高等数学,复合求导

1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则多元复合函数的求导法则 第八章 目录 上页 下页 返回 结束 )(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzu

2、uzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt有增量u ,v ,目录 上页 下页 返回 结束 ,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0

3、(vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立.目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu例如,例如,yx目录 上页 下页 返回 结束 又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微

4、条件时, 有xz121ffyz解释第一个公式和第二个公式的原理xfxvvfyvvf目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设设,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin

5、4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2解释此公式的由来解释此公式的由来目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.解释此公式的第三项,Z是U，V，t三个变量的函数目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见 , 引入记号,2121vuff

6、uff ),(1zyxzyxf例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变

7、量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.目录 上页 下页 返回 结束 例例1 .,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos(

8、)sin(eyxyxxyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf目录 上页 下页 返回 结束 2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2