平行四边形知识点及同步练习、含答案

1、学科：数学平行四边形的识别【学习目标】i.利用图形的旋转和简单的推理掌握平行四边形的简单识别方法.2.能综合运用平行四边形的特征与识别方法来解决实际问题.【基础知识概述】1 .平行四边形的识别方法：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(4)方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.(5)方法4: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注意：识别四边形为平行四边形有五种方法选择，应根据具体条件而定；“平行且相等”用符号与表示.2 .平行四边形识别方法的选择：已知条件选择的识别

2、方法边一组对边相等方法2或方法4一组对边平行定义或方法4角一组对角相等方法1对角线方法33 .平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等.(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行.(3)先识别一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题.4 .平行四边形作图：(1)常见的平行四边形的作图：已知两邻边和夹角作平行四边形.已知一边、一条对角线及它们夹角作平行四边形.已知一边和两条对角线作平行四边形.已知两邻边和一条对角线作平行四边形.已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线作平

3、行四边形.(2)完成图形的关键步骤：先由条件作出它们能确定的三角形.然后再将三角形补成平行四边形.注意：作图前要先画草图，然后根据草图决定先画什么，再画什么.四边形的作图基本上都是先画三角形，再补成平行四边形， 这也体现了将四边形知识化归成三角形问题的思想方法.【例题精讲】例1 如图12-1-14所示，已知 U7ABCD中，E, F分别是AD , BC的中点，AF与EB交 于G, CE与DF交于H,试说明四边形 EGFH为平行四边形.图 12-1-14分析：本题考查平行四边形的识别，那么多的识别方法中，选择哪一种呢？考虑到D4EC口及中点，易知四边形 AFCE和EBFD都是平行四边形，从而 G

4、E / FH, GF / EH ,如 若采取先确定识别方法，再找条件将会使解题复杂化.解：在口AECD中，AD JLBC ,已知E, F分别为AD , BC的中点，所以AEj/FC , EDLBF ,所以四边形 AFCE、EBFD都是平行四边形.所以 AF / EC, BE / FD ,即GF / EH, GE/ FH.所以四边形 EGFH为平行四边形.说明：本题是由定义判定平行四边形，在判定四边形为平行四边形时，要充分利用已知条件选择判定方法.例2如图12-1-15, OABCD,以AC为边长在其两侧各作一个正 ACP和AACQ,试 说明四边形BPDQ是平行四边形.p解： OABCD, .A

5、B / CD, Z 1 = Z 2. ACP和 ACQ是正三角形， .PA=QC, / PAC=/ QCA = 60° ,PA/ QC,.四边形PCQA是平行四边形， PQ与AC平分. AC与PQ互相平分，BD与PQ互相平分, 四边形BPDQ是平行四边形.思考：能否通过两组对边分别相等得到结论.提示：能.易证 PAB与 QCD重合，PB=QD,同理 PD=QB. 四边形BPDQ是平行四边形.注意：合理选择平行四边形的识别方法.例3 已知四边形 ABCD中，AC交BD于点O,如果只给出条件“ AB / CD"，那么还不能判定四边形 ABCD为平行四边形，给出以下四种说法:如果

6、再加上条件" BC=AD"，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形.如果再加上条件"/ BAD =/ BCD"，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形.如果再加上条件" AO=OC"，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形.如果再加上条件"/ DBA=Z CAB"，那么平行四边形 ABCD 一定是平行四边形.其中正确的说法是（）.A.和B.、和C.和D.、和解：用逐个筛选法.关于，由于 AB / CD,知/ ABD = / CDB ,如果 AD = BC及DB = BD , 一般不能得到4ABD与 CDB重合，或者

7、 ABD与 CAD重合，这样证对边相等缺少充足理由.关于，由 AB / CD,知/ ABD = / CDB ,如果/ BAD = / BCD ,再用 BD = DB ,可得 ABD 与 CDB 重合，于是 AB = DC , ABJLDC ,故得 6BCD.关于，由 AB/CD 知，/OAB=/OCD, / OBA = / ODC ,若 AO = OC ,则 AOB与 COD重合，于是AB = DC ,即AB=DC ,故得 6ECD.关于，由/ DBA =/ CAB ,知OA=OB,又AB / CD知/ DBA =Z BDC ,同理也会有OC=OD,但OA不一定等于 OC,如12-1-16就是

8、一个反例.图 12-1-16综上所述，知正确，应选 C.例4 如图12-1-17,在 U7ABCD中，点 E、F在AC上，且 AF = CE,点G、H分别在AB分.CD 上，且 AC = CH, AC 与 GH 相交于点 O,试说明(1)EG/FH; (2)GH、EF互相平图 12-1T7分析： 要证EG/FH,需证/ GEO = /HFO,要证/ GEO = Z HFO,需证/ AEG = Z CFH,故先证 AGE与 CHF完全重合.(2)要证GH、CF互相平分，需证四边形 GFHE是平行四边形.解： 四边形ABCD是平行四边形,AB / CD, ./ BAC = / DCA . AF =

9、 CE,AE = CF.AG = GH,AGE 与ACHF 重合.(2)连结 GF、EH,.GE平行且等于 FH,四边形GFHE是平行四边形，GH、EF互相平分.线段相等或倍分，两注意：用平行四边形的识别方法和特征可解决有关的相等或互补,直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题.【中考考点】本节要求大家会用平行四边形的识别方法解决有关问题，并能和特征结合证题.【命题方向】本节多以填空题、证明题、综合题形式出现.【常见错误分析】错误：对角线平分的四边形是平行四边形.误区分析：错误在“对角线平分”不够准确，词意含糊，不知两条对角线是怎么平分，应该改为“

10、对角线互相平分” .正解：对角线互相平分的四边形是平行四边形.【学习方法指导】平行四边形的特征与识别表，对应记忆更有利于理解和区分.用r RQ【同步达纲练习】、填空题1 .四边形任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是 .2 .OABCD 中，AB=2,BC = 3, /B、/C 的平分线分别交 AD 于 E、F,贝 U EF =.3 . 一个四边形的边长依次是a、b、c、d,且a2 +b2 +c2+d2 =2ac + 2bd ,则这个四边形是.4 .把边长为4cm、5cm、6cm,两个完全重合的三角形拼成四边形，一共能拼成 种不同的四边形，其中有 个平行四边形.5 .在OABCD中，如果/

11、A的余角比/ B的补角大10° ,那么/ A =, /B6 .分别过 ABC的顶点作它的对边的平行线，围成 A' B' C',已知AA' B' C'的周长为4 cm,则 ABC的周长为 .二、选择题7 .能判定四边形 ABCD是平行四边形的题设是（）.A . AB / CD , AD = BCB. ZA = ZB, ZC=ZDC. AB =CD, AD = BCD. AB = AD , CB = CD8 .下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）.A. 一组对角相等B.两条对角线互相垂直C.两条对角线互相平分D. 一对邻角和为180&

12、#176;三、解答题9 .在OAECD中，点E、F在AC上，且AF = CE,点G、H分别在 AB、CD上，且AG= CH, AC与GH交于O,试说明GH、EF互相平分.10 .画平行四边形，使两条对角线长分别为10 cm, 8 cm, 一边长为7cm.CBF,11 .如图12-1-19,在 DAECD中，e是ab上一点，F是CD上一点，且/ ADE = /四边形BFDE也是平行四边形吗？试说明理由.图 12-1-19DF /12 .在等腰 ABC中，AB=AC, D为底边 BC上一点，DE/AC交AB于E,AB交AC于F,试说明AB = DE + DF .13 .如图12-1-20,在 OA

13、BCD中，/ BAD和/ BCD的平分线分别交 BC、AD于E、F,且分别交DC、BA的延长线于G、H,除U7AECD外，指出图中其余的平行四边形.并说明理由.9.略.10.略.14 .如图12-1-21,田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角处种有一棵大核桃树,田村准备开挖池塘养鱼池，想池塘面积扩大一倍， 又想保持核桃树不动， 并要求扩建后的池若不能，请塘成平行四边形形状， 请问田村能否实现这一设想？若能请你设计并画出图形;说明理由.图 12 1 2115 .如图12-1-22,已知四边形 ABCD是平行四边形，CE / BD , EFLAB于点F, E、，1,D、A在一条直线上，那么有 DF=AE.请你说明理由.DC图 12-1-22请海定作业后用曾答臬！参考答案【同步达纲练习】一、1. 平行四边形2. 13. 平行四边形4. 6, 35. 40° ; 140°6. 2 cm二、7. C 8. C11 .提示：证 ADE与4CFB重合,可得 DE=BF, AE = CF. ABCD为平行四边形，AB = DC,，BE=DF,四边形BFDE也是平行四边形.12 .由已知四边形 AEDF为平行四边形，4EBD为等腰三角形，则DF = AE, DE=BE,所以 AB = AE + BE = DE