变化联系相似三角形知识， 探索发现，得出“对于角 的每一个确定值，三个比值 都是确定的，不会随B在终 边上的移动而变化”。问题6：角豆大小发生变化时, 比值会改变吗？打开math

12、3d 6.09 动画演示（如图4）。- 126-35引= 0.S1C 0凯/2母。8卜=M.59lanlmzTloBi = -1,36在各个象限内旋转角a的终边， 改变角的大小。结论：函数值随a的变化而变化.教师强调：(1) sin a表示sin与a的乘积 吗？不是，sin 口是函数记号，是一个整体，相当于函数记号f(x),其它几个三角函数也如此。(2)对于每一个确定的a值， 其正弦、余弦及正切(当 x*0)都 分别对应一个确定的比值。因此，正 弦、余弦及正切都是以a为变量的函 数，分别叫做正弦函数、余弦函数及 正切函数，它们都是三角函数。注意函数符号意义利用函数定义理解三 角函数概念培养个性

13、思维通 math3d 6.09的动态演 示，使本节课学 习的重点得到更 好的理解，也可 以帮助学生突破 难点。强化函数定义由任意角三角函数的定义可以 看出，当角a的终边在y轴上,JIk # 一 + M,kWz,终边上任意一点2的横坐标X的值都等于0,此时 tano(=工无意义。因此，正弦函数、X余弦函数及正切函数的定义域如下表所小：记忆三角函数定义域|三角函数定义域sinaRcos CtRtana冗k # 一 + kn,kw z2在弧度制下，的度量值个实 数，因此，三角函数是以实数为自变 量的函数。例题精讲，巩 固应用例题：已知角a的终边经过点 p(2,-3),求角a的正弦、余弦、 正切值。分

14、析：已知角a的终边上一点p的坐 标，求角a的某个三角函数值的时 候，首先要根据关系式 r =$x2 +y2 ,求出点p到坐标原点 的距离r ,然后根据三角函数定义进 行计算。解：因为x = 2, y = -3 ,所以r =弋2 +(-3)2 =石3因此y -3363sin a = =r1313x 223cosa =-=；=r 的313*y 3tan a =x 2小组共同完成知识运用练习巩固、理 解记忆基础练习：(1)已知角a的终边经过点P (-3,学生个人完成，小组核 对增强相互协作精 神-1 ),求a的三个三角函数值。(2)已知角a的终边经过点P (-2,3),求 sin a,cosa 的值

15、。提高练习：若点p(12,m)是角a终边5-L 点，且 tan a =，求 sin a 和12cosa的值。分享交流总结小组讨论：学习心得，学会了什么？哪些还不懂。布置作业课外练习：【百度搜索】http:/www.eku.cc/xzy/sj/56190.htm板书设计任意角的正弦函数、 余弦函数和正切函数的概念：强调：例题讲解：练习讲解：教学设计流程图本教案设计，我借助互联网进行数学知识挖掘，提高教师个人对教材内容 和教学方法的理解；并充分考虑职中学生的特点，延伸课堂，利用互联网的巨 大资源库，为学生提供更多更好的学习机会。做得比较成功的地方有：1、利用现代技术手段，使枯燥的数学知识生动化，提高学生学习数学的兴 趣，教给学生更科学的学习方法。教学反思2、采用以“由旧信新，由易到难”的思路开展教学，指导学生通过讨论、 难证去探求知识，体验三角函数概念的产生、发展过程。3、借助了互联网、几