数轴标根法及习习题

1、欢迎阅读数轴穿根法一、概念简介1 .“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2 .准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。3 .是高次不等式的简单解法4 .为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所 _ 1 J r :对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。(注意：一定要保证x前的系数为正数)例如：将 xA3-2xA2-x+2>0 化为(x-2)(x-1)(x+

2、1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为：x1=2, x2=1, x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线， 然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“ >”，则取数轴上方，穿根线以内的范围； 如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过， 即奇过偶不过。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0 的根。欢迎阅读欢迎阅读在数轴上标根得：-1 1 2画穿根

3、线：由右上方开始穿根。因为不等号为“ >”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。(如 下图所示) 三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数熹项时，如仪八2)或(xM)时，穿根线是不穿过一0点的。但是对于X奇数哥项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：(X-1)八2.1) j二 产 V 当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如(X-1)八3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回"，一称“奇穿偶切”。(如图三，为(X-1)八2 )L_ _ t _ "'', x- /:|

4、 C % %四、注意事项运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：1 .出现形如(a x)的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例 1?解不等式 x (3-x) (x+1) (x-2) >0。解x (3-x) (x+1) (x-2) >0,将各根1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为x|x< 1或0<x<2或x>3。事实上，只有将因式(a-x)变为(x a)的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：解 原不等式变形为x (x-3) (x+1) (x-2) <0,将各根一1、0、2、3依次标 在数轴上，由图1,原不等式的解集为x| 1<

5、x<0或2<x<3。2 .出现重根时，机械地“穿针引线”例2?解不等式(x+1) (x-1)八2 (x 4)八3<0解 将三个根1、1、4标在数轴上，由图2得，欢迎阅读原不等式的解集为x|x< 1或1<x<4。(如图二)这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的 根时，所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴，仍 在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过 数轴，正确的解法如下：解 将三个根-1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过

6、数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到 x=4的点才穿过数轴， 于是，可得到不等式的解集x| 1<x<4且 x?1(如图三)3 .出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”例 3?解不等式 x (x+1) (x2) (xA3-1) >0解 原不等式变形为x (x+1) (x 2) (x-1) (xA2+x+1) >0,有些同学同解 变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的 积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。解原不等式等价于x (x+1) (x-2) (x1) (xA2+x+1) >0,. xA2+x+1

7、>0对一切x恒成立, x (x1) (x+1) (x-2) >0,由图4可得原不等式的解集为x|x< - 1或0<x<1 或 x>2数轴标根法-练习题1 .不等式x2- 6x+8< 0的解集为.22 . 2x +x-6之。的解集为3.6x2 +5x -6 <0 的解集为欢迎阅读欢迎阅读24. -x +2x+3>0的解集为_25. _2x _7x+4<0 的解集为6.(x-3)(x +1)(x +5x+6) 0Q 的解集为2 ,7. x (x -1)(2 -x) <° 的解集为,2 23,28. (x -4) (x +2

8、) (x -1)0 的解集为9.二0 -，x的解集为、0 一10. x -1的解集为x2 -3x 2 c2< 011. x -2x-3 的解集为x -31八12. x的解集为"x 113. x2 -3x+2的解集为14. （2013?广东）不等式x2+x 2<0的解集为.15. （2012?湖南）不等式x2- 5x+6<0的解集为16. （2008?北京）不等式 "2的解集是 ., -<117. （2011?巢湖模拟）不等式2l3的解集为 _ 一18.->0（2008?杨浦区二模）不等式一的解为19. （2008?卢湾区二模）不等式 工+3的解集为20.不等式一x2+5x 6>0的解集为.21.不等式2x2 - 3x - 2< 0的解集为.22.不等式x24x+5>0的解集是.10 .函数 函J12+4；- J的定义域是.11 .不等式Ui)2的解集为.12 .不等式 的解集是.13 .已知函数f (x) =/m，4mx+l的定义域是一切实数,则 m的取值范围是_14 .不等式 工+4的解集为.-z>0115 .若不等式工+4工+3的