高数—11暑—05—向量单元复习—周波-教师版

1、专业 引领 共成长 高二数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型复习课课题向量单元复习教学目标1掌握并灵活运用向量的几何运算法则；2掌握并灵活运用向量的坐标运算法则教学重点1向量的几何运算问题；2向量的应用教学安排版块时长1例题解析602巩固训练303师生总结304课后练习30向量单元复习知识梳理1、平面向量的基本概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般地，以点A为始点，点B为终点的向量记作，也可以记作，在建立坐标系后，向量还可以用坐标表示（2）零向量：模为0的向量叫做零向量，记作；它的方向是不确定的（3）向量的大小，即长度，叫做向量的模，记作（4）单位向量：模为1的向量叫做单位

2、向量对于任何一个给定的向量，与同方向的单位向量记作，则（5）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量，可看作与任意向量平行（6）相等向量：规定所有的零向量都相等；模相等且方向相同的两个非零向量叫做相等向量（7）相反向量：模相等且方向相反的两个非零向量叫做互为相反向量2、向量的运算（1）加法运算：三角形法则、平行四边形法则（2）减法运算：三角形法则（3）数与向量的乘法：实数与非零向量的乘积是一个向量，记作的模和方向规定如下：；当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，为零向量.规定：（4）向量坐标：设、，则（5）向量的数量积：对于两个非零向量和，如果以为起点，作，那么射

3、线的夹角叫做向量和的夹角，其中，则把叫做与的数量积，则·=交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：乘法公式成立： ；（6）两个非零向量垂直的充要条件：·0（7）已知、为两个非零向量，且，则的充要条件是3、定比分点公式若是直线上一点，坐标，且（为任意实数且），则称分有向线段所成比为，点的坐标满足当时，即为中点例题解析1、向量的概念【例1】如图，EFG依次是正ABC的边AB、BC、AC的中点，（1）在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量；（2）以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量；（3）在以E、F、G为起点，以

4、A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量【难度】【答案】（1）、；，；，；（2），；（3）【例2】如图，已知梯形ABCD中，ADCB，E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC=3AD，设，试用、表示、【难度】【答案】=，=，=【例3】判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若，则(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则(7)若，则(8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9) 的充要条件是且【难度】【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）（6）（7）×（8）×

5、;【例4】给出下列命题：若，则；若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；若，则；的充要条件是且；若，则；其中正确的序号是 【难度】【答案】【巩固训练】1下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【难度】【答案】C2设为单位向量，若为平面内的某个向量，则；若与平行，则；若与平行且，则上述命题中，假命题个数是（ ）ABCD【难度】【答案】D3下列命题中正确的有：( )四边形是平行四边形当且仅当；向量与是两平行向量；向量与是共线向量，则，四点必在同一直

6、线上；单位向量不一定都相等；与共线，与共线，则与也共线；平行向量的方向一定相同【难度】【答案】4在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【难度】【答案】A2、向量的运算【例5】若则向量的关系是（ ） A平行 B重合C垂直 D不确定【难度】【答案】C【例6】在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )A B C D BCAP【难度】【答案】C【例7】如图，在中，、分别是、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ） A BC D【难度】【答案】C【例8】在直角坐标系中，已知，求证：、三点共线【难度】

7、【答案】略【例9】已知，且，（1）求，； （2）求与的夹角，与的夹角【难度】【答案】（1）=，=6；（2）与的夹角为30°，与的夹角为60°【例10】已知向量，为正实数，（1）若，求的最大值；（2）是否存在，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【难度】【答案】（1）；（2）不存在这样的正实数，【例11】（1）已知，设与的夹角为，要使为锐角，求的取值范围；（2）中，已知，判断的形状【难度】【答案】（1）且；（2）锐角三角形【例12】已知的三个顶点是，点分所成的比为，点E在BC上，且的面积是的一半，求点E的坐标【难度】【答案】【例13】若等边的边长为，平面内一点M满

8、足，则 【难度】【答案】【巩固训练】1若非零向量，满足，则（ ）AB C D【难度】【答案】A2设，分别是的三边、上的点，且则与( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【难度】【答案】A3已知两个向量，若，则的值等于（ ）AB C D【难度】【答案】B4已知，求；当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？【难度】【答案】时，反向平行5已知，与的夹角为，当实数为何值时，（1）；（2）（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）6一条由西向东的河流，它的水流速度为1千米/小时，一艘小船在静水中的速度为5千米/小时如果小船的实际航向为垂直对岸，那么驾驶员应保持怎样的航向？

9、船的实际航速是多少？ 【难度】【答案】驾驶员应保持的航向是北偏西，船的实际航速大小是千米/小时3、向量的应用【例14】机器人站在原点，面向轴正方向，接到的指令是：先逆时针旋转45，再朝它面对的方向直线行走米到达P点，然后顺时针旋转，继续向前直线行走到轴上的Q点，求Q点的坐标【难度】【答案】【例15】点O为所在平面内的一点，且满足，判断的形状【难度】【答案】等腰三角形【例16】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点C在以O为圆心的上变动，若，其中，则的最大值是 【难度】【答案】2【例17】已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使，

10、且m+n=1【难度】【答案】略【例18】已知五边形，、分别是边、的中点，、分别是和的中点，求证：平行且等于. 【难度】【答案】略【例19】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点C在以O为圆心的上变动，若，其中，则的最大值是 【难度】【答案】2【例20】如图所示，在中，与交于M点，设，（1）用，表示；（2）在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设，求证：【难度】【答案】（1）；（2）提示：将，用向量，表示并利用共线性质即可得【巩固训练】1点O在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）则点O依次为的 （ ）A内心、外心、重心、垂心 B重心、外心、内

11、心、垂心C重心、垂心、内心、外心 D外心、内心、垂心、重心【难度】【答案】C2已知O为坐标原点，若，（1）求关于的函数解析式；（2）若时，的最大值为2，求的值并指出的单调区间 【难度】【答案】（1）（2），单调增区间是，单调减区间是3如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设， 其中，求证：【难度】【答案】略NMDCBA4在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【难度】【答案】2,5PADCMB5如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 若， ，且，则 【难度】【答案】(-25/16)6如图，、分别是

12、平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点和点求证 【难度】【答案】略反思总结1、1、向量的几何运算需要运用初中所学的平面几何知识与方法，需要特别的回顾熟悉这部分内容。2、向量分为坐标运算的代数方法和几何运算的几何方法，这两种方法代数方法较简单，一般首先选用，如果不能使用再选择几何方法。课后练习1已知：，则的单位向量是_【难度】【答案】2已知如果与的夹角是钝角，则的取值范围是_【难度】【答案】3若向量的夹角为，,则向量的模为 【难度】【答案】64给出下列四个命题：若，则；与不垂直；在ABC中，三边长BC=5，AC=8，AB=7，则；设A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC为平行

13、四边形（O为坐标原点），则AOC=其中真命题的序号是 （请将你认为真命题的序号都填上）【难度】【答案】，5已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 【难度】【答案】6设，则的最大值是 【难度】【答案】77已知的三个顶点分别是，重心，则的值分别是 ( )A B C  D【难度】【答案】D8在ABC中，有命题=；=；若()×()=0，则是等腰三角形；若×>0，则ABC为锐角三角形上述命题正确的是 (）A B C D【难度】【答案】C9已知：向量，分别求出当和平行和垂直时，实数的值【难度】【答案】见解析【解析】，若和平行时， 若和垂直时，10已知，与的夹角

14、为，求【难度】【答案】11平面向量已知，求、及与夹角【难度】【答案】见解析【解析】由题意得  ，所以与的夹角为12设其中(1)求的最大值和最小值；(2)当 ，求的值【难度】【答案】见解析【解析】= -2sinxcosx+cos2x=0x ， 2x+当2x+=，即x=0时，f(x)max=1； 当2x+=，即x=时，f(x)min= -即f(x)=0，2x+=，x=13已知向量(sin，1)，(1，cos)，（1）求的最大值；（2）当取得最大值时，以O、P、Q、A四点构成平行四边形，求【难度】【答案】见解析【解析】（1），所以当时最大值为 （2）14已知平面上三个向量的模均为，它们相互之间的夹角为（1）求证：；（2）若，求的取值范围【难度】【答案】见解析【解析】（1），同理， 于是，即；（2） ，即，所以，或15平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值【难度】【答案】见解析【解析】（1）设，点X在直线OP上向量与共线，即，故=（2y，y），又，故，同理，于是，当时，有最小值，此时=（4，2）；（2）当=（4，2），即时，有=（3，5），=（1，1），|=，|=，cosAXB=16四边形中,，,(1)若，求与间的关系式；(2)满足(1