双曲线题型归纳含解答

1、2例1设P是双曲线与 a分别是双曲线的左、右焦点.若|PFi |=3,则|PF? |=A. 1 或 5B.C. 7分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出D. 9a的值，利用双曲线的定义求出三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念2y-=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x 2y=0, F1、F2 9| PF2 |的值.2x解：:双曲线Bay23y-=1渐近线万程为y=±±x,由已知渐近线为 3x 2y=0,9a: a =丝二|PFi | -|PF21|=4,，|PF2 k±4+ |PFi |.PF1|=3,IPF2 |>0,，|PF2 |=7.

2、故选C.归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.（二）基本量求解点,例2（2009山东理）设双曲线则双曲线的离心率为（B. 5解析：双曲线2x2a2 y b22x2aC.b2=1的一条渐近线与抛物线y = x2 +1只有一个公共D. V5=1的一条渐近线为b ，、y=-x,由方程组 aby x1y a x ,消去v,得y = x21后,故选D.所以b、2十1=0有唯一解，所以 = （） 4=0以及直线与抛物线的位置关归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.y=x2+1相切,例

3、3 （2009全国I理）设双曲线、_=1 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线a2 b2则该双曲线的离心率等于（）A. 3B.2 C.5 D. 6解析：设切点P（X0,y°）,则切线的斜率为y |xc0 = 2x0 .由题意有yX0又有2,- r 2, b -/,b、2 二y0=X0+1,联立两式解得：X0=1j =2,e = Ji+()=V5 .因此选C.22x y例4 （2009江西）设F1和F2为双曲线 O 二 1（a A0,b >0）的两个焦点，若F1,a bP（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（D. 3B. 2解析：由jitan =62b

4、d c 222有 3c = 4b = 4(cc =2 a,故选B.归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征,JT 从而得出tan =6 2b=,体现数形结3合思想的应用.（三）求曲线的方程22_例5 （2009,北京）已知双曲线C:彳4 =1(a A0,b A0)的离心率为 J3,右准线方程 a b（1）求双曲线C的方程;(2)已知直线x y+m=0与双曲线 C交于不同的两点 A, B,且线段 AB的中点在圆x2 +y2 =5上，求m的值.分析：(1)由已知条件列出a,b,c的关系，求出双曲线 C的方程；(2)将直线与双曲线方程 联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值.解：(1)由题意，

5、得c 3 ,解得a = 1,c = 43.c3 a2b2 =c2 a2 =2 , 所求双曲线 C的方程为X2 -=1.2(2)设A、B两点的坐标分别为(K,y1Mx2,y2 )，线段AB的中点为M(%,y0),X2-y2=1 /曰 2 c 2c 一口一.八由2 得x -2mx -m -2=0 (判别式&A0),X y m = 0x1 x2ci 1 x0 m, y0 x0 m 2m222丁点 M (x0,y0 )在圆 x +y =5上，m2 +(2m 2 =5 , . . m = ±1 .另解：设A、B两点的坐标分别为(x1, y1 ),(x2, y2 r线段AB的中点为M(x

6、0,y0),2x2 y- =1,121由 ,，两式相减得(x+x2)(x1x2)-一(y1 + y2)(y1 -y2) =0.x2.H=12x221由直线的斜率为1, x0 = x1；2 ,y0 = y1；y2代入上式，得y0 = 2x0.22又M(y0,x0)在圆上，得y0 +x0 =5,又M(y0,x0)在直线上，可求得 m的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识， 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.例6过M (1,1)的直线交双曲线x_L=1于a, b两点，若M为弦AB的中点，求直线42AB的方程.分析：求过定点M的直线方程，只

7、需要求出它的斜率.为此可设其斜率是k ,利用M为弦AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线 AB的方程.也可设出弦的两端点坐标用 “点差法” 求解.解法一：显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是k ,则方程为y-1 = k(x-1).22x _ y_ =1由42一 消去 y 得(12k2)x2 4k(1 k)x2k2+4k6 = 0J-1 =k(x1)设A(x1,y) B(x2, y),由于M为弦AB的中点,所以x1 x22k(1 -k)1 -2k21=1,所以k =21一显然，当k=-时方程的判别式大于零 21所以直线AB的万程为y -1 = 2 (x -1),即x 2y +1 = 0 .解法

8、二：设人(",必)，B(x2 ,y2)，则x24 222殳一幺=142得(x -x2)(x x2) -2(V1 -Y2)(Y1 y2) =0.又因为 x1 +x2 =2,y +y2 = 2 ,所以 x1 -x2 =2(y1 y2).右 x1 二 x2，则 y1二y2,由x1*x2= 2, yI+ y2= 2 得 xI二 x2= 1,y1二y2= 1 .则点A B都不在双曲线上，与题设矛盾，所以x #x2.所以k =比笺=1.x1 -x2 21所以直线AB的方程为y -1 = 2 (x -1),即x 2y+1 = 0 .经检验直线x 2y+1 =0符合题意，故所求直线为 x2y+1 =

9、 0.解法三：设A （x, y）,由于A、B关于点M （1, 1）对称，所以B的坐标为（2x,2 y）,则(2-x)42x422，29消去平方项，得x2y+1=0.(2 - y) =1.2即点A的坐标满足方程，同理点 B的坐标也满足方程.故直线AB的方程为x -2y +1 =0 .归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所 以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在.（四）轨迹问题2 2例7已知点"他0,丫0）为双曲线 七）2=1 （b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右8b2 b2焦点，过p作右准线的垂线，垂足为A ,连

10、接F2A并延长交y轴于P2.求线段P1 P2的中点P的轨迹E的方程.分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P是线段P1 P2的中点，可利用相关点法.83Vc解：由已知得F2（3b,0）, A（b, y0）,则直线F2A的方程为：y = -（x-3b）.3 b令 *=0得丫=9丫°,即 P2(0,9y0).x。x 二2y0 9y° 尸="= 5y°x =2x即 y代入%;522x0 y02 -2- = 1 得:8b2b24x28b22工=125b2'2 2即P的轨迹E的方程为- y 2 =1 . （x W R） 2b2 25b2归纳

11、小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法. （五）突出几何性质的考查例8(2006江西)P是双曲线x-_L=1的右支上一点，M , N分别是圆(x + 5)2 + y2=4 916和(x5)2+y2 =1上的点，则|PM |PN |的最大值为()A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点 F1(5,0)与F2(5,0)恰好是两圆的圆心，欲使 |PM|PN|的值最大，当且仅当|PM |最大且|PN |最小，由平面几何性质知，点 M在线段PF1的延长线上，点N是线段PF2与圆的交点时所求的值最大.此时 |PM |-| PN |=(PFi +2)(PF2 -1) = PF1 - PF2

12、+3 = 9.因此选 D.例9(2009重庆)已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x = Y5 ,离心率e= J5 .5(1)求该双曲线的方程；(2)如图，点A的坐标为(-75,0) , B是圆x2 +(y-V5)2 =1上的点，点M在双曲线右支上，求 MA + MB的最小值，并求此时 M点的坐标.(2)利用双曲线的定义将分析：(1)比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程;MAMB转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.曲线的方程为在5解：(1)由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双22 52。乌=1 (a >0,b>0),设c = J0二斤，由准线方程为 x = Y5得"二a b5 c由e =而得c = J5. a_2解得a =1,c = J5.从而b =2,二该双曲线的方程为 x2工=1.4(2)设点D的坐标为(J5,0),则点A、D为双曲线的焦点,则 |MA| - |MD | = 2a =2 .所以 |MA | +|MB | = 2 + | MB | + | MD B 2 + | BD | .因为B是圆x2 +(y - 75)2 =1上的点，其圆心为c(o, J5),半径为1,故 |BD 问 CD|-1=而 + 1,从而 |MA| +|MB |> 2 + |BD|> 而+1 .当M , B