第16讲反比例函数及其应用

1、精品文档精品文档第16讲反比例函数及其应用一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。拉格朗日知识方法扫描如果两个变量y与z的关系可以表示成y=k（k为常数，xw。的形式，那x么称y是x的反比例函数.反比例函数y=k的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线。x反比例函数有下列性质：反比例函数y=k的图象中两支曲线都与x轴、y轴不相交；并且当k>O时,x在第一、第三象限内，函数值随自变量取值的增大而减小；当k<0时，在第二、第四象限内，函数值随自变量取值的增大而增大.经典例题解析2.一例1.（2006年广东省初中数学竞赛）如果函数y=kx2k的图象是双曲线,而

2、且在第二、四象限，那么k等于（）13(A)2(B)T(C)-2(D)1解.由题意，得2k2+k-2=-1,于是2k2+k-1=0,1因式分解得（k+1）（2k-1）=0,所以k=-1或k=12又双曲线的两支在第二、四象限内，k<0,所以k=-1,选（B）.例2.（2004年全国数学竞赛辽宁省预赛）如图，点P是x轴正半轴上的一1.一个动点，过点P做x轴的垂线PQ父双曲线y=于点Q,连结OQ,当点P向右运动时，RtzXQOP的面积（）A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定解设Q点坐标为（x,y）,则p QH y尸 y p O| Ax一 11Sop =2OPPQ =2xy。1一由于Q

3、点在双曲线y=q上，可得xy=1.1一因此，SOP=5.即RtzXQOP的面积不随P的运动而改变。故选Co例3.(2000年黄石市初中数学应用能力测试试题)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例，又当x=0.65时，y=0.8o(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?收益=用电量X(实际电价-成本价)k.02解(1)设丫=.当x=0.65时，y=0.8,.k=0.2.y=.x-0.

4、4x-0.4(2)根据题意，得(1+-0-)(x-0.3)=1(0.8-0.3)(1+2%).解得x一0.5,x2=0.6.x-0.4经检验均是方程的解，但:x的取值在0.550.75之间，只取x=0.6.例4.如图所示，己知反比例函数象经过点A(-邪,m)过点A作AB，xAOB的面积为33.(1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax+1和图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求AO:AC的值.解(1)vk<0,.点A(旧，m)在第二象限内。；m>0,OB=|73|=V3,AB=m.Saaob=-OBAB=-a/3m=V3,m=2.点A的坐标为A(-石，2)。22把A(-6,2)的

5、坐标代入y=k中，得2=己，k=2后-a=Z=3C。x-、3-v33.y =x 1.,I3一一令y=0,得-*x+1=0,«=73.点C的坐标为C(73,0)3.ABx轴于点B,.ABC为直角三角形。在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=22+(273)2,.AC=4在RtAABO中，由勾股定理，得AO=JaB2+BO2=J22+(T3)2=AO：AC=":4例5.(2006年第18届希望杯数学邀请赛试题)某医药研究所开发一种新药.成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图所示曲线.当每毫升血液中的含药量不少于

6、0.25毫克时，治疗有效.则服药一次治疗疾病有效的时间为()(A)16小时(B)157小时8解函数y=kt经过(1,4)点，所以k=4,于是y=kt,即y=4t.又(1,4)点在反比例函数y=m上，所以于是y=m，即y=4tt依题意可知，当每毫升血液中的含药量达到0.25毫克时，治疗才有效.0.251由y=4t,行t=416由此开始，到含药量少于0.25毫克时，药效停止，含药量不少于0.25毫克,一,4，一即当420.25时，得t<16t115所以服药一次治疗疾病有效的时间为16-=15(小时)。故选(C).1616例6.某单位为响应政发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11

7、米和矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD,该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁的费用为20元/平方米.新建(含装修)墙壁的费用为80元/平方米，设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房墙壁的总投入为y元.(1)求y与x的函数关系式；(2)为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足条件：8<x<12.当投入的资金为4800元，问利用旧墙壁的总长为多少米？解(1)根据题意，AB=x,ABBC=60,所以BC=",x6060目口60y=20X3x803x.即y=300x.xx.x当y=4800时有4800=300Ixxi=6, X2=10o都是原方

8、程的整理得x2-16x+60=0,解得xi=6,x2=10.经检验,根。由8<x<12,只取x=10.故可以利用旧墙壁的总长度为10+60=16米。10例7.如图，正方形OABC,ADEF的顶点A、标轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=3(x>O)的图象上，则点E的坐标是x().（A）（；,曰）（B）（一，F）©（三,；）（D）（三，一）解显然，B点的坐标为（1,1）,设AD=DE=a,则E（1+a,a）,（1+a）a=1,a2+a+1=5,即（a+g,a+1二”442422工曰5-1.5151.5-1、生人于是a=,a+1=，点E的坐标是（,）.选A2222例8

9、.(2007年全国初中数学竞赛试题)如图，点A,C都在函数y=3叵(x>0)的图象上，x点B,D都在x轴上，且使得zOAB,ABCD都是等边三角形，则点D的坐标为.解如图，分别过点A,C作x轴的垂线，垂足分别为E,F.设OE=a,BF=b,WJAE=岛,CF=4b,所以，点A,C的坐标为（a,石a）,（2a+b,百b）,所以於;3 a2 =3/ 3 ,3b （2 b） ,3 3 ,因此，点D的坐标为(276,0).同步训练一选择题1一1 .如果两点P(1,y1),P2(2,y2)都在反比例函数y=的图象上，那么()x(A)y2二y1：二0(B)小»00(C)y2y10(D)y1

10、y202 .(2007年全国初中数学联赛浙江省预赛试题)函数y=-工的图像大致形状是图中的()|x|3 .如图是三个反比例函数y=k1.y=k2.y=3在X轴上方的图象，那么仁卜2卜3X X X(A)ki>k2>k3(B)k2>k3>ki(C)k3>k2>ki(D)k3>ki>k24.函数y=kx+k与y=K在同一坐标系中的图象的大体位置是()x5. (2007年四川省初中数学联赛初二初赛试题)函数y=2x与y=18的图象交于A,B两点(其中，A在第一象限)，过A作ACx垂直于x轴,垂足为C,则4ABC的面积等于()二填空题6.如果函数(A)6(

11、B)9(C)12(D)18m-2一mm仔是y关于x的反比例函数，那么m的值是x47 .如图AOAP、&ABQ均是等腰直角二角形，点P、Q在函数y=(x>0)的图象x上，直角顶点AB均在x轴上，则点B的坐标为.8 .(2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题)若反比例函数y=-的图像与一次函数y=ax+b的图像交于点A(2,m)、xB(5,n),WJ3a+b的值等于.9 .在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系，当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少亿元。10 .(2004年

12、全国初中竞赛湖北预赛试题)如果一次函数y=mx+n与反比例函数y=3n二x的图象相交于点(；,2),那么该直线与双曲线的另一个交点为。三解答题k11 .如图，已知点(1,3)在函数y=L(x>0)的图象上，矩形ABCD的边BC在xxk轴上，E是对角线BD的中点，函数y=(x>0)又经过A,E两点，点E的横坐x标为m.(1)求k值；(2)求点C的横坐标(用m表示)；(3)当/ABD=45。时，求m的值。12 .如图所示，己知直线yi=x+m与x轴、y轴分别交于点yA、B,与双曲线y2=：(x<0)分别交于点C、D且点C的坐标另®为(-1,2)守'一(1)分别求

13、出直线AB及双曲线的解析式；(2)求出D点的坐标；(3)利用图象直接写出当x在什么范围内取值时y1>y2.13 .为了预防非典”，具学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题:分钟后，学生才能回到教室;(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于16毫克时学生方可进教室,x的取值范围那么从消毒开始，至少需要经过(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟

14、时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？14 .直线y=x+m与双曲线y=m在第一象限相交点xA,AB，x轴，垂足为B,Saaob=3.求m的值；设直线y=x+m与x轴交于点C,求点C的坐标；求Saabc.15.“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角”,下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图所示)：将给1定的锐角/AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=的图x象交于点R,分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M,连结OM得到/MOB,则/MOB=1/AOB,要明白帕普斯方法，请研究以下问题；3、一1

15、1设P(a,-),R(b,-),求直线OM对应的函数表达式(用含a,b的代数式表小.)ab分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q,请说明Q点在直线OM上，并据此证明/MOB=1/AOB.3(3)应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角(用文字简要说明)*同步训练题参考答案1. D2. D当x>0时，y=-1图像在第四象限；当x<0时，y=1图像在第三象限xx3. C4. D双曲线y=k在一、三象限，k>0,那么y=kx+k中，当k>0时，直线上升且在yx轴上的截距为正.所以选(D);5. D1y=2x,联立方程组18解得A(3,6),B(-3,-6)，

16、故C(3,0),所以y=一.x-1,/、Saabc=->>(3-(-3)=186. -27. .5-18. 0.km=-因为点A(2,m)、B(5,n)在反比例函数的图像上，得，2,又因为点A(一kn=5一,mm-2ab2,m)、B(5,n)在正比例函数y=ax+b的图像上，得.n=5abk- 2a b 二J k5a b 二 5ko,a得10,解得b=-3a,所以3a+b=0h3kb=109. 35010. 4-12=-mn,gz是y=mx+n与y =创二x的图象的交点，.m = 3,1 n =.223n-1，解得2-'-2.2-1.231 x-x则两个函数的表达式为y=3

17、x+1,y=.再解方程组2 xC1y=3x+1'3得xy=2.Lx1x2一，/1=2,15即直线与双曲线的另一个交点是(-1,-5).【yn211.(1)3;(2)2m;(3).612.(1)二.点C(-1,2)在直线y=x+m上，2=-1+m,m=3,则直线AB的解析式为y=x+3.,.k.又点C(-1,2)在双曲线y2=-±,x.k=-2.；双曲线的解析式为-2y=x2,y=_2,(2)由yx,y=x3.俨2二一2,；D点的坐标为(y2-1.-2,1)。(3)根据图象可得：当-2<x<-1时,“小3cC13.(1)y=x,0二x_8,4y1>y2.483

18、0;(3)此次消毒有效，因把y=3分别代入y='x、y=48，求得x=4和16,而4x16-4=12>10,即空气中的含药量不低于3毫克/m3的持续时间为12分钟，大于10分钟的有效消毒时间.14.设A坐标为(x,x+m).S；Aaob=：OBXBA.13x(xm)2mxm=一xf2,ccx+mx-6=02m=6xmx=m二.直线与x轴交于点C.把y=0代入y=x+6得x=-6,点C的坐标是(6,0)二,直线y=x+m与双曲线y=m在第一象限相交点A,x即点A的坐标是( 3+715, 3+715).y=X+6r八r解方程组66，得;x十或5y=-y=3.15x.BC=-6+|-3+V15|=3+v15SABC=1(3+715)(3+715)=12+3屈.15. (1)设直线OM的函数关系式为y=kx,PRbI：则M%,1I,a.ba1 1，一一，一一1.k=一。直