等差数列前n项和(第二课时)教(学)案

1、§2.3.2等差数列的前n项和(第二课时)(人教A版必修5)【教学目标】1 .知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究&的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.2 .过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.3 .情感、态度与价值观：提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生

2、热爱数学的情感.【教学重点】等差数列前n项和公式的掌握与应用.教教学难点】灵活应用求和公式解决问题.【教辅手段】多媒体投影仪、黑板【教学过程】I.情景设置一温故知新首先，回顾上一节所学的容：(1)等差数列的前n项和公式1:Snna1an2(2)等差数列的前n项和公式2:&na1nn1d2H.新知探究1 .等差数列的等价条件例1:已知数列an的前n项和Snn21n,求(1)SnSn1(n2).(2)求这个数列的通项公式.(3)这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.设计意图本例题实际上给出了数列前n项和公式判别是否是

3、等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n项是一个常数项为0的关于n的二次型函数.接下来，我们来完成一探究题2如果一个数列an的前n项和为Snpnqnr.其中p、q、r为常数，且p0,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？2八解：由Snpnqnr得§aipqrSi(n1)_Snpn2qnran_，一SnSni(n2).22n2时anSnSni(pnqnr)p(n1)q(n1)r2pn(pq)pqr(ni)an2pn(pq)(n2).danani2pn(pq)2p(ni)(pq)2p此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列an为等差数列，则2pi(pq)p

4、qr,即r0.设计意图本探究实际上是对例i的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n项公式是一个常数项为0的关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.2.等差数列的最值问题24例2:已知等差数列5,42,34,L的前n项和为Sn,求使得与最大的序号n77的值Snnain(ddn2(aid)n分析：等差数列的前n项和公式可以写成222所以可以看成函数ydx2adx,xN*,当xn时的函数值.另一22方面，容易知道与关于n的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值.24一5解：由题意知，等差数列5,42,3-,L的公差为5所以7

5、77cn5Sn25n12775n5n21425151125n-14256当n取与15最接近的整数即为7或8时Sn取最大值.2设计意图通过学习等差数列前n项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。例3:等差数列an中，&0,S9S2求使得Sn最小的序号n的值?解法一（同例2的解法一样，在此可以带过即可）：981211由&S2得9ald12a1d12121因此3&30d则da10Qa0则d01121/d212212/Snn42nn1d2dndn-nd由以上条件知Sn有最小值.又QnN,则n=10或11时Sn取最小值，最小值为55d.即S0S155d1解法二

6、：由解法一知da10而a1010则数列an为递增数列.令an0即a1(n1)d0an10a1nd01 V(n 1) 01右n 010 n 11.1ai(n1)1(0a101a1n10a10数列白前10项均为负值&i =0.从第12项开始为正值.n=10或n=11时Sn取最小值.解法三：QS9S2a10a11a1203a110即a110又Qa0则数列an为递增数列.数列的前10项均为负值，a11=0.从第12项开始为正值.当n=10或11是sn取最小值.设计意图本例是对例2的深化，通过一般的求最值方法，引导学生思考用简单的方法来解决同样的问题，达到数学浅入深出的学习效果。3.等差数列前n

7、项和的性质例4:已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和，求证&,Si2S6,S18S12也成等差数列，设kN,Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列吗？解法一：由S66a115d,S1212a166d,S1818a1153d,可得S6(S18S12)2(S12S6).S12S6a7a8a9a10a11a12解法二：a16da26da66da1a2a636dS636d.同理可得：S18S12S672d.S6(S18S12)2(S12S6).(k的情况也类似，在此省略)设计意图本例是要求学生通过自己做题来得出结论的，但是为了学生能更好的理解这个结论并且应用这个结论，在本节课加了这个例题

8、，希望可以减轻学生课后的负担。例5：(备用例题，时间允许可在课堂上讲解)若两个数列an和bn的前n项和A和Bn满足关系式总工76N），求日（分析：条件是前n项和的比值，而结论是通项的比值，所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值，恰当的应用等差公式可以简化解题过程.）解：由等差数列性质:an bna1 a2n 1(2 n 1 )(ai a2n 1)A2n 1(2n 1)(bi b2n i)B2n17(2n1) 14(2n 1) 2714n 68n 23设计意图本例题对于初学者来说解答比较困难，若果让学生自行解答比较吃力，在这里加了讲解，希望对学生有所帮助。【归纳提升】1 .等差数列的等价条件

9、2若一个数列为等差数列，则SAnBnC中的C必为0,A、B为任意常数.反之也成立.2 .求等差数列前n项和Sn的最值有两种方法第一种：根据项的正负来定右a1 00则数列的所有正数项之和最大,若 a1 0 ,0则数列的所有负数项之和最小.第二种:na12n2Ud2a1 2.2a1d 222d由二次函数的最大，小值知识及nN*知.当n取接近于1史的正整数时，sn2d取最大值(或最小值)值得注意的是接近1史的正整数有时1个，有时2个.2d3.等差数列前n项和的性质若数列an是等差数列，Sn是其前n项和，设nN,Sn§nSn,33nS2n,也成等差数列.设计意图总结是为了让学生明白本节课的重

10、难点在哪，同时使学生回顾本节课的知识点，达到复习加总结的效果。【即时体验】问题1.等差数列an中，a415,d3,求数列an的前n项和Sn的最小值.分析：利用归纳的2种解题方法进行求解：将Sn表示成关于n的一元二次函数的最值求解.确定数列中负值的个数，由所有项之和最小求解.解答过程略.问题2:已知等差数列an的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为多少？解：S0，S20S10，S30S20，S110S100，成等差数列，设其公差为D,又首项为§0100,前10项的和为S1001010910010D10,D22.2又S10§00§010DS1101

11、001010(22)110.问题3:若两个等差数列的前n项和之比是(3n1):(6n2),试求它们的第11项之比.分析：同例3同题型，问题转化为具体的项之比，题目更简单化，解答过程在此处省略.设计意图及时巩固，让学生活学活用，直接应用本节课所学的知识点来解决数学问题。达到加深理解的学习效果。八、课后延续P46习题2.3.A组第3题；P47习题2.3.B组第4题设计意图课后作业可以让学生加深本节课的认识，同时不忘记巩固。九、板书设计课题一、复习一例1二探究分析三例2分析四例3分析二、探究题归纳总结三、最值问题归纳四、等差数列性质十、备用问题（高考题）：【2010年高考卷理3】设等差数列an的前n项和为Sn,若ai=-11