空间解析几何及向量代数测试题及答案

1、军教院第八章空间解析几何测试题?_、填空题(共7题，2分/空，共20分)1.四点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,1),C(0,0,1)组成的四面体的体积是2 .已知向量a(1,1,1),b(1,2,3),c(0,0,1)，则(ab)c=_(-2,-1,0)3 .点(1,0,1)到直线xy的距离是吏6.3xz0114 .点(1,0,2)到平面3xy2z1的距离是344.-7225 .曲线C:xyz0对xoy坐标面的射影柱面是x2xy210zx1对yoz坐标面的射影柱面是_(z1)2y2z0，对xoz坐标面的射影柱面是zx10.26 .曲线C:x2y绕x轴旋转后产生的曲面方程是_x

2、44(y2z2)，曲线z0C绕y轴旋转后产生的曲面方程是x2z22y.2227 .椭球面1的体积是？?？.9425二、计算题(共4题，第1题10分，第2题15分，第3题20分，第4题10分,共55分)1 .过点P(a,b,c)作3个坐标平面的射影点，求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解：设点P(a,b,c)在平面z0上的射影点为M1(a,b,0),在平面x0上的射影UUUUr一点为M2(0,a,b),在平面y0上的射影点为M3(a,0,c),则M1M2(a,0,c),UULULUFM1M3(0,b,c)xayuuLuuiruuLuuin于是Mi,M1M2,M1M3所确定

3、的平面方程是a0c00bc即bc(xa)ac(yb)abz0.2.已知空间两条直线11xy0xy0,l 2 :z10z10证明li和l2是异面直线;(2)求li和12间的距离；(3)求公垂线方程.证明：(1)I)的标准方程是1y三，l经过点M1(0,0, 1),方向向量10vi1, 1,0l2的标准方程是,12经过点M2。，2),方向向量V21,1,0,于uuujuir(MM,%2)0,所以l1和l2是异面直线。由于V1 V2(0,0, 2),V1V22I1和l2间的距离duuuuuuuuuuuir四川2»*)V1V2公垂线方程是23.求曲线x z2y绕x轴旋转产生的曲面方面.1解：

4、设MAx,丫乙)是母线x2y上任意一点，则过MX,y1,z1)的纬圆方程是Xi22y1z1,(1)Zi2y1(2)由(1)(2)消去x1,y1,z1得到x22y22z220.2224.已知单叶双曲面上L1,P(2,0,0)为腰椭圆上的点,4925求经过点P两条直母线方程及其夹角；求这两条直母线所在的平面的方程及平面的夹角.与腰椭圆所在平面设单叶双曲面两直母线方程xzyw(二-)u(1T)253与u(:1)w(11)253t(X吗z)z)v(15仁)把点P(2,0,0)分别代入上面两方程组，求得wu,tv代入直母线方程，过点P(2,0,0)的两条直母z5z5_y3_y3y3,即y315x15x1

5、0y10y6z6z303015x15x10y10y6z6z3030两直母线的方向向量可分别取(0,3,5)V2(0,3,5)，设两直母线的夹角是，则有cosV|v28V1V217，8arccos.x2yz(2)两直母线所在平面的方程是0350,即x2035显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0.四、证明题(共2题，第一题10分，第二题15分，共25分)1.求证：曲线 r(t) (一t一2 -1 t t2 1t2t3-一2,一t一2)在一个球面上，这里的tt1ttt(,).、iuur一°1c°1证明：设r(t)(x,y,z),则有xyzy,即x(y-)z24八tt2t3,1,一

6、，1,所以曲线r(t)(J,t2,t2)在球心为(0,0),半径为二的球1tt21tt21tt222面上。2 .证明：(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面：(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.证明：(1)双曲抛物面的u族直母线中任一条直母线都平行于平面-0,abv族直母线中任一条直母线都平行于平面)y0,ab因而结论成立.5分不妨取u族直母线来证明，任取u族直母线中两条直母线xyxy2u12u2l"ab和I2：abu1(-2)zu2(-y)zabab其中u1u2.由于的第一个方程表示的平面平行于的第一个方程表示的平面，即11和12在两个平行平面上，因而11和12不会相交.又由于直线11的方向向量为V1(,0)(,1)