二项式定理各种题型解题技巧

1、二项式定理1 .二项式定理：(a +b)n =C0an +C：an,b +| +C；anbr +| + C；bn(n w N*),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a + b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数C； (r =0,1,2,n).项数：共(r+1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r+1项C；anbr叫做二项式展开式的通项。用Tri =C；anbr 表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有(n+1)项。顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改。(a + b)n与(b + a)n是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0 ,是降哥排列。b的指数

2、从0逐项减到n , 是升哥排列。各项的次数和等于n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C：C,Cn2, C；, IC；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)c4 .常用的结论：么1a=1h=x/【+ n =0+1'+2"2 +i i I + C r y r +i il+Cnyn/nWa 1,b x, (I x) C n CnxCnxCnxCnx(n N)令 a =1,b =_x, (1 x)n =C0 -Cnx +C：x2 川 +C；x+ W + (1)nC；xn(nW N *)5 .性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等

3、，即 C： =C：,Ck =C：二项式系数和：令a = b=1,则二项式系数的和为C0+Cn+C： +|+C；+川+C：=2n,变形式 Cn +C： +IM + C； +|+Cn =2n1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a=1,b = -1，则C0C： +C2C；+川+ (1)C=(1 1)=0 ,01 lYn /f-H-至I . c 0 c 2 1 c 42 r 上c 1 , c 3 I L 上 C 2r书上1 n <,)n -1寸王1J. Cn - Cn - Cn - Cn ,=Cn CnCn= - 2 =22奇数项的系数和与偶数项的系数和：二项式系数

4、的最大项：如果二项式的哥指数n是偶数时，则中间一项的n二项式系数Cn2取得最大值。如果二项式的哥指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn, cJ同时取得最大值。系数的最大项：求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为A,A2,An+,设第r+1项系数最大，应有人+之人，Ar. - Ar 2从而解出r来。6 .二项式定理的H一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；例：Cn C： 6 C； 62 川 Cn1 6n=.（1 - 6）n=：C0-C1 6"-C262" C 3 63 C n6n J=EF 产牛 的 -止匕美 R 日用午

5、71; （I 6）C nCn 6 Cn6 Cn 6III Cn6 I1 下“ 口 J /闩 /£.巴）练：Cn - 3C2 - 9C3 Hl 3n,C： =.解：设 Sn =Cn+3C2+9C；+111 nCn1 ,贝UQQ.2Q23Q3n On 01 Q .2 Q23 03nonn3Sn =Cn3 Cn 3Cn 3Cn 3 =Cn Cn3 Cn 3 C n 3Cn3'1 = (1 3)-1(1 3)n -14n -1题型二：利用通项公式求xn的系数;例：在二项式（4X十次）n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的系数?解:由条件知 Cn1-=45 ,即 C2=4

6、5, .n2n90 = 0,解得 n = 9(舍去)或 n=10 ,12102丁7=g巾"0面),=C；0x= 3,，由题意 +工,解得r=6, 43练:解:则含有x3的项是第7项丁6书=0(0x3 =210x3,系数为210。求(x2)9展开式中x9的系数？2x_ d2、9_r,1 r r18_2r,1、r _r r,1 r 18 _3rTr + C9(x )() C9x ( ) x C9( -)x, 1 183r=9,J、r = 32x22故x9的系数为C；J3=£。题型三：利用通项公式求常数项;例：求二项式（x2方）10的展开式中的常数项?5_解：TCMx2)10(力

7、)r =C1r0(2)rx 引，令 20-5r=0,得 r=8,所以T9二或/二三2256练：求二项式(2x-L)6的展开式中的常数项？2x解：Tr+=Cfr(2x)6"(-1)r(-)r =(-1)rC626"(1)rx6r ,令6-2r=0,得 r = 3,所以2x23 _ 3T4 =(-1) C6 -20练：若(x2+1)n的二项展开式中第5项为常数项，则n =. x解：T5 =C4(x2)i(2)4 =C4x2n2 ,令 2n 12=0,得 n = 6. x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(血一次)9展开式中的有理项？1127 工解：T7=C

8、；(x2)9,(-x3)r =(-1)rC；xk ,令2_Zrwz,( 0ErE9)得 r=3或 r = 9,6所以当 r =3时，27二r=4 T4 =(_l)3C；x4 =84x4,6当 r=9 时，2LzL = 3' =(_1)3c；x3 =x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例：若(次-工厂展开式中偶数项系数和为-256,求n.32, x解：设(夕-厂展开式中各项系数依次设为a0,a1,anx=1，则有令x = -1,贝u有 a。+a + ana。a1 +a2 a3 + + (1) =2n,将-得：2(a1+a3+a5 + '1') =2

9、n,二a1+a3+a5+ '= 2n,有题意得，-2n,= -256 = -28 , J.n=9。练：若(e+g)n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中 间项。角昂 11 c 0+C 2+C 4+C 2r+ .- C1+c3+»n + c2r1+ .=on-9 n “ 一1094得Cn Cn CnCnCn CnCn2 ,2 I024 )n =11所以中间两个项分别为 n=6,n=7, T5+= C5(3x)6(512)5 = 462 xu ,61T6 1 = 462 x 5题型六：最大系数，最大项；例：已知（1+2x）n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项

10、式系数成等差2数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：'：C：+Cn6 =2C5,. n2 -21n+98=0，解出 n = 7或n=14,当 n = 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和丁5，的系数=c3d）423 =35,22T5的系数=C4（1）324 =70，当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是丁8, 2二丁8的系数=C；4（1）727 =3432。2练：在（a+b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的哥指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2n&=Tn斗，也就是第n十1项。下 1练：在J-4）n的展开式中，只有第5项的二

11、项式最大，则展开式中的常数2 Jx项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则匚+1=5,即n =8,所以展开式中常数项为 2第七项等于C：（-）2 =72例：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的哥指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4=-C；a4b3的系数最小，T5=C4a3b4系 数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求（1+2x）n的展开式中系数 2最大的项?解：由 Cn +Cn+Cn =79，解出 n=12，假设1平项最大，：(1+2x)12 =d)12(1 + 4x)12 22Ctd,化简

12、得到9.4,又","1°,展开式中系数最大的项为一有2(”； 练：在(1+2x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设T4项最大，'Tr卡=C；0 2rxr.从八人二a2 So：2 ：解得|2(11一 ”化简得到6.3MkM7.3, Ar 1 - Ar 2C1r02r -C；012r 1, r 1 .2(10 -r)又,：0Wr M10, J. r =7,展开式中系数最大的项为丁8 = 晨7 = 15360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x2+3x+2)5的展开式中x的一次项的系数？解法：(x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5, Tr&#

13、165;=C5(x2+2)5(3x)r ,当且仅当 r = 1 时, 书的展开式中才有x的一次项，此时Tf=T2=C5(x2+2)43x ,所 以x得一次项为C5c：243x 它的系数为c5c：243 =240。解法：25550 51 450 51 45 5(x2 +3x+2)5 =(x+1)5(x+2)5 =(C0x5+C5x4 + +C5)(C;0x5 +C5x42+ + C525)故展开式中含x的项为C；xC525 +C；x24 =240x,故展开式中x的系数为240.练：求式子(x+ =-2)3的常数项? x解：(x，-2)3"；16,设第r+1项为常数项，则T.4=C；(1

14、)r|x"()r =(1)6C；|x6Nr ,得 6 2r =0, r =3,3 _ 3.T3 i =(-1) C6 = -20.题型八：两个二项式相乘；例：求(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数.解：(1 2x)3的展开式的通项是Cm (2x)m =C 2m -xm,令 m + n =2,则 m =0且 n=2,m = 1 且 n=1,m = 2 且 n = 0,因此(1 + 2x)3(1 - x)4的展开式中 x2的系数等于 C30 -20 C： ,(-1)2+C；，21 c4 (1)1+C>22 C0 ,(-1)° = -6练:求（1 +&）6（

15、1 + J）10展开式中的常数项、xmn4m _3n解：（1+Vx）6（1+声）10展开式的通项为Cmx万心力=Cm C0 ,x时得展开式中的常数项为C； C00 - C3 C10 C6 C80 =4246 .1练：已知（1 +x +x ）（x + ）的展开式中没有吊数项，n = N且2 M n £8,则n =.x解：（x+）n展开式的通项为C；父“火口 =c；/”,通项分别与前面的三项相乘可得 x题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在（x-夜）2006的二项展开式中，含对勺奇次曷的项之和为S,当x = 6时,S =解：设（xV2）2006 =a0 +a1x1 +a2x2 +

16、a3x3+|+a2006x2006 题型十：赋值法；例：设二项式（3次+工厂的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的 x和为s,若p+s=272 ,则n等于多少？练:解:则展开式的常数项为C；(3 .1)3( -1 )3 =540.解：若(33/X+1)n =a0+a1x+ a2x2+ anxn ,有 P = a0 + a1+ an , xS =C： + "C =2n ,令 x=1 得 P =4n ,又 p + s = 272，即 4n +2n =272= (2n +17)(2n 16) = 0解得2n =16 或 2n =17(舍去)，j.n=4.n一二 的展开式中各项系数之和为64 ,则展开式的常数项为多 .x少？令x=1,则匕62)的展开式中各项系数之和为2n=64,所以n = 6, x例:20091232009q a2a2009右(1 -2x)=a0+a1x +a?x +a3x +|l|+a2009x(x= R),则一+二 + +/09 的值为222人1a1 a2a2009a1 a2a2009-解:令 x=2Wa0+3+2