高考数学(理数)一轮复习课时作业53《椭圆》(教师版)

1、课时作业53椭圆1已知三点P(5,2)，F1(6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为(B)A3 B6C9 D12解析：因为点P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a，|PF2|，|PF1|5，所以2a6，即a3，c6，则b3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(B)A. BC. D解析：由题意知a3，b，c2.设线段PF1的中点为M，则有OMPF2，OMF1F2，PF2F1F2，|PF2|.又|PF1|PF2|2a6，|PF1|2a|PF2|，×，故选B.3已知点

2、P是椭圆1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为PF1F2的内心，若SMPF1SMF1F2SMPF2成立，则的值为(D)A. BC. D2解析：设内切圆的半径为r，因为SMPF1SMF1F2SMPF2，所以SMPF1SMPF2SMF1F2；由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，所以arcr，c，所以2.4已知椭圆1(ab0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·0，则椭圆的离心率为(D)A. BC. D解析：由题意知，M(a,0)，N(0，b)，F(c,0)，(a，b)，(c，b)·0，acb20，即b2ac.又知b2a2c2，a2c2ac.

3、e2e10，解得e或e(舍)椭圆的离心率为，故选D.5已知椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1内切圆的半径为(D)A. B1C. D解析：法一：不妨设A点在B点上方，由题意知，F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程1中，可得A点纵坐标为，故|AB|3，所以内切圆半径r(其中S为ABF1的面积，C为ABF1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB|3，则SABF1×2×33，又易得ABF1的周长C4a8，则由SABF1C·r可得r.故选D.6已知两定点A(1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线

4、l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(A)A. BC. D解析：不妨设椭圆方程为1(a1)，与直线l的方程联立得消去y得(2a21)x26a2x10a2a40，由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0，解得a，所以e，所以e的最大值为.故选A.7设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为5.解析：由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|，|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得

5、等号，又|MF2|5,2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5.8过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.、两式相减并整理得·.结合已知条件得，×，故椭圆的离心率e .9已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260°，SPF1F23，则b3.解析：由题意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260°，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60

6、6;|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|sin60°×b2×b23，所以b3.10椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是2b2,3b2，椭圆M的离心率为e，则e的最小值是.解析：由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，|PF1|·|PF2|2a2，2b2a23b2，即2a22c2a23a23c2，即e.令f(x)x，则f(x)在上

7、是增函数，当e时，e取得最小值.11已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd·|PQ|.设t

8、，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k±时等号成立，且满足0，所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.12已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，可得离心率.(2)解法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x

9、轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.解法二：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2,1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的

10、方程为y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.13设F是椭圆C：1(ab0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2y2与线段PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为(D)A. BC. D解析：如图所示，设线段AB的中点为D，连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，连接PF1.设|OD|t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，所以点D为线段PF的中点，所以ODPF1，且|PF1|2t，PF1PF.因为|PF|3|AB|6|AD|6，根据椭圆的定义，

11、得|PF|PF1|2a，62t2a，解得t或t0(舍去)所以|PF|，|PF1|.在RtPFF1中，|PF|2|PF1|2|FF1|2，即22(2c)2，得，所以椭圆C的离心率e.14已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2c，若椭圆上存在点M使得，则该椭圆离心率的取值范围为(D)A(0，1) BC. D(1,1)解析：在MF1F2中，而，.又M是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，|MF1|MF2|2a.由得，|MF1|，|MF2|.显然|MF2|MF1|，ac|MF2|ac，即acac，整理得c22aca20，e22e10，又0e1，1e1，故选D.15过椭圆1

12、(ab0)上的动点M作圆x2y2的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则EOF面积的最小值是.解析：设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线MP和MQ的方程分别为x1xy1y，x2xy2y.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0y1y0，x2x0y2y0，则P，Q两点的坐标满足方程x0xy0y，所以直线PQ的方程为x0xy0y，可得E和F，所以SEOF·|OE|OF|，因为b2ya2xa2b2，b2ya2x2ab|x0y0|，所以|x0y0|，所以SEOF，当且仅当b2ya2x时取“”，故EOF面积的最小值为.16已知椭圆C：1(a2)，直线l：ykx1(k0)与椭圆C相交于A，B两点，点D为AB的中点(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为，求椭圆C的方程；(2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMOBMO(O为坐标原点)？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由得(4a2k2)x22a2kx3a20，显然0，设A(x1，y