空间几何体的表面积与体积练习题及答案

1、仅供个人参考Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1 .棱长为2的正四面体的表面积是（C）.A.mB.4C.4V3D.16解析每个面的面积为：gx2X2X*=，3.正四面体的表面积为：4y3.2 .把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（B）.A.2倍B.25倍C.也倍D.32倍解析由题意知球的半径扩大到原来的也倍，则体积V=4冗R3,知体积扩大到原来的2尼倍.33 .如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为（B）.142A. V284B. VC

2、.2803解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示.这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积1 , 1V= V长方体一 V正三棱锥=4X 4X 6X2X232284X2。.4.某几何体的三视图如下，则它的体积是A)A. 8-9 B . 8-煮 C . 8-2九33解析由三视图可知该几何体是一个边长为俯现图正视图 制视图140D/D 红的正方体内部挖去一个底面半D.不得用于商业用途12兀径为1,图为2的圆锥，所以V=2-3X兀X2=8-3_.5 .已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为（A）A.24-|兀B.24十C.

3、24兀D.245232仅供个人参考2,3,4 ,半圆柱的据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为:底面半径为1,母线长为3,故其体积V=2X3X4gx冗X12X3=24笞6 .某品牌香水瓶的三视图如图（单位：cm）,则该几何体的表面积为（C）俯视图A.952cm正二角形，所以V= SaabdX 4= 3.B.94-2cm2C.94+-2-cm2D.95+"2cm2解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、.一一一九下面是一个四棱柱.上面四棱柱的表面积为2X3X3+12X1-4冗，.、一一，一一一I、，1一一一，一一=30了；中间部分的表面积为

4、27tx2X1=冗，下面部分的表面一一.冗冗一.一一一一九积为2X4X4+16X2彳=64丁.故其表面积是94十5.7.已知球的直径S最4,A,B是该球球面上的两点，A五0/AS4/BS430°,则棱锥S-ABC的体积为（C）.A.3小B.2#C.杂D.1解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D,设S*x,则DC=4-x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD在SADffizSBD中，由已知条件可得AD=BA*x,又因为SC为直径，所以/SB生/SAG900,所以/DC比/DC号60°,在33BDC中,BD=V3（4-x）,所

5、以十二=#（4x）,所以x=3,AD=BD=品所以三角形ABD为3=2几r3,球的体积是4冗r3,所以圆柱的体积和球的体积的比是2-r-=Z:2.343310 .如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是12解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1,侧棱长为1,斜高为3,连接顶点和底面中心即为高，可求得高为孝所以体积V=3x1x1x¥=W.11 .如图，半径为R的球。中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是2几R2.解析由球的半径为R,可知球的表面积为4冗R2.设内接圆柱底面半径为r,高为

6、22_2,r2+h2_2,2h,则h+r=R2.而圆柱的侧面积为2冗r2h=4冗rh04冗一2=2冗R2(当且仅当r=h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2冗R2,此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2冗R2.12 .如图，已知正三棱柱ABCA1C的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为13cm.解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为752+122=13(cm).三、解答题13 .某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥

7、PEFGH下半部分是长方体ABCDEFGH2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积.解析(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V=VpefgH-Vkbcdefghf-X402X60+402X20=64000(cm3).314 .一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为V3,宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成仅供个人参考的矩形.（1）求该几何体的体积V;（2）求该几何体的表面积S.解析（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高

8、为®所以V=ixiXy3=平.由三视图可知，该平行六面体中，A1CL平面ABCDCDL平面BCC1B,1所以AA1=2,侧面ABB1A1CDD1C1匀为矩形，S=2X（1X1+1X妙+1X2）=6+2眼.15 .已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为小的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6,高为h2的

9、等腰三角形，如右图所示./专心j（1）几何体的体积为：V=；S矩形-h=x6X8X4=64.33（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：团=日42+32=5.左、右侧面的底边上的高为：h2=942+42=1 14近.故几何体的侧面面积为：S=2X2X8X5+2X6X4V2=40+24/2.1 .一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）.2解：设展开图的正方形边长为a,圆柱的底面半径为r,则2：ir=a,r,底面圆的面积是,24a21 2一 2，2a于是全面积与侧面积的比是ja2 .在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8

10、个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）.2,解：正方体的体积为1,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是1（111）12，于是8个三棱锥的体积是工，剩余部分的体积是勺，3222248663.一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm,高是5cm,则这个直棱柱的全面积是。3 .答案：148cm2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm和8cm,所以底面边长是5cm,侧面面积是4义5X5=100cm2,两个底面面积是48cm2,所以棱柱的全面积是148cm2.4 .已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1:2,则它们的

11、高之比为。仅供个人参考4.答案：2血：而解：设圆柱的母线长为1,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1:2,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式/日121，行r17，r2二"，332.2 ：5.不得用于商业用途5.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为5.答案：1cm3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱 看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是则它的体积是1x1X3=1cm31cm, 2cm, 3cm,则此棱锥的体积(如长度为1cm,2cm的两条)确定的侧面1,高为3,36.矩形两邻边的长

12、为a、b,当它分别绕边a、b旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为a解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是Vi=：rb2a,矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是V2=/b,所以两个几何体的体积的比是V1b2aV2a2b16.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积.解析 (1)如图，在四面体 ABCDK 设A五B捻C*AG= BD= a, AD= x,取A，M中:'氏为湎,BC的中点为 E,连接 BP、ER CP 得至ij AD，平面 BPCVA-bcd= VA-bp叶 VD-bpc1-1-“1c 1 1=3 , S&g

13、t;ABPC . AP_p 3$/BPC. PD)= 3 , S>ABPC . AD)= 3 , 2a2 x a a 22 2a 44 , x=12/?3a x ?xa ,券=%(当且仅当x=k时取等号).,该四面体的体积的最大值为Ja3.122828(2)由(1)知，ABCSBCDO是边长为a的正三角形，/XABDS ACD®全等的等腰三角形，其腰长为 a,底边长为.a, ；S表=2X乎a2+ 2x：x坐ax、/a2乂6a 2 24224V3 2 V6 诉a V3 2 F5a2 2#十近 2=2 a + 2 a >4 - = 2 a + 4 =4 a .6.答案：b仅供

14、个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'etudeetlarechercheuniquementddesfinspersonnelles;pasddesfinscommerciales.TOJibjDajiioae说,KOTOpbiewcnojibsyroTcao6yqehha,nccjie/iOBaHMOMMepnecKHxuejiax.以下无正文3二、填空题8.三棱锥PABOt,PAL底面ABCPA