探究与发现组合数的两个性质

1、四川省郫都区第一中学 杨先蓉组合组合2复习复习组合数计算公式组合数计算公式!) 1()2)(1() 1 (mmnnnnAACnmmnmn)!( !)2(mnmnCmn 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个个元元组合组合mnC例 在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从5个试题中任意选3题，问（1）有几种不同的选题方法？（2）若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？310710CC ；练习：计算两个组合数问题问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？同？怎样对这一结果进行解释？ 从从1010个元素中取出个元素

2、中取出7 7个元素后，还剩下个元素后，还剩下3 3个元素，就是说，从个元素，就是说，从1010个元素中每次取个元素中每次取出出7 7个元素的一个组合，与剩下的个元素的一个组合，与剩下的(10-7)(10-7)个元素的组合是一一对应的。因此，从个元素的组合是一一对应的。因此，从1010个元素中取个元素中取7 7个元素的组合，与从这个元素的组合，与从这1010个个元素中取出元素中取出(10-7)(10-7)个元素的组合是相等的个元素的组合是相等的)(31071010710CCC即：问题问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？ 一般地，从一般地，从n n个

3、不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元素后，剩下元素后，剩下n n m m个元素因为从个元素因为从n n个个不同元素中取出不同元素中取出m m个元素的每一个组合，个元素的每一个组合，与剩下的与剩下的n n m m个元素的每一个组合一一个元素的每一个组合一一对应，所以从对应，所以从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元个元素的组合数，等于从这素的组合数，等于从这n n个元素中取出个元素中取出n n m m个元素的组合数个元素的组合数 组合数性质组合数性质1：mnnmnCC说明：说明：2、 为了使性质为了使性质1在在mn时也能成立，规定时也能成立，规定10nC1 1、为简化计算，当、

4、为简化计算，当m 时，通常将计算时，通常将计算 改为计算改为计算 2nmnCmnnC3xynnCC 、xyxyn 或或证明证明组合数性质组合数性质2引例引例一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球从口袋里取出从口袋里取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？有多少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有个球，使其中不含黑球，有多少种取法？多少种取法？372738CCC从引例中可以发现一个结论：从引例中可以发现一个结论：对上面的发现对上面的

5、发现(等式等式)作怎样解释？作怎样解释？1211,1nmna aanmC 一一般般地地，从从这这个个不不同同的的元元素素中中取取出出个个元元素素的的组组合合数数是是， 11aa这这些些组组合合可可分分成成两两类类：一一类类含含有有 ，一一类类不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素组组成成的的，共共有有个个 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素与与组组成成的的，共共有有个个； 由由分分类类计计数数原原理理，得得 11mnmnmnCCC组合数性质

6、组合数性质2组合数性质组合数性质2：证明证明说明：说明：1、公式特征：下标相同而上标差、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合的两个组合数之和，等于下标比原下标多数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习后学习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主时，我们会看到它的主要应用要应用 例例 计算计算例例 证明证明111111mmmmnnnnCCCC、1112nnnnnnn mn mCCCC 、课堂练习课本24页1、2、3、4小小 结结 通过这一节课的学习我们要进一通过这一节课的