高等数学7-2可分离变量的微分方程

1、一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的为微分方程的隐式通解隐式通解.分离变量法分离变量法2. 可分离变量的可分离变量的微分方微分方程程例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 x

2、dxydy12lnCxy .212为所求通解为所求通解xCxCeey 二、例题二、例题P300-1.0)()(2通解通解求方程求方程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解可化为可化为“可分离变量可分离变量”的微分方程的微分方程例例 3 3 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量

3、量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律.解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律P301-2解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出

4、风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07.

5、003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO问题：用分离变量法解微分方程是否也会问题：用分离变量法解微分方程是否也会发生丢解的情形？发生丢解的情形？答：有可能答：有可能4324)(3)0 xy dxxydy 例例如如方方程程（是是可可以以分分离离变变量量的的。3423400 430 xyx yxydxdyxy假假定定，用用除除原原方方程程的的各各项项，将将方方程程的的变变量量分分离离得得：积积分分，00 xy 易易看看出出，与与都都是是原原方方程程的的解解，它它们们都都是是在在分分离离

6、变变量量的的过过程程中中丢丢失失的的，不不包包含含在在通通解解中中。231211,CCxxyy得得通通解解- -其其中中 为为任任意意常常数数。分离变量法步骤分离变量法步骤: :1、分离变量、分离变量;2、两端积分、两端积分-隐式通解隐式通解.小小 结结思考题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题解答思考题解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansect

7、ansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘

8、米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、三、