最新自主招生试题整理1

1、最新自主招生试题整理1 .求函数 f(x) =2(j36 x2 +j64x2)x (0 <x<6)的最大值.(2013年中国科技大学夏令营)解法一：f (x) =1 ()36-x2 +，64 -x2)x = 2 J36 -x2 x-x + 3764- x2 父 4 x 2348312323242(36 -x2(-x)2) (64-x2(x)2)=24.34163当且仅当 736-x2 =-x, J64-x2 =- x ,43从而f (x)的最大值为24.说明：本解法直接利用平均值不等式，但系数并不满足平均值不等式的要求，需要对系数加以变形处理，使之满足要求，再利用平均值不等式求解解

2、法二：f(x) =1( 36-x2,64-x2)x = 1(.36-x2 x . 64 - x2 x)< 丁 (x2 64 一 x2)(36 一 x2 x2) v 1 8 6 = 24.说明：本题利用到柯西不等式：ac + bd M J(a2 +d2)(b2 +c2).解法三:f(x) =g(.36 -x264 -x2)x = 1(6. 122、x. (62 82)(122x / x一 :13664二24言/一亮央45x)2 (25x236 16)一 二24.41说明：本题首先利用柯西不等式， 然后再利用平均值不等式进行求解，求解过程中应该注意系数的凑配.f (x) = %，36解法四：

3、令 x =6sin a =8sin P , a , P w (0,=),则-x264 -x2)x =3xcos: 4xcos ：二 24sin : cos-： ； 24sin 二 cos : =24sin(-： '','1) - 24.当且仅当口 +P =时 即tana =4时等号成立 即 f(x)的最大值为24. 23解法五：构造如下图形:A其中 AB =6, AC =8, AD_LBC 且令 AD = x,显然f(x) =1(j64 x2 +J36x2)x的几何意义为AABC的面积.1_ 一 一而 &ABC 的面积又可表不为 f(x)=万| AB|AC|si

4、nA = 24sinAM24.2 .若 a、B、了 w (0, q)，且 cos2u+cos2 B+cos2 了 =1.求证：tana tan P tan Y >272.(2013年中国科技大学夏令营)证明：由条件 cos2 a +cos2 P +cos2 了 =1,得2222sin a =1 -cos a =cos P +cos，之 2cos P cos ；,同理，得 sin2 P > 2cos« cos'' ,sin2 = 2cos 二 cos :.将上述三式相乘，得 sin2口 sin2 P sin2 >8cos2口 cos2 0 cos2 y

5、,即 tan 二 tan : tan :二 2 2.类似题目：若 a、P、w(0,：)，且 cos2"+cos2 P+cos2 y =1.求证：cot .： cot : cot _2、2.解：由条件 cos20c +cos2P +cos2y=1 ,得 cos% +cos2 P +cos2了 =2.得 cos2 1二1 -cos2 : 1 - cos2 =sin2 ： sin2 - 2sin : sin .同理，得 cos2 B 之 2sin Q sin '< , cos2 * 上 2sin a sin 口 .将以上三式相乘，得 cos2 a cos2 c cos2，之

6、8sin 2 asin2 B sin2 7,即得 cot ： cot ： cot 二 2、2.3x - x(2013年中国科技大学夏令营)3 .求函数f (x) =24的最大值与最小值的乘积1 2x x解法一：|f(x)| 二、，1解法二：-1三43x -x1 2x2 x41 +2xx2 "2 十2x2解法三：令x二tan二22x2 1 十 x21 -x21 x23x - x1 2x2 x41 -x21 2x,贝U f (x) = -22 1 x2 1 x1.1 .八=sinFcosi - sin2i.Ji4小1 2xx2 '22 + 2x26tan2_,2口1 tan -2

7、11所以f (x)的年小值为一一，最大值为一，从而取大值与年小值的乘积为*1n4.已知 nW N , n 之2.求证：(1+)<3. n1 一 , 1 c 11 一证法一：(1+fn =1 +c； +c；(1)2 +lli +cn()n。1 n(n -1) 1 n(n -1)(n -2)=2 o' 2!n23!<14,211 -tan 22l1 tan -2116(2013年中国科技大学夏令营)n(n-1) HI 2 111：2 - - 2! 3!11< 2 -12 2 31十n!(n -1) n111. .11=2 (1-1) (1-1) IH (-22 3 n -

8、1 n-3-n ：3.、一一 11x证法二：原不等式等价于1+<3n.构造函数f (x) =3x-x-1 ,nx (0,1).由于f (x)= 3 ln3 1 0所以f(x)在(0,1)上单调递增，所以 f(x)> f (0),即，1 r、3 >x+1,令 x=即证. n说明：本题是一道非常著名的陈题，证明一，1 八，、，2 < (1 +) < 3.并且在数学分析书上有 n.一 1nnlm(1 n)=e的证明.详细解法见高等教育出版社出版的同济大学数学系编写的 学(第六版上册)第 53页与第54页.5.数列an满足：a。= a1，Janan_2 + J an an

9、=2ani.求数列an的通项公式.（2013年中国科技大学夏令营）-1(n >2),且 b0 =1.所以 bn°1=2(必/ 1),由 b0=1,则 42=1,*则 an =an,=111 =a =a° =1,所以 an =1(n w N ).6 .已知异面直线a、b成60，角，M为空间内一定点，则过点M与a , b成45的平面共有多少个?（2013年中国科技大学夏令营）解：共两个将a, b平移到点M ,如图，直线a', b及点M确 定平面二.且.a Mb =60:.a', b与一个平面成45,角，则a , b与该平面的法向量n都成45,角.一条法向量

10、n对应着一个平面，则问题转化为：过点M与a', b都成45角的直线（：所在的直线）有多少条?显然这样的直线有两条.从而所求平面共有两个.7 .证明：sin sin - |l| sin nn （n _ 2, n N*）. n nn 2（2013年中国科技大学夏令营）、r，一 2 兀2 兀证明：设1的2n次单位根为0 c cos+isin.n n则1 ,与4 ,，82(n口,02n都是x2n =1的根.由 x2n -1 =(x2 -1)(x2(nJ1) x2(T)HI x21)= (x2 -1)(x2 - 2)(x2 - 4)111 (x- 2(n4)2(n1) ,2(na222242.

11、2(n 叭x xx1=(x-)(x-') (x).令 x=1 则令，贝U得(18 2)(184川|(182(2) =n .由于=cos 2- isinn/日 k花,得 sin 二nk-k2kl0002i2i k兀所以sin sin ni (n1)冗2l)(04l)|(0 2(n)l)sin-n- (2i)n.jJS(2-i)( 4-i)H( 2(nJ)-i)(-2-1)( 4-1)1|1( -2(nJ)-1)(1-.2)(1 .4)|(i-.2(nJ)说明：本题是2011年清华大学金秋营中曾经考查过的一道原题，也是一道非常经典的试题，可参考全国重点大学自主招生数学教程（张天德 贾广素

12、王玮 主编 山东科学技术出版社）第290页例12.8 .讨论方程(x2014+1)(1+x2+x4+x2012) = 20 1 4 x2013 的根的情况.(2013年中国科技大学夏令营)20142420121007100610062013斛：(x 1)(1 x x x ) _ 2| x |(1007x x ) _ 2014x.第一个等号当且仅当|x| = 1时成立，第二个等式当且仅当 x = 1时成立，从而原方程无解说明：本题进一步还可证明1007L 2k x k 020131 2014x20141 x9 .数列an满足：a1 = 1 , a2 = 1 , a3 = 2 , 2门书=&quo

13、t;书 述 （n>0,n 匚 N ）.an证明：数列 an中的项都是正整数.（2013年中国科技大学夏令营）证明 : 由 工 书,得 ananS =an+and2 + 7 ,从而 an 书an+ = an42an43 * 7 ,an两式作差，得anan* -4书=an七an4 -an七an忐，从而 -n- - n* n七=± _1，即 an 2an 2an 3 an 3anan 1 一 an 1an 4 - an 2an 3 u k -_ _ _ ，从而 anan-fe an -+an-fe an+an -2 - an+2anan 2an 2an 2an 3移项 , 付 an

14、a an -3 a an -2an -3 an _2an + + an+an 七)即 an 依(an ' an七 ) an 由(an42 ' an七 ) ,anan 2 _an，2 an -4anan 2a1a3 q所以=.令 bn =,从而 bn = bn七，且 b1 = = 3 ,an 1an 3an 1a2b2)红卫二5 .a3an - an 2 =3an i,n为奇数, an an 2 =5an 1,n为偶数 .所以3（2013年中国科技大学夏令营）10 .求证：在 AABC 中，cosA + cosB+cosC M-.2A B A-BAB -证法一： cosA cos

15、B cosC =2coscos cosC 三 2cos cosCC 八 C2 C C 1 2 3 3= 2sin cosC =sin 1 2sin = (sin - -)一 一.2222 22 2证法二：(逐步调整法)由和差化积公式，得冗。A + B AB” (C +3) (C 3)cos A cosB cosC cos- = 2coscos 2cos- cos-32222C - - ABC - - ABC -三2回炉333cos-: 4cos cos244_兀兀A + B+C+-九+3,3,冗工 4cos二 4cos二 4cos.443-一 兀3所以 cosA cosB cosC _3cos

16、=.3 2322证法二：(配万法)cosA 十cosB 十cosC E(1cosA cosB)十(sin A sin B)至03.3说明:仿上述证明，可以证明 sin A+ sin B+sin C E.一般地，在AABC中，对任2y, z有如下著名的“三角形嵌入不等式”2z 2yzcosA+2yzcosB+2zxcosC (*)222证明： x y - z -2yzcosA 2yzcosB 2zxcosC，Af、2， Af、2_ 一 、一小 I、u (z - ycosA - xcosB) +(ysin AxcosB)之0,而这显然成立.3特力1J地，在(*)式中，取 x = y = z =1,

17、即得 cosA+cosB + cosC W (1)2取A = B =C =；,即得x2 +y2 +z2之xy +yz + zx .因此，不等式(*)是 两个常用不等式(1), (2)的联合推广.,2在 1967 年，Mitrovic 建立了不等式：cosA+，-(cosB + cosC) <1 +二等号成立，当2且仅当0(九<2, B=C =arcco'.本题也可以看作是本不等式的一种特例.2 _ _ *_ _ *_. _. ._99 . 一11.求所有的f : N tN，满足xf (y)+yf (x) =(x + y) f(x +y)对所有的正整数 x , y都成立.(2

18、013年中国科技大学夏令营)证明：f(x)=x对所有的正整数xwN机立.证明如下：假设a#b,使得f (a) # f (b),不妨设f (a) < f (b),则(a + b) f (a) <af (b) +bf (a) <(a +b) f (b),所以(a +b) f (a) < (a +b) f (a2 +b2) < (a +b) f (b),即 f (a) c f (a2 +b2) < f (b).于是，在两个不同的f值之间可插入另一个f的值，这一过程显然可以无限次进行.但f的值均为整数，而两个整数之间只有有限个整数，矛盾！故命题得证. 一、-32一-

19、12 .设a,b,cw R ,使得万程x +ax +bx+c=0有3个实根.证明：如果2Ea+b+cE0,则至少存在一个根在区间0,2中.(2013年清华大学夏令营)证明：假设该方程的三个实根x1、x2、x3不在区间0,3中，x x2 x3 = -a,由韦达定理，得 x1x2 +x2x3 +x3x1 =b,xx2x3 = -c.从而 a b c = xx2 x2x3 %不 一xx2x3 一(x x2 x3)= (1-X)(1-x2)(1-x3)-1W-2,0,从而-1 E(1x1)(1 -x2)(1-x3) <1 ,即 |(1x1)(1x2)(1x3)|W1.由假设，知 xi <0

20、或 xi >2 ,得 |1 -xi |>1 ( i =1,2,3 ),所以 |(1-x1)(1 一x2)(1x3)|1.矛盾!所以假设不成立，故至少存在一个根在区间0,2中.13 .已知x=j19+J99是函数f(x)=x4+bx2+c的一个零点，b,c为整数，则b + c的值是多少？(2013年清华大学夏令营)解法一：将 x = 7I9 +>/99 代入 x4 +bx2 + c = 0 中，得至U 21488+1416V19xV11+118b+6b7l9xVi1 +c = 0 ,由于b、c为整数，质mJ行为无理数，从而,从而得 b = 236, c = 6400.21448

21、 118b c =01416 6b =0所以 b c =6164.解法二：设 x = M +晒，y =炳屈，则 x + y = 2腐，xy =99 19 = 80 ,于是 x2 + y2 = (x + y)2 -2xy = 236 ,奖 y =80代入上式，有 x2+6400=236,即 x4 -236x2 +6400 =0. xx于是 b =-236,c=6400,所以 b+c = 6164.解：陵向思考：什么样的方程有这样的根？曲已知变形得工如=而，2国工+少=典即再平方得廿一 160+6400=76?,即 /-236i-*+fr400= 0,i= 236, !?=6400£j

22、+ £=61G4说明：解法二是有一定的缺陷的，它未能有效地说明b、c的唯一性.但却也不失为是一种好的方法.类似题目：求一个整系数多项式f (x) = anxn+anxn，+|+a1x + a0,使得f(x) = 0有-(2009年清华大学)贾广素 王玮 主编，2013年7月山东个实根为3 3.2.(见全国重点大学自主招生数学教程张天德 科学技术出版社出版 第32页例11.)14 .已知点。是AABC的外心，H为垂心，且满足 OH =m(OA+OB +OC),则m的值为多少？(2013年清华大学夏令营)1T T- t ttt解：因为 OG = - OH ,所以OH =3OG = OA+

23、AG + OB+BG十OC十CG,又G为重 3r r r t t 心，AG +BG+CG =0,所以 OH =OA+OB+OC ,故 m=1.说明：本题是2005年高考数学全国I卷的一道理科填空题.其试题背景是欧拉线， 即三1角形AABC的重心G、垂心H和外心O共线，且OG=OH.3若D为BC的中点，则AH =2OD ;若I为 MBC的内心，外接圆与内切圆的半径分别为R , r ,则OI = JR(R 2r);连接AI交外接圆与点 M ,则有MI =MB = MC.15 .已知 A、B、C(0 (0,2),且 sin2 A+sin2 B+sin2 C =1 .求 A+B + C 的最大值.(2

24、013年清华大学夏令营)解：由 sin2 A +sin2 B +sin2C =1 ,得 cos2A+cos2B+cos2c =1 ,从而 2cos(A + B)cos( A B) = 1 cos2C ,=sin2C .1 -2cos2C 1 -cos2c所以 cos(A ' B):2cos(A-B)22 _2同理可证 cos(B+C)之sin A , cos(C+A)之 sin B ,_兀且同时可得 A + B、B+C、C + Aw(0,-).将上述三式相加，得 cos(A B) cos(B C) cos(C A) _ sin2C sin2 B sin2 A = 1 .由于cosx在(

25、0,三)中上凸，所以由琴生不等式，得2(A B) (B C) (C A) cos(A B) cos(B C) cos(C A) 1cos之之一,3 33一 2(A B C) 131即cos-至一,所以 A十B十C <-arccos-,当且仅当 A = B = C时取等号.2323故A + B +C的最大值为-arccos-. 232 .22 一类似题目1：已知锐角A、B、C满足cos A+cos B+cos C =1 ,求A + B+C的取值范围.解：先给一个引理：f(x)是R的函数，在(g,c)内为下凸函数，在(c,y)内为上凸函数，n变量Xi , X2 ,，Xn为R上的n个实数，且满

26、足X1工X2E Xn ,工Xi = C ( C为常i=1n数)，记F =E f (为)，则F在x2 = x3 =111 = xn时取得最小值，在x1 = x2 = III = xn时取 i 1得最大值.将“锐角”的条件改为 A、B、C £ 0, ,令 x = cos2A, y = cos2 B , z = cos2C,则原题转化为x、y、z20且x + y+z=1,令f (x) = arccosJG ,则问题转化为求"*) + "丫)+”2)的取值范围求二阶导数，易知 f(x)在0,1上先下凸再上凸，即满足引理的条件由对称性，不妨设设 x<y <z,先

27、求最小值，由引理知，只需考虑 a = b与c = 1两种情况，后者显然只能得到f(x) + f (y)+f(z)=冗，而前者则化为,.1，一 ，一，1求 g(t) =2f(t)+f(12t)的最小值，其中 tw0,1.3求导，易得g (t)=3t -1.t(1 二t)(1 12t)(2 J二2t 2(1 二t)'故当t =1时，g(t)取得最小值3arccos,所以f (x)+f (y) + f (z)的最小值就是 333arccos .下求最大值:3 . . . , ,一 河由引理知，只需考虑 a=b与b = 0两种情况，前者转化为求 垓+ f(t) + f (1t)的最大1值，其中

28、tw0,.事实上，有恒等式 arccosjx+arccosJLx =一，所以刖者只能得到22f(x)+f(y) + f(z)=冗，而后者仍然转化为上述求g(t)的最大值，只是此时t的范围.1 1_.1 一 一 变成tw,一,显然t=一时g(t)取得最大值 /，所以f(x)+f(y)+f (z)的最大值为 冗 3 22综上所述，由函数的连续性，所求的取值范围是3arccos ,力而原题是在“锐角”3 、3情形下，取不到 冗，但可以趋近它，从而原题的答案是3arccos X,力.3类似题目 2：已知角 A、B、CW(0,)，满足 sin2 A + sin2B+sin2C =1 ,求 A+B C4的

29、取值范围.解：由 sin2 A+sin2 B+sin2C =1 ,得 cos2A + cos2B+cos2c =1.令 x =cos2A, y =cos2 B , z =cos2c ,则 x + y + z = 1 ,1 ,我们只需求 -(arccosx + arccosy + arccosz)的最大值。1.设 f (x) =arccosx , x = (0,1),贝U f (x) = -1, f (x)=.1-x2(1-=<0, 23x )于是函数f(x)是(0,1)上的上凸函数.由琴生不等式，有31)9(3)=一 arccos-.即A+B +C的最大值为一 arccos-.“小、T2

30、 冗16.求证：cos2n 1234九 一 2n九cos I cos 2n 12n 1证明：先证一个一般式:cosx cos2x cosnx =21sin(n -)xo - x 2sin2（2013年清华大学夏令营）*)配凑消去交叉项:.x .sin (cosx cos2x "I cosnx).x . x _. . x=sin-cosx sincos2x I sin-cosnx2221 rsin3x . x . 5x , 3x(2n 1)x=-sin sin-sinsin-sin22221. (2n 1)x. x=sin-sin .222(2n-1)x2整理，得 cosx cos2x

31、 cosnx =. /1、sin(n -)x 1o . x 22sin2（人2兀 -2兀回到原题，令x=K,得cos*2n 1,4 7t Mi2n 九cos I cos 2n 12n 1说明：类似地，我们还可以得到一般结论:x /1、cos- - cos(n -) x sinx sin2x HI sinnx =222sin- 2对于如 sin a +sin(a + P) +sin(ot +2?) +| +sin(ot +(n 1)P)及cos"+cos(a + P)+cos(。+2 B)十| I+cos(a+(n1)B )的代数式，可以乘以P sin2，再sin 2逐项积化和差，依次

32、将各项一拆为二，达到相消的目的.如当2 /2即时,13-(arccosx arccosy arccosz) - f (sin(2 n-1 : )sin-:sin 工；sin( ： ")sin(工二 2 ：) HI sin-s " (n 1):2-2sin2，n -1 n ： cos( - )sincos二二 cos(一i ,-1) cos(2二 2 ) 川 cos二:(n-1) :22sin-:2217 .设 x1 >x2 >x3 >x4 >2 ,且 x2 +x3 +x4 2 x1.求证：(x1 +x2 +x3 +x4) <4x1x2x3x4.

33、(2013年清华大学夏令营)1 .证法一：设 x1 = k(x2 + x3 + x4),依题息，得 一 W k E1.3要证2 .(x1 x2 x3 x4)二 4kxx2x3x42 .2即证(k 1) (x2 x3 x4) .4k(x2 - x3 x4)x2x3x422,(k 1)x2x3x4(k 1)1即证 1L <2 3 4一 ,即证 1L <4kx2 x3 M4k 111乂3人 乂24 x?x31之4即可.3x3x4*24*2*32(k 1)4易得1< 匚<-,从而要证原不等式成立，只需证只4k 3,一 111314由于 x!>x2>x3>x42

34、,从而得 0 <+<一，故> 一x3*4 x2x4 x?x34 L . L .3x3、x4< 24x成立.从而原不等式成立. 2证法一：令a=x2+x3+M, b = x2x3x4 ,则待证不等式转化为(x1 + a) < 4x1b ,即x2 +2(a2b)xI +a2=0 .令 f (x)x2+2(a2b)x + a2,则只需证明 f(x1)W0.因为 =4(a -2b)2 -4a2 =16b(b - a),h a x2 "3x4111. 1113而一=+w<1,所以 b>a,从而 A >0,b x2x3x4 x2x3x3x4x2x4

35、4 4 4 4u =2b-a-2, b(b -a),f(x)的图象与x轴有两个不同的交点.易知这两个交点为 v = 2b-a 2 ,b(b-a),下证 x u,v.aaa因为 a w3x1三3a ,所以 x < 一, a,只需证,au,v,即 u 工一，a E v.333由于 v=2ba 2,. b(b -a) -2b-a -a=2b - a_2、b(b 二 a) =(bb - b ba)2abb 、b-a)2所以x1 w u,v,从而必有“xJWO.所以原不等式得证.证法三：只需证明f (x1)三0 ,而a Ex1 Ea,因此只需证f (a) <0 , f (a) < 0,

36、而 f(a)=4a(a-b), f (*=g (4a -3b),由于t，可证得 f(a)M0, fg)W0.说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化.18 .数列an、bn的定义是 4=1, 6=2, %书=1.% fn ,不中=1+bn ' anbn bnan(2013年清华大学夏令营)求证：aa2013 ：二 5.1ananbn/口 ,1an(1bn1bn证明： 由an + =, 得an 4 +1 =, 从而 二从而1_anbn 1 1(1 an)(1 , bn)bnbnan 1 - 1(1 an)(1 bn)同理，由 bn1 =1bn

37、anbn，得 bn1 ; ILLI , anan正式作差，得11an 1 1bn 1 . 1:1an 1bn 111an 4 1bn1a1 1b11故an 1bn111所以>-,即 an <5 ,显然 a2013 <5.an 16-1 2 1319 .右函数f (x) =-x +万在区间a,b上的最小值是2a ,最大值是2b.求区间a,b.(2013年清华大学夏令营)13131 2 13斛：(1)右 f (x)mx =2b =,则 b = , f (a) =a + = 2a ,解得 a = -2 ±W7 ,检验知a = -2 -57, b=-符合题意；413右f(x

38、)max#5'则联立一、 12 13cf (a) = - a = 2b,221 2 13f (b) b , = 2a,22解得 a=1, b=3或a=3, b=1.(舍去)综上知，所求区间为1,3或一2 07,£.420 .已知a、b、c都是有理数， 商+而+ JC也是有理数求证： 石、出、而都是有理数.(2013年清华大学夏令营)本题的解答见全国重点大学自主招生数学教程(张天德贾广素王玮主编山东科学技术出版社2013年7月出版)第313页第14题21 .若对每一个实数x, y,函数f(x)满足f(x+ y) = f(> f( yT xy,1若(2013年清华大学夏令营

39、)f( 2)= 2试求满足f(a)=a的所有整数a.121212解：由 f (x + y) = f (x) + f (y) +xy +1 ,且 xy = (x + y) - x - y , 22212-1 2-1 2从而 f (x y) -(x y) 1f(x)-x 1 f(y)-y 11 2令 g(x) = f (x) x +1,则得 g(x + y) = g(x) +g(y).12.1. 一由 Cauchy 万程，得 g(x) =kx ,即 f (x) =-x2 +kx-1 ,又由于 f (2) = 2 2k 1 = 2 ,一 31 2 3得卜=一.所以f(x)= x十一x-1. 2221

40、z12_._令 f(x) = x,即一x + x1=0,即 x +x 2=0 ,即(x1)(x + 2) = 0 , 22解得x =1或x = 2.所以满足f (a) =2的所有整数只有1、-2两数.解法二：令 x = y=0,得 f(0) = 1,令 x = y=1,由 f(2) = 2,得 f(1) = 2.又令 x=1, y =1,得 f (1) = 1.再令 x=1,得 f (y+1) = f(y) + y+2 ,又 f(1) = 1 ,所以 y 之1 时，f(y+1) = f(y)+y+2>y+1,即对大于1的正整数t,恒有f (t) At.又由条件，得 f(3) = 1, f

41、(Y)=1 , f(5) = 4, f(6) = 7,猜想当 tE4 时，f(t)A0.证明如下：由 f (t) f (t+1) = (t+2),得当 t<-2 时,f(t)> f(t+1),所以t< 4时，f(t)单调递减，故f (t)之f (=1 >0.综上所述，满足f(a)=a的整数只有a=1或a = -2.解法三：同法二，求得 f (1) = 1,由f(y +1) = f(y) +y +2 ,令y = n ,由数列递推知识,123.一 2一.一得 f (n) = a n + n1,令 f(n)=n,得 n +n2 = 0,得门=1或门=-2.ax b22.已知

42、a、b、c、d 为非负实数，f(x)=(xw R)，且 f(19) T9 , f (97) = 97 ,cx d4d右x#,对任意的x均有f (f (x) =x ,试求出f(x)值域以外的唯一数.cax babcx dax b cdcx d(2013年清华大学夏令营)解：由题设，对任意实数dx =,有 f(f(x) =x，所以 c化简，得(a +d)cx2 +(d2 -a2)x -b(a + d) = 0 ,d 22由于上述万程对 x = 一一恒成立，故a + d=0,且d -a =0,所以d = -a.c又f(19)=19, f(97)=97,即19, 97是方程 与止=乂的两个根，即方程是

43、a -db=116, = 1843,结合 cc一、58x -18431521f (x)=58 +，x-58x-58cx d2cx +(d -a)x-b=0的两个根，故由韦达定理，得d = -a ,得 a =58c b = -1843c, d = -58c,从而于是f(x)取不到58这个数，即58是f(x)值域外的唯一数说明：本题是第 15届美国数学邀请赛试题，考查值域问题.参考奥林匹克与自主招生(第一辑)(贾广素主编 济宁一中校本教材)23.若实数a、b、c满足2a+2b =2" , 2a+2b+2c =2a*+,则c的最大值是多少？(2013年清华大学夏令营)a ”1a b解：因为

44、2 =2十2至2 2 .所以a+b至1+,解得a+b至2,于是2 至4.2a b a ba b ca .b ca b c a b c将2+2 =2 ，代入2 +2+2 =2 ，得2+2=2父2 ,c 114 - lg3lg3解得2 =f+1 M+一，所以c W2一上一，从而c的最大值为2 一 1.2-14-13lg2lg224.比较2-cos(x - y) +1sin xcosy 与 1 的大小.22(2013年清华大学夏令营)回工 ,、1 .,2,、 1解： cos(x-y) sinxcosy=cos(x - y) -sin(x ' y) sin(x- y) 22243 2.2.1

45、. . 一 1 .=-cos(x - y) sin(x-y) sin(x y)4 334令sin中=2五,cos平=1 , 33213,13 1所以 cos(x - y) sin xcosy =-sin(x - y -、1) sin(x y) 一 = 1.22444 4一一 . 一开取等号的条件当且仅当 x y十邛=2m：t+， 2口口九平中即 x =(m+n)冗十万一万，y = (n -m) Tt+, ，九 -x+y = 2nTt+, m,n = Z.2m,n w Z时，等号成立.22 x y25.已知椭圆2 +2- =1 ,过椭圆的左顶点 A(-a,0)的直线l与椭圆父于点 Q ,与y轴父

46、于 a b点R.过原点且与直线l平行的直线交椭圆于点 P.求证：AQ、J2OP、AR成等比数列.(2013年清华大学夏令营)(2009年清华大学)证法一：由题意知直线l的斜率显然存在，设为 k ,则该直线的方程为 y = k(x +a),过原点与直线l平行的直线方程为 y = kx ,不难得到R(0, ka).设交点 P(x1,y1), Q(x2, yz),则有 k='=Xx2 ax1对于 OP ， AQ, AR 有 2OP2 = 2( x；+ y；) =2x；(1 +k2),且 AQ = . (x2 a)2 y2 , AR = . a2 (ka)2 ,所以 AQ AR = (x2 a

47、)2 y2a2 (ka)2 = a(x2 a)(1 k2).将P、Q及两直线代入椭圆方程，得2.2 2与十詈=1,即2x2 =2a b1 k_a2 b2(*)2逐.2 ak2(x2 a)b2=1,整理，得2 1k2x2旨苫2ak2x2 a2k2L1=0.b b由于A、Q为直线l与椭圆的两交点，由韦达定理，得2ak2b2x2 -a =b-r , a(x2 a) =21k21k2-2-2abab22结合(*)式，有 2xi =a(X2 +a),即 2OP =AQ AR.从而AQ、J2OP、AR成等比数列 证法二：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y = k（x + a）,则R（0,ka）.

48、22ab b2 a2k2又直线OP的方程为y =kx,代入勺+ 4=1,化简，得（b2+a2k2）x2=a2b2, a b所以 OP = .1 k2 |xp -0|= .1 k222同理，将 y =k(x +a)代入 之 +4=1，化简得(b2 +a2k2)x2 +2k2a3x -a2(b2 -a2k2) = 0 a b2ab2付 AR = .1 k|xa-xb尸-.1k,(xaxb)-4xaxb=、. 1 k-22_2.b a k又 AR=aj1+k2 ,所以 2OP2=AQ AR.从而 AQ、J2OP、AR成等比数列.说明：本题在2009年的清华大学的自主招生试题中就曾经出现过，是一道较为

49、经典的试题.可参考决胜自主招生（2010版、2011版、2012版、2013版等）（贾广素 主编 济宁一中校本教材）26 .设集合X是含n（n >2）个元素的集合，A、B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m, k （m1, k之1, m + k <n）个元素.求X中既不包含于 A也不包含于B的子集 的个数.（2013年清华大学夏令营）（2009年复旦大学）解：包含A的子集有2n个，包含B的子集有2n4个，既包含A又包含B的子集为2n”个，根据容斥原理，所以既不包含 A也不包含B的子集的个数有2n-2n"m-2n”+2nf 个.说明：本题是2009年复旦大学的一道自主招生

50、原题 .其思路十分简单：首先 X集合应 该分为三类：一类是属于 A的，一类是属于 B的，另一类既不属于 A也不属于B的.因此可 用间接法来进行考虑.27 .证明：内接于一个平行四边形的三角形的面积不可能大于这个平行四边形面积的一半.（2010年北京大学夏令营）28 .圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，M为切点.BM与圆O的另一个交点为T, AM与圆O的另一个交点为P .求公M +BM的值.（2010年北京大学夏令营）AP BT29 .在一双向无穷等差数列中有三项：sinx、cosx、tanx.求证：cot x也是该数列中的一项.（2010年北京大学夏令营）30 .已知sinx、sin y、sin

51、z为递增的等差数列，求证： cosx、cosy、cosz不是等差数列.（2011年北京大学优秀中学生体验营）31 .求证：tanxsinx+cotxc0sx 2 2,x w （0, 5.（2011 年北京大学夏令营）32 .是否存在定义域为 R的函数f （x）,使f （n2 +3n+1）= f 2（n）+2对任意nw Z均成立.（2011年北京大学优秀中学生体验营）n33 .求所有的正整数n,使得集合M =1,2,|,4n可以分成n个四元子集 M = U Mk,对 k总于每个集合M k =ak,bk,ck, dj （ k =1,2,川，n ）的ak, bk , ck , dk四个数字中，一个数

52、是另外三个数白算术平均数.（2010年北京大学夏令营）12 f214 I 434 .已知平行四边形 ABCD的四个顶点按逆时针顺序排列，并且AC BD = AB + AD ,求平行四边形的锐角内角的度数.（2013年华东师范大学）35 .已知 x, y w R，求屈 x2 9 y2 64 x6- y65 6 J ” “6 x-5 户 的最大值.（2013年华东师范大学）36 .求证：（x +1）2n +（x -1）2n没有实系数的一次项.（2013年华东师范大学）*37 .数列an中，a1=2, an+ =4an -3n +1 , n = N .（1）求证：an -n为等比数列；（2）求数列6口的前n项和Sn.（2008年武汉大学）38 .已知正数a、b、c满足a2+ab+ ac+bc = 6+2J5 ,则3