第2讲参数方程

1、精品文档第2讲参数方程【2013年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题.【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.AjKAOJIZIZHUDAOKUE-01"考基自主导学基础梳理1 .参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y都是某个变量的函数并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M（x, y）都在这条曲精品文档线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，

2、直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2 .常见曲线的参数方程的一般形式x=xo+tcos.经过点P0（x0,y0）,倾斜角为a的直线的参数方程为,"：一（t为参L_y=y0+tsina数）.设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量.x=rcos8,（2）圆的参数方程i.（8为参数）.ly=rsin。（3）圆锥曲线的参数方程22椭圆上第=1 的参数方程为x=acos_J, y=bsin 9（8为参数）.双曲线?一上= 1的参数方程为 a bx= asec 小 y= tan（|）（小为参数）.2'x=2pt,抛物线y2=2px的参数方程为（t为参数）.y=2pt双

3、基自测x=-1t,1 .极坐标方程P=cos8和参数方程<c,（t为参数）所表示的图形分别.y=2+t是（）.A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线解析:pcos仁x,cos仁x代入到p=cos9,得p=x,：=x,.x2+y2=x<p1.p,示圆.x=-1T,又J相加得x+y=1,表小直线.y=2+t,答案D'x=1-2t,2 .若直线2+3t（t为实数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=x=12t,解析参数方程彳所表示的直线方程为3x+2y=7,由此直线与直线!y=2+3t,34-4x+ky=1垂直可得一2xJkJ=1,解得k=6.答案6x=5cos0.3.

4、 二次曲线八（8是参数）的左焦点的坐标是y=3sin0解析题中二次曲线白普通方程为7L+y=1左焦点为（一4,0）.259答案（4,0）4. （2011广州调研）已知直线l的参数方程为："2t'（t为参数），圆C的极N=1+4t坐标方程为p=2V2sin8,则直线l与圆C的位置关系为.x=2t,解析将直线l的参数方程：彳化为普通方程得，v=1+2x,圆-26、y=1+4tsin8的直角坐标方程为x2+（y-V2）2=2,圆心（0,，2）到直线y=1+2x的距离2 1为一L，因为该距离小于圆的半径，所以直线1与圆C相交.A/1+4答案相交x=x/5cos0.5. (2011广东

5、)已知两曲线参数方程分别为(008<nt和y=sin0/x=t2,4(tCR),它们的交点坐标为.y=tx=a/5cos9,x22：x=：t2,解析由S(0<o<ntW,5+y=1(y>0)由4(tCR)得,y=sin9gtx=5y2,.-5y4+16y2-16=0.解得：y2=：或y2=4(舍去).5则x=，y2=1又0>0,得交点坐标为J,5JKAQXIANGTANJIUgAQXF*02”考向探究导析研析奢向：案例究携考向一参数方程与普通方程的互化【例u?把下列参数方程化为普通方程：1x=3+cos0,x1+2t?（1）JV_2/任（2）S旷2"也、

6、=5+,审题视点(1)利用平方关系消参数9;代入消元法消去t.解(1)由已知Fos°x3'由三角恒等式cos29+sin2仁1,、sin42y,可知(x3)2+(y2)2=1,这就是它的普通方程.3(2)由已知t=2x2,代入y=5+老t中，得y=5+乎(2x-2),即3xy+5淄=0就是它的普通方程.方法总结”参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.fX=cosa,【训练1】(2010陕西)参数方程/彳.(a

7、为参数)化成普通方程为y=1+sinax= cos 的y 1 = sin a,X=cosa,解析由y=1+sina,，2得：x2+(y-1)2=1.答案x2+(y1)2=1考向二直线与圆的参数方程的应用【例2】？已知圆C: 4x= 1 + cos 0, y= sin 0(8为参数)和直线1:4x= 2+tcos a, （其、Z=3 + tsin a中t为参数，a为直线1的倾斜角).当a=,求圆上的点到直线1距离的最小值;当直线1与圆C有公共点时，求a的取值范围.审题视点(1)求圆心到直线1的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆t的一元二次的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代

8、入得关于参数方程，这个方程的A>0.解当a=凯，直线l的直角坐标方程为<3x+y3/3=0,圆C的圆心坐标为（1,0）,圆心到直线的距离d=¥=J3,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为V3-1.（2）圆C的直角坐标方程为（x1）2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosa+43sin娟+3=0,这个关于t的一元二次方程有解，故A=4（cosa+V3sin）12>0,贝Usin21a+6卜3,即sina+。>岑或sina+6卜坐又0<a<tt,故只能sina+6i>杀即30叶6c即6c口弓方法总结如果

9、问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程.x=1+1,【训练2】已知直线l的参数方程为（参数teR）,圆C的参数方程1=42t"X=2cos0+2,为|c.（参数钱0,2冗,）求直线l被圆C所截得的弦长.y=2sin0x=1+1,解由消参数后得普通方程为2x+y6=0,Q=4-2t由2cos"2，消参数后得普通方程为（x2）2+y2=4,显然圆心坐标为y=2sin0（2,0）,半径为2.由于圆心到直线2x+y-6=0的距离为d=隆:|*；6|二誉,所以所求弦长为222父乙8/.考向三圆锥曲线的参数方程的应用2【例3？求经过点（1,1）,倾斜角为135

10、。的直线截椭圆x4+y2=1所得的弦长.审题视点把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决.由条件可知直线的参数方程是卜=1乎3y=1+*t(t为参数)，代入椭圆方程可即5t2+3应t+1=0.设方程的两实根分别为tl、t2,则由二次方程的根与系数的关系可得2 tlt2 = g,tl + t2= 一则直线截椭圆的弦长是|tl t2| = y(tl +t2 2 4tit2 =方逢总结乃普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t,先确定一个关系x=f(t)(或v=M),再代入普通方程F(x,y)=0,求得另一关系y=归)(或x=

11、f(t).一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标).普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样.【训练3】(2011南京模拟)过点P(3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线,1x=t+t,(.(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长.33/3x=-3+s，解直线的参数方程为（s为参数），iy=2six=t+l，又曲线（t为参数）可以化为x2y2=4,将直线的参数方程代入上式，1y"得s2-6/3s+10=0,设A、B对应的参数分别为si,葭.$+&=6，3,ss2=10.；AB|=siS2|=（si+

12、S224SlS2=217.113A考题专项突破才.展示！名鼻遭俄如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题.【示例】？（本题满分10分）（2011新课标全国）在直角坐标系xOy中，曲线Ci的X=2COSa,参数方程为/2+2.（。为参数）M是C1上的动点，P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2.求C2的方程；.一.兀,，一.，一在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线仁马与C1的异于极3点的交点为A,与C2的异

13、于极点的交点为B,求|AB|.星笨室破“第（1）问：利用代入法；第（2）问把曲线C1、曲线C2均用极坐标表示，冗、.再求射线8=3与曲线C1、C2的父点A、B的极径即可.3解答示范（1）设P（x,y）,则由条件知M*yjx2 = 2cos a, 由于M点在Ci上，所以I y = 2+2sin 2即x=4cos a,、y=4 + 4sin a'x=4cosa,从而C2的参数方程为i（a为参数）.（5分）y=4+4sina曲线Ci的极坐标方程为尸4sin9,曲线C2的极坐标方程为-8sinQ.一万，=、，_.万射线43与Ci的父点A的极径为pi=4sin3,射线43与C2的父点B的极径为&=8sin3.所以AB|=|母一仍|=2吸.（10分）所旦口很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化