数值分析MATLAB实验报告

1、精选优质文档-倾情为你奉上实验 2.1 多项式插值的震荡现象 问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数越高，我们自然关心插值多项式的次数增加时，是否也更加靠近被逼近的函数。Runge 给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间-1,1上函数 实验内容：考虑空间-1,1的一个等距划分，分点为 ， 0，1,2 .,则拉格朗日插值多项式为 .其中，是次Lagrange插值基函数。实验要求：（1） 选择不断增大的分点数目画出原函数及插值多项式函数在-1,1上的图像，比较并分析实验结果。（2） 选择其他的函数，例如定义在区间-5,5

2、上的函数 ，重复上述的实验看其结果如何。首先编写拉格朗日插值函数的Matlab实现：Matlab程序为：function y=lagrange(x0,y0,x) %Lagrange插值n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if(j=k) p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+p*y0(k); end y(i)=s;end（1） 当函数为时，Matlab程序为：x=linspace(-1,1,100);y=1./(1+25*x.2);plot

3、(x,y)hold on;for i=2:2:10 x0=linspace(-1,1,i+1); y0=1./(1+25*x0.2); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,'r-') hold onend运行结果：结果分析：从图上看到在区间-1，1的两端点附近，随着插值点数的增加，插值函数与偏离的越远，而且出现了振荡现象。（2） 当函数为时Matlab程序为：x=linspace(-5,5,100);y=x./(1+x.4);plot(x,y)hold on;for i=2:2:10 x0=linspace(-5,5,i+1); y0=x0./(1+x0

4、.4); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,'r-') hold onend运行结果：结果分析：从图上看到在区间-5，5的两端点附近，随着插值点数的增加，插值函数与偏离的越远，而且出现了振荡现象。（3） 当函数为x=linspace(-5,5,100);y=atan(x);plot(x,y)hold on;for i=2:2:10 x0=linspace(-5,5,i+1); y0=atan(x0); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,'r-') hold onend运行结果：结果分析：从图上看到在区间-5，5

5、的两端点附近，随着插值点数的增加，插值函数与偏离的越远，而且出现了振荡现象。实验 3.1编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表3.11中的数据作3次多项式二乘拟合。- 1.0- 0.50.00.51.01.52.0-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权数1，求拟合曲线中的参数、平方误差，并作离散数据的拟合函数的图像。Matlab程序如下：x0=-1:0.5:2;y0=-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552;alph=polyfit(x0,y0,n);%ployfit为最小二乘拟合函数，alp

6、h为系数（按降幂排列y=polyval(alph,x0);r=(y0-y)*(y0-y)'%平方误差,注意平方的表达式x=-1:0.01:2;y=polyval(alph,x);plot(x,y,'k-');xlabel('x');ylabel('拟合曲线');hold on;plot(x0,y0,'*');title('离散数据的多项式拟合');grid on;disp('平方误差：',sprintf('%g',r);disp('参数alph：',sprin

7、tf('%gt',alph)运行结果：平方误差：2.17619e-005参数alph：1.99911-2.99767 -3.96825e-005 0.结果分析：根据给定的7个点的数据，所求的拟合函数的曲线可以基本地反映数据点的变化趋势。所求的三次多项式为： 其最小平方误差为：2.17619e-005。实验4.1实验目的：复化求积公式计算定积分.实验目的：数值计算下列各式右端定积分的近似值.（1） ； （2）；（3） ； （4）；实验要求：（1） 若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I 型公式做计算，要求绝对误差限为，分别利用它们的余项对每

8、种算法做出步长的事前估计.（2） 分别用复化梯形公式，复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I 型公式作出计算.（3） 将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量.事前估计的Matlab程序如下：1用复化梯形公式进行事前估计的Matlab程序format long g x=2:0.01:3;f=-4*(3*x.2+1)./(x.2-1).3; %二阶导函数%plot(x,f) %画出二阶导函数图像x=2.0; %计算导函数最大值f=-4*(3*x2+1)/(x2-1)3; h2=0.5*10(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2) %步长n=1/h; n=ce

9、il(1/h)+1 %选取的点数%222%format long gx=0:0.01:1;f=8.*(3*x.2-1)./(x.2+1).3;%二阶导函数%plot(x,f) %画出二阶导函数图像x=1; %计算导函数最大值f=8.*(3*x.2-1)./(x.2+1).3;h2=0.5*10(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2) %步长n=1/hn=ceil(1/h)+1 %选取的点数%333%format long gx=0:0.01:1;f=log(3).*log(3).*3.x;%二阶导函数%plot(x,f); %画出二阶导函数图像x=1; %计算导函数最大值f=log(3

10、)*log(3)*3x;h2=0.5*10(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2) %步长n=1/hn=ceil(1/h)+1 %选取的点数%format long gx=1:0.01:2;f=2.*exp(x)+x.*exp(x);%二阶导函数%plot(x,f) %画出二阶导函数图像x=2; %计算导函数最大值f=2.*exp(x)+x.*exp(x);h2=0.5*10(-7)*12/f;h=sqrt(abs(h2) %步长n=1/hn=ceil(1/h)+1 %选取的点数估计结果步长h及结点数n分别为h = 0.n = 1793h = 0.n = 1827h = 0.n = 2

11、458h = 0.n = 70202用复化simpson公式进行事前估计的Matlab程序format long g x=2:0.01:3;f=-2*(-72*x.2-24).*(x.2-1)-192*x.2.*(x.2+1)./(x.2-1).5;%四阶导函数x=2.0;f=-2*(-72*x2-24)*(x2-1)-192*x2*(x2+1)/(x2-1)5; %计算导函数最大值h4=0.5*10(-7)*180*16/f; h=sqrt(sqrt(abs(h4) %步长n=1/h; %求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1 %选取的点数 %222%format long g x=0

12、:0.01:1;f=4*(-72*x.2+24).*(x.2+1)-192*x.2.*(-x.2+1)./(x.2+1).5;%四阶导函数x=1;f=4*(-72*x2+24)*(x2+1)-192*x2*(-x2+1)/(x2+1)5; %计算导函数最大值h4=0.5*10(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)%步长n=1/h; %求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1 %选取的点数 %333%format long g x=0:0.01:1;f=log(3)4*3.x;%四阶导函数x=1;f=log(3)4*3.x;%计算导函数最大值h4=0.5*10(-

13、7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)%步长n=1/h; %求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1 %选取的点数 %444%format long g x=1:0.01:2;f=4*exp(x)+x.*exp(x);%四阶导函数plot(x,f) %画出原函数x=2;f=4*exp(x)+x.*exp(x); %计算导函数最大值h4=0.5*10(-7)*180*16/f;h=sqrt(sqrt(abs(h4)n=1/h; %求分段区间个数n=2*ceil(1/h)+1 %选取的点数 估计结果步长h及结点数n分别为h = 0.13411n = 47h = 0.76

14、542n = 35h = 0.18433n = 29h = 0.18546n =49积分计算的Matlab程序：format long gpromps='请选择积分公式，若用复化梯形，请输入T，用复化simpson，输入S，用复化Gauss_Legendre，输入GL：'result=inputdlg(promps,'charpt 4',1,'T');Nb=char(result);if(Nb='T'&Nb='S'&Nb='GL') errordlg('积分公式选择错误

15、9;); return;endresult=inputdlg('请输入积分式题号1-4：','实验4.1',1,'1');Nb_f=str2num(char(result);if(Nb_f<1|Nb_f>4) errordlg('没有该积分式'); return;endswitch Nb_f case 1 fun=inline('-2./(x.2-1)');a=2;b=3; case 2 fun=inline('4./(x.2+1)');a=0;b=1; case 3 fun=inlin

16、e('3.x');a=0;b=1; case 4 fun=inline('x.*exp(x)');a=1;b=2;endif(Nb='T')%用复化梯形公式 promps='请输入用复化梯形公式应取的步长：' result=inputdlg(promps,'实验4.2',1,'0.01'); h=str2num(char(result); if(h<=0) errordlg('请输入正确的步长！'); return; end tic; N=floor(b-a)/h); dets

17、um=0; for i=1:N-1 xk=a+i*h; detsum=detsum+fun(xk); end t=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum)/2; time=toc; tendif(Nb='S')%用复化Simpson公式 promps='请输入用复化Simpson公式应取的步长：' result=inputdlg(promps,'实验4.2',1,'0.01'); h=str2num(char(result); if(h<=0) errordlg('请输入正确的步长！'); ret

18、urn; end tic; N=floor(b-a)/h); detsum_1=0; detsum_2=0; for i=1:N-1 xk_1=a+i*h; detsum_1=detsum_1+fun(xk_1); end for i=1:N xk_2=a+h*(2*i-1)/2; detsum_2=detsum_2+fun(xk_2); end t=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum_1+4*detsum_2)/6; time=toc; t endif(Nb='GL')%用复化Gauss_Legendre I %先根据复化Gauss_Legendre I公式的

19、余项估计步长 promps='请输入用复化Gauss_Legendre I 公式应取的步长：' result=inputdlg(promps,'实验4.2',1,'0.01'); h=str2num(char(result); if(h<=0) errordlg('请输入正确的步长!'); return; end tic; N=floor(b-a)/h);t=0; for k=0:N-1 xk=a+k*h+h/2; t=t+fun(xk-h/(2*sqrt(3)+fun(xk+h/(2*sqrt(3); end t=t*h/

20、2; time=toc; tendswitch Nb_f case 1 disp('精确解：ln2-ln3=-0.') disp('绝对误差：',num2str(abs(t+0.); disp('运行时间：',num2str(time); case 2 disp('精确解：pi=3.979') disp('绝对误差：',num2str(abs(t-pi); disp('运行时间：',num2str(time); case 3 disp('精确解：2/ln3=1.368') disp(

21、'绝对误差：',num2str(abs(t-1.368); disp('运行时间：',num2str(time); case 4 disp('精确解：e2=7.065') disp('绝对误差：',num2str(abs(t-7.065); disp('运行时间：',num2str(time);end 运行结果：当选用复化梯形公式时：（1）式运行结果为：t = -0.351精确解：ln2-ln3=-0.绝对误差：1.3944e-008运行时间：0.003（2）式运行结果为：t = 3.336精确解：pi=3.979绝对误差：3.9736e-008运行时间：0.005（3）式运行结果为：t = 1.861精确解：2/ln3=1.368绝对误差：4.3655e-008运行时间：0.016（4）式运行结果为：t = 7.610精确解：e2=7.065绝对误差：2.0775e-008运行时间：0.007当选用复化Simpson公式进行计算时（1）式运行结果为：t = -0.7519精确解：ln2-ln3=-0.绝对误差：2.7519e-011运行时间：0.022（2）式运行结