等差数列与等比数列的证明方法

1、等差数列与等比数列的证明方法等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学XX、反证法。一、定义法.证明数列是等差数列的充要条件的方法：an+-an=d（常数）u<an是等差数列a2n+2一a2n=d（常数）ua2n是等差数列a3n均-a3n=d（常数）uta3n是等差数列.证明数列是等差数列的充分条件的方法：an-an-=d（n至2）=（a是等差数列an由-an=an-an_i（n22）=匕门是等差数列.证明数列是等比数列的充要条件的方法：曳士=49#

2、0且为常数，ai#0）uan为等比数列an.证明数列是等比数列的充要条件的方法：（n>2,为常数且#0）注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比XX一样有：时，有（常数）；时，有（常数）.例1.设数列中的每一项都不为0等差数列与等比数列的证明方法证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有O证明：先证必要性设为等差数列，公差为d,则当=0时，显然命题成立当?0时，an1On2aian2aiani等差数列与等比数列的证明方法两边同以得：同理：一得：即：为等差数列例2.设数列的前n项和为，试证为等差数列的充要条件是。证：）若为等差数列，则故2Sn=

3、（aan）（a2an工）（ana1）n（aian）Sn-2（）当n>2时，由题设，所以同理有从而整理得：an+1an=anan1,对任意n>2成立.从而an是等差数列.例3.已知数列是等比数列（），是其前n项的和，则，仍成等比数列等差数列与等比数列的证明方法证明一：(1)当q=1时，结论显然成立;(2)当ql时,2kkkkS2k - SkS3k - S2ka1-qai1-qaq1-q1-q1-q1-q3k2k2kka11-qa1-q_aq1-q1-q1-q1-q2 2kk 22 aq 1 -qS2k -Sk=(1.q)2Ska1 1 - qk(S3k -S2k)1-q2kk2 2k

4、k 2aq1-q _ a q 1-q一21-q(1-q)成等比数列.证明二：=-同理，一=：成等比数歹限、中项法 1） .(充要条件)若(注：三个数为等差数列的充要条件是:)（充分条件）2（）是等差数列， 2） 2）.（充要条件）若是等比数列（充分条件）（n>1）是等比数列，注:是a、b、c等比数列的充分不必要条件是a、b、c等比数列的必要不充分条件.是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个三、通项公式与前项和法1. 通项公式法（1） .若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列。（充要条件）（2） .xx项能表

5、示成（均为不为0的常数，）的形式，则数列是等比数列（充要条件）2. 前项和法（1） .若数列的前项和Sn能表示成（a,b为常数）的形式，则数列是等差数列；（充要条件）（2） .若Sn能表示成（均为不等于0的常数且q?1）的形式，则数列是公比不为1的等比数列（充要条件）四、归纳猜想-数学归纳证明法先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学xx给出证明。这种方法关键在于猜想要正确，用数学xx证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡五、反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑六、等差数列与等比数列的一些常规结论若数列是公比为的等比数列，则（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；2）若是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；（ 3）数列是公比为的等比数列；（ 4）是公比为的等比数列；（ 5）在数列中，每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为；（ 6）若成等差数列时，成等比数列；（ 7）均不为零时，则成等比数列；（ 8）若是一个等差数列，则正项数列是一个等比数列若数列是公差为等差数列，则（ 1）成等差数列，公差为（其中是实常数）；（ 2），（为常