泊松分布的数学期望与方差

1、泊松分布的数学期望与方差设随机变量 （-PW,则P( = m)=4厂/ m = 0丄2)E工i的 00=几汀吃01T1再计算2二(m - 1 )!E电彳=mM - 0=心吃aJI -0g碑 iJI -1怖2啟(m - A )!1 kg ?再+ y “ (k - 1 刀 -0 k!Z)f = Efa-ff/=Af2+V-l3 = A故匸一、Poisson分布的概念Poisson分布更多地专用于研究单位时间、单位人群、单位空间内，某罕见事件 发生次数的分布。如某种细菌在单位容积空气或水中出现的情况，某段时间特定人群中某种恶性肿 瘤患者的分布或出生缺陷的发病情况，放射性物质在单位时间内的放射次数，

2、单 位空间某种昆虫数的分布等等。Poisson分布在n很小，样本含量n趋向于无穷大时，二项分布的极限形式。 当试验中成功事件出现的概率很小，如nV0.05,试验的次数n很大时，用二项分布计算成功事件出现的次数 X （X=0，1, 2，n）的概率很困难，用Poisson 分布可简化计算。Poisson分布发展成为描述小概率事件出现规律性的一种重要 的离散型分布。Poisson分布的概率函数F(X)=尹 LX=1,2,3 (7.13)意义：单位时间(单位人群、单位空间内，单位容积)内，某罕见事件发生次数 的概率分布式中p=nn为Poisson分布的总体均数，总体中某单位中的平均阳性数,X为单 位时

3、间或单位空间内某事件的发生数(阳性数)，e为自然对数的底，约等于2.71828。她+ 1)=P(X)化-一 (7.14)二、Poisson分布的性质1. Poisson分布是一种单参数的离散型分布，其参数为卩，它表示单位时间或 空间内某事件平均发生的次数，又称强度参数。2. Poisson分布的方差o2与均数卩相等，即o2=卩3. Poisson分布是非对称性的，在卩不大时呈偏态分布，随着 卩的增大，迅速 接近正态分布。一般来说，当(j=20时，可以认为近似正态分布，Poisson分布 资料可按正态分布处理。4. Poisson分布的累计概率常用的有左侧累计和右侧累计两种。单位时间或空 间内事

4、件发生的次数最多为k次的概率P(X) = P(O)+P(1)+A+F仗)(x= 0,1,2,最少为k次的概率+ 帥)=1-HX“一1) (X= 02,5. Poisson分布的图形已知 仏就可按公式计算得出X= 0, 1, 2，时的P (X) 值，以X为横坐标，以P (X)为纵坐标作图，即可绘出Poisson分布的图形， 如图7.2。Poisson分布的形状取决于 卩的大小。卩值越小，分布越偏，随着 卩的增大，分 布越趋于对称，当（j=20时，分布接近正态分布，当（j=50时，可以认为Poisson 分布呈正态分布N （仏Q ,按正态分布处理。由图7.2可以看到Poisson分布当总体均数二值

5、小于5时为偏峰，】愈小分布愈偏，随着增大，分布趋向对称。P（z）0. 4lib.FgF0.40.40 30 3 0. 20. 2 -0 I0 1 L.0. 1 Ic 1llu eeqb：宙“蛙 r止览誹琵U E4b皿1Z R 止览甜 ST日 3A=33图T2：取不同值时的Poisson分布图6. Poisson分布是二项分布的极限形式二项分布中，当n很小而n很大，nn卩 时，二项分布趋于 Poisson分布。7. Poisson分布的观察结果有可加性。若从总体均数为的Poisson分布总体 中随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数为 X1,再独立地从总体均数为2 的Poisson分布总体中随

6、机抽出另一份样本，其中稀有事件的发生次数为 X2， 则它们的合计发生数T （一 -I 门）也服从Poisson分布，总体均数为* 厶。 上述性质还可以推广到多个 Poisson分布的情形。例如，从同一水源独立地取水 样5次，进行细菌培养，每次水样中的菌落数分别为 =，_，均服从Poisson 分布，分别记为，那么把5份水样混合，其合计菌落数也服从Poisson分布，记为-._1。医学研究中常利用其可加性，将小的观察单位合并，来增大发生次数X，以便用后面讲到的正态近似法作统计推 断。三、Poisson分布的应用条件Poisson分布的应用条件与二项分布相同，即要求事件的发生是相互独立的，发 生的概率相等，结果是二分类的。Poisson分布主要用于研究单位时间或单位空间内某事件的发