二次函数解析几何--存在性问题

1、页眉内容二次函数解析几何专题一一存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较 广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要 求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在一推理论证一得出结论。若能导出合理的结果， 就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整 地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。一、方法总结解存在性问

2、题的一般步骤：(1)假设点存在；(2)将点的坐标设为参数；(3)根据已知条件建立关于参数的方程或函数。、常用公式(1)两点间距离公式：若 A(Xi, yi), B(X2, y2),则 |AB|= V(Xi X2)2+(y1 y2)2(2)中点坐标公式:Xi X2yi y2x =,y =-r- 22(3)斜率公式：k = y2 y1 ；k = tan日(日为直线与 x轴正方向的夹角)X2 -Xi(4)对于两条不重合的直线li、切 其斜率分别为ki、k2,则有li/“2? ki=k?如果两条直线1I2的斜率存在，设为 I、k2,则li±l2? kik?=- i.页脚内容页眉内容题型一面积

3、问题2例1.如图，抛物线 y= x +bx+ c与x轴交于A(1, 0), B( 3, 0)两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P,使4PBC的面积最大？，若存在,求出点P的坐标及 PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由.变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为(一2, 0),连结OA将线段OA绕原点O顺时针旋 转120。，得到线段OB(1)求点B的坐标；(2)求经过A O B三点的抛物线的解析式；(3)如果点P是(2)中的抛物线上的动点， 且在x轴的下方，那么 PAB是否有最大面积？ 若有，求出此时 P点的坐标及 PAB的最大面积；若

4、没有，请说明理由.2. (2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点Q1 , 4),交x轴于点A(3 , 0),交y轴(1)(2)于点 求抛物线和直线 AB的解析式；(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点P,使 S pa-9 Sa cab,8若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由求 CAB勺铅垂高CD及Scab ；页脚内容例2:如图，在坐标系 xOy中， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , A (1, 0) , B (0,2),抛物线y= -x2+bx-2的图象过C点.2(1)求抛物线的解析式；(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l .当l移动到何处时，

5、恰好将 ABC的面积分为相等 变式练习：如图，抛物线 y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与 A, B, C三点，且AB=4,点D (2, 3)在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2 (kw0)的图象，点 O是坐标2原点.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线l平分四边形 OBDC勺面积，求k的值；例3:将直角边长为6的等腰RtAOCM在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点C A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点R - 3, 0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点 P作AB的平行线交 AC于点E,连接AP,当 APE的面积

6、最大时，求点 P的坐标;变式练习：如图1,抛物线y=1x2 _9x_9与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C联结 22BC AC(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A B不重合)，过点 E作BC的平行 线交AC于点D.设AE的长为m aADE勺面积为s,求s关于m的函数关系式，并写出自变 量m的取值范围；能力提升：1. (2013荷泽)如图1, 4ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A C分别是一次函数3 1 2 一 y = x+3的图像与y轴、X轴的交点，点B在二次函数y = X +bx + c的图像上，且该4 8二次函数图像上存在一点 D使四边形ABC/归

7、构成平行四边形.(1)试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，由 PQL AC?当P运动到何处时，四边形 PDCQJ面积最小？此时四边形PDCQJ面积是多少？2 .如图，已知抛物线 y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为 B (5, 0),另一个交点为 A, 且与y轴交于点C (0, 5).(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M乍MN y轴交直线BC于点N,求MN的最大值；(3)在(2)的条件下，MNX得最大值时，若点 P是抛物线在x轴下方图象上任意一

8、点， 以BC为边作平行四边形 CBP或平行四边形 CBPQ勺面积为S1/ABN勺面积为 电且Si=6® 求点P的坐标.3 .如图，二次函数的图象与 x轴相交于点A (-3, 0)、B (-1 , 0),与y轴相交于点C (0, 3),点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k (kw0)的图象过点 P交x轴于点Q(1)求该二次函数的解析式；(2)当点P的坐标为(-4 ,河)时，求证：/ OPCh AQC(3)点M N分别在线段AQ CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点 A向点Q运动， 同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点 C向点Q运动，当点M, N中有一点到达 Q点时， 两点

9、同时停止运动，设运动时间为t秒.连接AN当 AMN勺面积最大时，求t的值;若不能，请说明你的理由.题型二：构造直角三角形例2. (2010四川乐山)如图所示，抛物线 y = x2+bx + c与x轴交于A, B两点，与y轴交于点 C (0, 2),连接 AC,若 tan / OAC=2(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使/ APC=90 ?若存在，求出点 P的坐标；若不 存在，请说明理由；变式练习：1 21.函数y=-x的图象如图所不，过 y轴上一点M 0,2的直线与抛物线交于 A, B两点， 8'过点A, B分别作y轴的垂线，垂足分别为 C

10、, D.(1)当点A的横坐标为-2时，求点B的坐标；(2)在(1)的情况下，分别过点 A , B作AE，x轴于E , BF，x轴于F ,在EF上是否存在点P,使/APB为直角.若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由；3. (2010山东聊城)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (aw。)的对称轴为x= 1,且抛物线经过A( 1, 0)、C (0, 3)两点，与x轴交于另一点 B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴 x=1上求一点 M使点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小， 并求此时点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x=1上的一动点，求使/ PCB=

11、 90o的点P的坐标.4第25题图4. (2012广州)如图1,抛物线y =3x23x+3与x轴交于A B两点(点A在点B的左84侧)，与y轴交于点C.(1)求点A B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 AC曲面积等于 ACB勺面积时，求点D的坐标；(3)若直线l过点E(4, 0), M为直线l上的动点，当以 A B M为顶点所作的直角三角形 有且只有 三个时，求直线l的解析式.图15. (2013白银)如图，在直角坐标系 xOy中，二次函数 y=x2+ (2k-1) x+k+1的图象与x 轴相交于Q A两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图

12、象上有一点 B,使AOB的面积等于6,求点B的坐标； (3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点 巳使/ POB=90 ?若存在，求出点 P 的坐标，并求出 POB勺面积；若不存在，请说明理由.ly6. (2013山西)如图1,抛物线y =lx2 -x-4与x轴交于A、B两点(点B在点A的右 42侧)，与y轴交于点C,连结BC以BC为一边，点O为对称中心作菱形 BDEC点P是x轴上的一个动点，设点 P的坐标为(m 0),过点P作x轴的垂线1交抛物线于点 Q(1)求点A B、C的坐标；(2)当点P在线段OB上运动时，直线1分别交BD BC于点M N.试探究m为何值时，四边形CQMD平行四边

13、形，此时，请判断四边形CQBMJ形状，并说明理由；(3)当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q使 BD则直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.7. (2013济宁)如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于 A B两点，且点A (1,-4)为抛物线的顶点，点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上.是否存在一点P,使 POBf POCir等？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点Q是y轴上一点，且 ABS直角三角形，求点 Q的坐标.8. (2013绵阳)如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象

14、的顶点 C的坐标为(0, -2),交x轴 于A、B两点，其中 A (-1, 0),直线l： x=m (m>1)与x轴交于D。(1)求二次函数的解析式和 B的坐标；(2)在直线l上找点P (P在第一象限)，使得以 P、D、B为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含 m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使 BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。题型三构造等腰三角形例3.如图，已知抛物线 y =ax2 +bx +3 (aw0)与x轴交于点A(1 , 0)和点B( 3

15、, 0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点 Q使得 ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条 件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设抛物线的对称轴与 x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使 CM明等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.变式练习：1 . (2010四川宜宾改编)将直角边长为 6的等腰RtAOCM在如图所示的平面直角坐标系 中，点O为坐标原点，点 C A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A C及点 R - 3, 0).(1)求该抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点 P,使

16、得 ABP为等腰三角形，若存在，求出 P点坐标；若不 存在，说明理由。2 .如图，抛物线 y =ax2 5ax+4经过ABC的三个顶点，已知 BC / x轴，点A在x轴 上，点C在y轴上，且AC=BC PAB是等腰三角(1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；(2)探究：若点P是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点，是否存在形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.3 、 (2014硝余模拟)如图，已知二次函数图象的顶点为(1, -3),并经过点C (2, 0)(1)求该二次函数的解析式；(2)直线y=3x与该二次函数的图象交于点 B (非原点)，求点 B的坐标和 AO

17、B的面积;(3)点Q在x轴上运动，求出所有 AO址等腰三角形的点 Q的坐标1 24.如图,已知抛物线y = x2 +bx +C与y轴相父于C,与x轴相父于A、B,点A的坐标 2为(2, 0),点C的坐标为(0, -1 ).(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC上是否存在一点 P,使4ACP为等腰三角形，若存在，求点 P的坐标，若 不存在，说明理由.能力提升： 21 . (2010黄冈)已知抛物线 y=ax +bx + c(a=0)顶点为C (1, 1)且过原点 O.过抛物5线上一点P (x, v)向直线y=一作垂线，垂足为 M连FM(如图).4(1)求字母a, b, c的值；3 (2)在直线

18、x=1上有一点F(1-),求以PM为底边的等腰三角形 PFM勺P点的坐标，并证 4明此时 PFM为正三角形；(3)对抛物线上任意一点巳是否总存在一点 N (1, t),使PM= PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在t#说明理由.2.如图，已知二次函数 y=-x2+ bx+c (c>0)的图象与x轴交于 A B两点(点A在点B的 左侧)，与y轴交于点C,且OB=OC=3顶点为M(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点 P作x轴的垂线PQ垂足为 Q若OQ=m四边形 ACPQ的面积为S ,求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；(3)探索：线段BM上是否存在点N,

19、使NM等腰三角形？如果存在，求出点 N的坐标； 如果不存在，请说明理由.题型四构造相似三角形例4.(2011临沂)如图，已知抛物线经过A ( -2,0), B ( - 3,3)及原点0,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且 A、O D E为顶点的四边形是平行 四边形，求点D的坐标；(3) P是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P作PMLx轴，垂足为M,是否存在点P,使 得以P、M A为顶点的三角形4 B0C相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理 由.变式练习：1. (2012天水)如图，已知抛物线经过 A (4, 0) , B (1,

20、 0) , C (0,-2)三点. (1)求该抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使彳DCA勺面积最大？若存在，求出点D的坐标及 DCA0积的最大值；若不存在，请说明理由.(3) P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过 P作PMLx轴，垂足为 M,是否存在P点, 使得以A、P、M为顶点的三角形与 OACf似？若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若 不存在，请说明理由.y yB A1 - 11Hl.O 1x2.(2012上海宝山)如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A (2, 3),线段AB垂直于y轴,垂足为B,将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°,点B

21、落在点C处，直线BC与x轴的交于点D .(1)试求出点D的坐标；(2)试求经过 A、B、D三点的抛物线的表达式， 并写出其顶点E的坐标；(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找点 F ,使得 以点A、E、F为顶点的三角形与 4ACD相似.（图7）例5.二次函数y=ax2+bx+c (aw0)的图象与x轴的交点为 A (-3, 0)、B (1, 0)两点，与y轴交于点C (0, -3m)(其中m>0),顶点为 D.(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；(2)如图，当 m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及

22、 S的最大值；(3)如图，当 m取何值时，以 A、0 C为顶点的三角形与 BOG目似？变式练习：1.如图，二次函数 y=ax2+bx (a<0)的图象过坐标原点 O,与x轴的 负半轴交于点 A,过A点的直线与y轴交于B,与二次函数的图象交 于另一点C,且C点的横坐标为-1 , AC: BC=3: 1.(1)求点A的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为F,其对称轴与直线 AB及x轴分别交于点D和点E,若 FCD与4AED相似，求此二次函数的关系式.能力提升:1. (2012苏州)如图，已知抛物线 y=-x (2012宁波)如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象交x轴于A ( 1, 0)

23、, B (2, 0),交 y轴于C (0, - 2),过A, C画直线.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且 PA=PC,求OP的长；(3)点M在二次函数图象上，以 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为 H.若M在y轴右侧，且 CHMsaoc (点C与点A对应)，求点 M的坐标;- -(b+1)x+ - (b是实数且b>2)与x轴的正半轴 444分别交于点A、B (点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C. (1)点B的坐标为，点C的坐标为(用含b的代数式表示)； (2)请你探索在第一象限内是否存在点巳使得四边形PCOB勺面积等于2b,且4PBC是以点P为直角顶点的

24、等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使彳QCO QOA和 QAB中的任意两Q的坐标；如果不存在,个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在，求出点 请说明理由.题型五构造梯形例6. (2008四川成都)如图，在平面直角坐标系 xOy中，AOAB勺顶点A的坐标为 (10, 0),顶点B在第一象限内，且sin/ OAB=_55(1)若点C是点B关于x轴的对称点，求经过 0、C、A三点的抛物线的函数表达式；(2)在(1)中，抛物线上是否存在一点 P,使以P、0、C、A为顶点的四边形为梯形？若存 在，求出点P的坐标；若

25、不存在，请说明理由；变式练习：1. (2011莱芜)如图，在平面直角坐标系中， 已知点A( - 2, - 4) , 0B=2抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O B三点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上，是否存在点P,使得以点P与点。A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.2 .已知，矩形OABCE平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标2为(0,2),直线y = x与边BCf目交于点D.3(1)求点D的坐标；(2)抛物线y=ax2 +bx+c经过点A、D O求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M使Q H

26、 A M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由.，一 一21 1 _，、3 .如图：二次函数y = x +ax + b的图象与x轴父于A ,0 iB(2,0)两点，且与y轴交 < 2 )(1)求该抛物线的解析式，并判断 AABC的形状；(2)在x轴上方的抛物线上有一点 D ,且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯 形，请直接写出 D点的坐标；B、 P四点为顶点的四边形是直角梯(3)在此抛物线上是否存在点P ,使得以 A、C、形？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由.4 .已知，在 RtOAB 中，/OAB=90) /BOA = 3

27、0。，AB = 2。若以 O 为坐标原点，OA 所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系 ，点B在第一象限内。将 RtOAB沿OB折 叠后，点A落在第一象限内的点 C处。(1)求点C的坐标；(2)若抛物线y =ax2 +bx(a #0廨过C、A两点，求此抛物线的解析式；(3)若抛物线的对称轴与 OB交于点D ,点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点 M。问：是否存在这样的点 P,使得四边形CDPM为等腰梯形？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。yf能力提升1. 如图1,二次函数y = x2 + px + q(p M0)的图象与x轴交于A B两点，与y轴交于点C

28、5(0, 1) , ABC勺面积为(1)求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点 M (0, m彳y轴的垂线，若该垂线与 ABC勺外接圆有公共点，求 m 的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D使以A、R C D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.2. (2011义乌)已知二次函数的图象经过A (2, 0)、a。，12)两点，且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点 B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点 D,使四边形OPB时等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(

29、3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O P两点除外)，以每秒个单位长度的速 度由点P向点O运动，过点 M作直线MN/x轴，交PB于点N.将PM的直线MN寸折， 得到 RMN 在动点M的运动过程中，设 RMNf梯形OMNBJ重叠部分的面积为 S,运动 时间为t秒，求S关于t的函数关系式.3. (2014年广东汕尾)如图，已知抛物线y=-x2 - -x - 3与x轴的交点为 A、D (A在D的84右侧)，与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标;(2)若点M在抛物线上，使得 MAD的面积与ACAD的面积相等，求点 M的坐标;(3)P的坐标；若不存在，请说明理由.P四点为顶点的四边形

30、为梯形？若存在，请求出点题型六构造平行四边形例7. (2010陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(1, 0) , B (3, 0) , C(0, 1)三点。(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q P、A B为顶点的四边形是平行四边形， 求所有满足条件的点 P的坐标。变式练习:1.已知抛物线y = vx2 +2ax +b与x轴的一个交点为 A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.(1)直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标；(2)坐标平面内是否存在点 M，使得以点M和(2)中抛物线上的三点 A B、C为顶点的四 边形是平行四边形？

31、若存在 ，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知，如图抛物线 y = ax2+3ax+c(a A0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A 点在B点左侧。点 B的坐标为(1 , 0),OC=30B.(1)求抛物线的解析式；(2)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以 A C、E、P为顶点且以AC为一边的 平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.53. (2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=_x + m ( m为常数)4的图象与 x轴交于点 A( -3 , 0),与y轴交于点 C.以直线 x=1为对称轴的抛物线2y=ax +bx+c (a

32、, b, c为常数，且aw0)经过A, C两点，并与x轴的正半轴交于点B.(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点 E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这 样的点E,使得以A C, E, F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E的坐标及 相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；能力提升：1.如图，抛物线 y =x2+bx + c与x轴交于A (-1 , 0)、B (3, 0)两点，直线l与抛物线交于A C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求抛物线的解析式及直线 AC的解析式；(2) P是线段AC上的一个动点，过 P点作x轴的垂线交抛物线于

33、E点，求线段PE长度的 最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在 x轴上是否存在点 F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点 的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F点坐标；如果不存在，请说明理由2.已知平面直角坐标系 xOy (如图1), 一次函数y=3x + 3的图像与y轴交于点A,点M在4正比例函数y=3x的图像上，且 MO= MA二次函数2y= x2+ bx+ c的图像经过点A、M(1)求线段AM勺长；(2)求这个二次函数的解析式；1-(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点 D在一次函数y=gx+3的图像上，且四边形4ABC国菱形，求点 C的坐

34、标.题型七线段最值问题例8. (2012滨州)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx + c经过N 2, 4 )、0(0, 0) 、B(2, 0)三点.(1)求抛物线y= ax2 + bx+c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM 0M勺最小值.【变式练习】1. (2012山西)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2 + 2x+3与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C点D是抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；(2)点P是x轴上的一个动点，过 P作直线l AC交抛物线于点 Q试探究：随着点 P的 运动，在抛物线上是否存在点Q,使以A P、

35、Q C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请在直线 AC上找一点M,使 BDM勺周长最小，求出点 M的坐标.2、(2013北京模拟).如图，抛物线y= ax2+c (a>0)经过梯形ABCD的四个顶点，梯形 的底AD在x轴上，其中A (2,0) , B (- 1, -3).(1)求抛物线的解析式；(2)点M为y轴上任意一点，当点 M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点 M的 坐标；(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点P使Swad=4Saabm成立，求点P的坐标. .,一 、.一 2,、.,例9. (2009山东省荷泽市

36、)如图，已知抛物线y= ax +bx+c与y轴交于点A(0 , 3),与x轴分别交于B(1 , 0)、C(5 , 0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点 E),再到达抛物线 的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点 A.求使点P运动的总路径最短的点 E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.变式练习：1. (2011广东深圳)如图13,抛物线y=ax2+bx + c(aw0)的顶点为(1,4), 交x轴于A B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,

37、其中E点的横坐标为2,若 直线PQ为抛物线的对称轴，点 G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点 H,使H G F、H 四点围成的四边形周长最小 .若存在，求出这个最小值及 G H的坐标；若不存在，请说明理 由.(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为 M过点M作直线MN/ BD,交线段AD于点N,连接MD使 DNMh BMD若存在，求出点 T的坐标；若不存在， 说明理由.2、( 09深圳模拟)已知 ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中 点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点 E,点B (-1, 0) , P是AC上的一 个动点(P与点A、

38、C不重合)(1)求点A、E的坐标；46.32.一(2)右y= -7-x +bx+c过点A、E,求抛物线的解析式。(3)连结PB、PD,设L为 PBD的周长，当L取最小值时，求点 P的坐标及L的最 小值，并判断此时点 P是否在(2)中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。能力提升1 . (2011福州) 已知，如图11,二次函数y =ax2+2ax_3a (a=0)图象的顶点为 H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧)，点H、B关于直线l : y =43x+在对称.'3(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK / AH交直线l于K点，

39、M、N分别为直线 AH和直线l上的两个动2 .如图.在直角坐标系中，已知点 A(0. 1. ), B( -4. 4).将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,顶点在坐标原点白抛物线经过点B.(1)求抛物线的解析式和点 C的坐标；(2)抛物线上一动点P.设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2,试说明d2 =d1 +1 ；(3)在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时.APAC的周长有最小值， 并求出 PAC的周 长的最小值。3、(12上海模拟)如图，以矩形 OABC的顶点。为原点，OA所在的直线为x轴，OC所 在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知 OA = 3, OC

40、= 2,点E是AB的中点，在 OA 上取一点D ,将 BDA沿BD翻折，使点 A落在BC边上的点F处.(1)直接写出点E、F的坐标；(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三 角形，求该抛物线的解析式；(3)在x轴、y轴上是否分别存在点 M、N,使得四边形 MNFE的周长最小？如果存在， 求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.1 1 2例10.如图，已知直线丫=一*+1与丫轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y = x +bx + c 22与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0)。(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在轴上移

41、动，当 PAE是直角三角形时，求点 P的坐标P。(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM -MC |的值最大，求出点 M的坐标。变式练习1.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是直角梯形，BC/AD, / BAD=90° , BC与y轴相交于点 M,且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是 A ( - 1, 0) , B(-l, 2) , D (3, 0).连接DM ,并把线段DM沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c 经过点D、M、N.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点 P,使得PA=PC?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明 理由.

42、(3)设抛物线与x轴的另一个交点为 E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q在 什么位置时有|QE- QC|最大？并求出最大值.中考链接1 .(2013 昭通)如图 1,已知 A(3, 0)、B(4, 4)、原点 O(0,0)在抛物线 y=ax2+bx+c (aw0) 上.(1)求抛物线的解析式.(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D,求m的值及点D的坐标.(3)如图2,若点N在抛物线上，且/ NBOh ABO则在(2)的条件下，求出所有满足 POS NOB勺点P的坐标(点 P、O D分别与点 N、O B对应)图】2. (2013恩施)如图所示，直线 l

43、 : y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把 AOBg y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、C和D (3, 0).(1)求直线BD和抛物线的解析式.(2)若BD与抛物线的对称轴交于点 M点N在坐标轴上，以点 N、B、D为顶点的三角形与 MCN目似，求所有满足条件的点N的坐标.(3)在抛物线上是否存在点 巳 使Sapbd=6?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由.3. (2013凉山州)如图，抛物线 y=ax2-2ax+c (aw0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3, 0),与y轴交于点C (0, 4),以OC OA为边作矩形 OAD*抛物线于点 G(1)求抛物线的解析式；(

44、2)抛物线的对称轴l在边OA (不包括。A两点)上平行移动，分别交 x轴于点E,交 CD于点F,交AC于点M交抛物线于点P,若点M的横坐标为 m请用含m的代数式表示 PM 的长；(3)在(2)的条件下，连结 PC则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点 P,使得以 P、C、F为顶点的三角形和 AEMfr目似？若存在，求出此时 m的值，并直接判断 PCM勺形 状；若不存在，请说明理由.4. (2013随州)在平面直角坐标系 xOy中，矩形ABCO勺顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴 2上，点P在AB上，PA=1, AO=2经过原点的抛物线 y=mx-x+n的对称轴是直线 x=2 .(1)求出该抛物

45、线的解析式.(2)如图1,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点。和C.现在利用图2进行如下探究：将三角板从图1中的位置开始，绕点 P顺时针旋转，两直角边分别交OA OC于点E、F,PE当点E和点A重合时停止旋转.请你观察、猜想，在这个过程中，PE的值是否发生变化？PF PE,一若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出 上 的值.PF设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为 D,顶点为M,在的旋转过程中，是否存在点F,使 DM四等腰三角形？若不存在，请说明理由.图15. (2013梧州)如图，抛物线 y=a (x-h ) 2+k经过点A (0, 1),且顶点坐标

46、为 B (1, 2), 它的对称轴与x轴交于点C.(1)求此抛物线的解析式.(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得 AC幅以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标.(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.6、(2013襄阳)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的一个交点 A的坐标为(-1,0), 对称轴为直线x=-2 . (1)求抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标；(2)点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点.已知以AB为一底边的梯形ABCM面积为9.求此抛物线的解析式，并指

47、出顶点E的坐标；(3)点P是(2)中抛物线对称轴上一动点，且以 1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为t秒.当t为 秒时， PAD的周长最小？当t为秒时， PAD以AD为腰的等腰三角形？(结果保留根号)点P在运动过程中，是否存在一点P,使 PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.7. (2013眉山)如图，在平面直角坐标系中， 点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3 OA=OD=1抛物线y=ax2+bx+c (aw0)经过 A B C三点，直线 AD与抛物线交于另一点 M.(1)求这条抛物线的解析式；(2) P为抛

48、物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点 P,使以点A P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移w生个单位后得到的抛物线的解析式.1 -8.(2013年遂宁)如图，抛物线 y = 1 x2+bx +c与x轴交于点 A(2 , 0),交y轴于点 4B(0, 5)直线y=kx -3过点A与y轴交于点C与抛物线的另一个交点是 D=2213(1)求抛物线y = - x2 +bx+c与直线y=kx 一一的解析式； 42(2)设点P是直线AD上方的抛物线上一动点 (不与点 A D重合)，过点P作y轴的平行线

49、，交直线AD于点M彳DEI y轴于点E.探究：是否存在这样的点P,使四边形PMEC1平行四边形，若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；在的条件下，作 PNI± AD点N,设 PMN勺周长为l，点P的横坐标为x,求l与x的函数关系式，并求出l的最大值._9. (2013年湘潭)如图，在坐标系 xOy中， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , A (1,0) , B (0, 2),抛物线y= 1x2+bx-2的图象过 C点.2(1)求抛物线的解析式；(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l .当l移动到何处时，恰好将 ABC的面积分为相等的两部分？(3)点P是抛物线上一动点，

50、是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.10. (2013重庆)如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为 B (5, 0),另一个交点为A,且与y轴交于点C (0, 5).(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M乍MM y轴交直线BC于点N,求MN的最大值；(3)在(2)的条件下，MNX得最大值时，若点 P是抛物线在x轴下方图象上任意一点， 以BC为边作平行四边形 CBP或平行四边形 CBPQ勺面积为S1/ABN勺面积为 电且S1=6也求点P的坐标.11. (2013舟山)如图，在平面

51、直角坐标系xOy中，抛物线y=1 (x-m) 2-1R+m的顶点44为A,与y轴的交点为 B,连结AB, ACL AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC连 结 BD.彳AE/ x 轴，DE/ y 轴.(1)当m=2时，求点B的坐标；(2)求DE的长？(3)设点D的坐标为(x, y),求y关于x的函数关系式？过点 D作AB的平行线，与第(3)题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时，以，A, B, D, P为顶点的12. (2013枣庄)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C (

52、0,-3)点，点P是直线 BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO PC并把 POCgCOB折，得到四边形 POP C,那么是否存在点 巳使四边 形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC勺面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC勺最大面积.13. (2013潍坊)如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与 A, B, C三点， 且AB=4,点D (2, 3)在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2 (kw0)的图象，点 。是坐 2标原点.(1)求抛物线的解析

53、式；(2)若直线l平分四边形 OBDC勺面积，求k的值；(3)把抛物线向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线与直线l交于M N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点 P,使得不论k取何值，直线PMW PN总是关于y 轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.14. ( 2014武海，第22题9分)如图，矩形 OABC的顶点A (2, 0)、C (0, 2衣).将 矩形OABC绕点O逆时针旋转30°.得矩形OEFG ,线段GE、FO相交于点H ,平行于y 轴的直线 MN分别交线段 GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D,连结MH .(1)若抛物线l: y=ax2

54、+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=1x2gx ;W1(2)如果四边形 OHMN为平行四边形，求点 D的坐标；(3)在(1) (2)的条件下，直线 MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动，设 PQH的面积为s,当时，确定点Q的横坐标的取值范围.15(2014.浙江湖州)如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，0是坐标原点，抛物线y= - x2+bx+c (c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA/x轴交抛物线于点 A,在AC延长 线上取点 B,使BC=1AC,连接 OA, OB, BD和AD.2(1)若点A的坐标是(-4, 4)求b