第4章一元函数积分学

1、精品文档第4章一元函数积分学精品文档典型例题解析dx1ex解法x x1 e -e1 exdx =d 1ex1 exx=x - In 1 e C1斛法一令1+e=t,x=ln(t1),dx=-dtdxdt11t-1l-/xc=-dt=lnC=x-ln1eC1extt-1t-1t|t|解法三令 ex =t,dx =1 dttdx1ex=x - ln 1exCdxe=dxd11e解法四=f-=-=ln1e)+C=xln(1+e)+C1e4 x2 11e“1edxx4x解法二 （倒代换）令 1=t,dx =1解法1ABCDExF-=一+=+3+4+2,通分，比较两边有,422342xx1xxxxx1A

2、=B=E=0,B=1,D=F=1,dxx4x2111二-dxdxdx1-3arctanxC3x3Fdt，dxt4t21t-J?J2dt1t2t2出=t213-11八二一-tt-arctantC1二一-一-3arctanxC3x3x斛法二令x=tant,一-<x<,dx=sectdt,22dxx4x21sectdt一I742tantsect4.=cottdt=cot2tcot2tdt:jcsc2t7cot2tdt9.9.9.9.9.9.=csctcott一cottdt-cottdcott11csct_1dt1.3,=-cottcotttC=-3x-3x3arctanxC不难看出，用部

3、分分式法积分繁琐，采用倒代换较简单。dx1sinx解法（万能代换）令二tan士sinx;且dx2dt22dt1t2,dx=2dt1t21sinx12tt2C-1t1tan-x注三角函数有理式都可以通过万能代换法,化为有理函数的积分。般情况下，积分都较繁琐,尽量先考虑其它方法。万能代换法的一般方法:x令t=tan2,2dtdx=以2tsinx=21t1-t2,cosx=21t解法dxdx1sinxsin"cos)22dx2x2dtan-21tan-x解法三dxdx1sinxsinsinx2dxx2八tan-1cos一dxxtan-12(JI2cos-一-sinI-42422fx2sin

4、I42sin2三242二-cot42、dx1-sinxdx解法四21sinxcosxdxsinxdx,dcosx22-=tanx2-cosxcosxcosx=tanxCcosxdl_xdx=_4212冗x'2/nx-cos-cos-2142)142解法五dx1sinxdx(ji1cos-x一二x_-tan42x1-xdx1x令x=sint,-:二X:二,dx=dsint=costdt=sintx1-xdx1xjintcostdt)1sintsint1-sintcostdtcost2.=sintdt-sintdt-cost-1一cos2t11.-costtsin2tC222注此题如按常规

5、令1-x1x=t，21-t21t2一t21dt二类似的题目，,1x1xdx,1x,11八dt-costtsin2tC22arcsinx+71-x2+C2,4t加dx=-2dt,2t214t2t2-123t21dt,再用用部分分式法积分,除可令x=sint外，太繁琐。4tdx=-2dt22t211t21-tt工出t21也可令1-"tx二1t二一22dt1-t2t211-t2-t21=2一1-t2t211dt-22dt=2arctantIn1-t2=2arctanJ1-x+ln1xxxeex-1dx1-X.11x1-x11x解法一（先分部，再换元）xxe.-dxex-1d(eX-1)=2

6、.xd(ex-1)=2xex-1-2ex-1dx令u-Je 1,2注 将分子凑出分母的导数，再拆项。一 , x2例8求而dx1 -x_1,则dx=2u2dui1+uu2 1-1*=2x、ex1一一4u2du=2x.ex11u=2x.ex-1-4、,ex-14arctanex-1Cdx = -2u2 du ,1 u2解法二（先换元，再分部）xexdx.ex -1(1 u2)ln(1 u2)令u=<e-1，则x=ln(1+u2),2u2du=2ln(1u2)du=2uln(1u2)1u2u2.-42du=2uln(1u)-4u4arctanuC1u=2xex-1-4ex-14arctan.e

7、x-1C1sinxx例6edx1cosxxx2sincos1sinxx1x22xxxxx斛edx=edx22edx=edtan-tan-de1cosx2x2x222cos-2cos一22x.xxx=etan-tan-detan-de=etan-C2222注此题利用了Judv+fvdu=uv+C。又如f-snxdx=Jxdtan-+ftan-dx1cosx22xe2sin2xxxx=xtan+C。又如2x=(2edtanx+2tanxde=2etanx+C2cosx一x-2例72xdxx22x3解原式3(2x2)-3x22x3dx2_1d(x2x3)d(x1)3-3222x2x3(x1)(、2)

8、12 .,=Tn x +2x+32arctan2x100dx =1-x2x -1 1dx -100 xx-12x-12x-11100dxx-1.98_99100=x-1dx-12x-1dx-1|，iix-1dx-1,-1x-1-马x-1-x-1邹C979899注对有理函数的积分，将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行，但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法。ln x例 92-dxx初 l nx1斛J-dx = - In xdxx例 10arctandxel nxx1, In x d In x =xxix'dx =l nx 1 Cxa r c t aenx dxearc

9、tan exx 2ex. arctanex , x e dx =2 deex-a rct aend 口 e, xxarctane 1 , x arctane；d arctane =-x. xxe ee1x2xe 1 edexarctanexxe/1ex<ex 1 +e2xdexarctan exxex-1, 2x 2xdearctane1,2xC二x-ln1eCex2注例9和例10用到了一个有用的公式：Judv=-ud1=-1+包。适用于被积表达式vvvv为商的形式，其分母为某一函数的的二次式，而分子为此函数的微分与另一函数的乘积。如果分arcuinax母不是二次式，有的可通过适当的变换

10、化为二次式，再用之。例12产sin，dx（2006ex年考研数学2）解法3利用了这个公式。下面的例11也利用了这个公式，比用有理函数积分法简单。一x2例112dx1 x2x212dx 二一1 x22-td 1 x2 - -1. x d 1 x211 x2_ 1 x21 x2dx注与例11类似的题目有4x33x-2,1dx=4x3d2x-214x32x-21.c2d4x3-214x32dx424=4In1x一例12-xarcsine44d1x4=-x4d1x4C1=11n1x4dx【2006年考研数学2x解法一令arcsine=t,x=lnsint,xarcsinedx二tcostsintsin

11、tdt-td解法sint+lncsct-cott+C一一一一xarcsineIn1-1-e2x一一一_xarcsen1x41-e2x1x1-e2x1x41x4%dx4-xarcsinedx解法三costdx=dtsintsintxarcsineInsintsintdt11-e2x-xCdx=-arcserde1-t2dt=-1In2-xarcsine一一一一xarcsine一一一一xarcsine1-t1-txarcsenn2dx二C-1ln21；1一e2x1-12xe一一一一xarcsineexdx二一一一一xarcsine1x-darcsineexarcsine1.+-.dx,2x1-e1

12、,寸1-e2x1-；1-e2x-xarcsinede+ln12xex2xe1-edxx1arcsinedxexarcsine_ex12x-edx-xarcsine(e")2-1de_一一一一xarcsine-lne-x+(e)-1+Cxarcsine-In1.j-e2x例13xelnj1I1xdxxxarcsine+ln1-，1-e2xxC【2009年考研数学2,数学3】1xx1X="2t-11dx=d2-1xx=iln1tdI,t2-1解令ln1tln1tt2-11，,"ln1ttfdtln1t=1一=xln4(t-1)t2-1t-14t12t141n=xln例

13、14求极限(2)n21n22n1n222nn(3)limJf1-f2111fn1-lf51，其中f(x)=e"5,<n)eJ<nJW(4)2n22n2nncoscos一cos一lim：+/+川J1.2.nn+n+n+一nnn(1)1lim：91一+；-,c2222,nnIIPdxln1x2(2)(4)limn+12,Tn+nJ=limn：二limn二12in1n2n1=limlimn一/：nn一1：n1二limn:二n(3)limnn-.：-dx2=一o1x2422fI-fI-InJInJ2cosIHl"flim/E7n-：-ln=limen:f1ndx=lim

14、e01x=2n：JT1cos2ni1_nn2-n+Illcos2更1nnJ2二cos一nn1limn二11-lne1xdxe022二cosnn22限cos一IHn,nn2冗1<cos一十cosInn1i,2n二,一|cosnn1'n2二122二12n二limcos2cos2一-|cos2一n-、nnnnn1-icos2二xdxo11+cos2nXdx_1+102X-2471sin2nx12'利用夹逼准则可知,2兀cos一limn-n_-11n-n22二cos2n-no2cosn二12sin x1t1tdt例15求极限limx.0sinx0t1t1tdtFtlimx)0xs

15、dt=limx.01sinxsinxsinx例161lim1sinxsinxx40limx>0sinxe4dt1fx0Tx-dx1fx1_11x2|ddx=2f(x)dTx>=t2f(x)dk2|ee'dtdx0Jx。0_分部积分有,Lx1x11x_t221|e"dtdx=2xje4dt-2fxdfe"dt0J1-100112=-2xe'dx=.0122一x2xed-x=e,0-1.二e-1此题也可以用第6章中的二重积分的方法解决。_1d . x x = t 2 f x2 dx u01 | x _OyWdx1fx1-dx=2fx0%x0112=一

16、2J|fe-ydydx,交换积分次序有,01x-1221.:-2(ye-ydy=e_y=e_100adx例17计算I=fdx-0-22xa-x解法一令x=asintdx=acostdta costdta sin t a costcostdt工20二二sintcoscostsin4422.-2"2costdt,I.nsinit一4JT)cosu-tdusinusinucosu,dusinu-Jnsin u2 costdtsin t cost再令2 costdt)sin t costsin udusin tdtsin u cosusin t cost两式相加，2I7 sin t cost

17、 ,2dt0 sin t costji-0dxx a2 -x2ino4Tl4角系法二令x=asintdx=acostdt解法三令x=asintdx=acostdtI2- costdt0 sin t cost万:cost0。sin t 厂sin t cost )-cost sin t costdtcost -sin tsint costdt弓 sint c0st dt- jos出 )sint cost 0 sint cost；132dsintcosti2dt-I0sintcost0=Insint+cost兀qrloTIadxI=0x二a21x2JIo4解法四令x=asintdx=acostdtd

18、x2 costdtx v a2 - x20 sin t cost1 2(costsint)+(sint + cost %t2 0sin t cost1 2 cost -sin t2 0 sint cost1 sin t costsin t costdtsin t costd sint cost g 02dt =ln sint +costJIo4例18设f(x)是单调可导函数，f/(x>F(x)分别是它的反函数和原函数，证明:jf(x)dxwf(x)-Ff(x)1+C。证Jf,(x)dxxf(xdf)1x因为x=f,f,(x)I,所以f1xdx=xf1x).ixd|fJx=xf/xi-!f

19、|f,xd|f'x：l=xfJx-F|fJx,-C22例19设平面图形a由x+y<2x与y至x所确定，求图形a绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。解 选x为积分变量,I图4-2x,xdx1,旋转体相应于该小区间上的薄圆筒的体积近似于一个长，dx,J2xx2x的长方体的体积(长2n(2-x)可视为半径为2-x2x-x2-x)dx1hV=2二。(2-x)(2x-x以4-x为曲边，y =3为底，夹在两平行直线 x =1,x = 2之间的曲边梯形，绕 y=3的旋转体x)dx=若选y为积分变量，则12-1212122V=二,012一(1一、1-y)dy一二0(2-y)dy-：23(将该旋

20、转体体积可视为两个曲边梯形绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积之差。一个曲边梯形的曲边是x=1_,1_y2，底是x=2,两条平行直线是y=0和y=1,另一个曲边梯形的曲边是x=y,底是x=2,两条平行直线是y=0和y=1。)=2,.例20求曲线y=3-x-1与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转得的旋转体体积。【1994年考研数学1】图4-3解利用对称性，在第一象限2x2+20WxW1y=,故旋转体体积为、4-x21<x422.一12V二二34-20二3-(x22)2dx-23-(4-x2)2dx122448=36-2二(1-x)dx=015212汪兀3-4是圆柱体的体积，”3(x2+2)

21、2dx是看作以x+2为曲边，y=3为底，2夹在两平行直线x=0,x=1之间的曲边梯形，绕y=3的旋转体体积，(冗3(4x2)2dx作体积。图4-4-x+2所围三角形绕y=x旋转所得的旋转体体积。解法1旋转体是高为J2,底半径为的圆锥,3£/2=227'2-：解法2（微元法）_i2设P(x,y)为直线y=2x,x=0,-上一点,13JPM±x轴，PR，直线y=x+2,交x轴于N,OM图4-5MN二PM=y，设OR=u,则RN=u,在直角三角形ORN中,2x-xdV=n22一dux23.222dx=_2_ J2n272,321xdx=43错解见图4-6,dV=二图4-6

22、2-2x-xdu=J2dx,dV=冗3x2dx，二1x023以上错误很迷惑人2x-xdu中的x在直线2-duI2二究其原因=nx2dx,2du=J2dx中y=2x上变化，应统一在直线注2以上错误时而在流行的课件或流行考研参考书中出现。以下内容（包括题目，图和解）选自国内一流行教材的课件（的x在直线y=x上变化，y=2x上变化。PPT）。其解是错的。求由y=2x与y=4x-x2所围区域绕y=2x旋转所得旋转体体积。解：曲线与直线的交点坐标为A（2,4）,曲线上任一点P（x,4x2、x2）到直线y=2x的距离为x2-2x以y=2x为数轴u（如图）,则dV-二：-'2du(du=5dx)=二

23、T(x2-2x)25dx故所求旋转体体积为V=二：*x2-2x)2.5dx图4-7图4-8解的过程中，du =，5dx是错误的。正确的是1一du=(94xdx。.5设曲线上任一点P(x,y),PQx轴，PSOA交x轴于R,则PQ=y,OQ=x,QR=2PQ=2y,设OS=u,则RS=2u,在直角三角形OSR中，(x+2yj=u2+(2u2,(x+8x-2x22=5u2,9x-2x2=v15u,du=-(9-4xdxo5注3设曲线y=f(x)在直线y=kx+b(k>0)上方，则对应于区间Q,b】上曲线y=f(x)绕直线y=kx+b(ka0)旋转一周所得旋转体的体积为J If (x) -kx

24、 -b 2 ,z衍十七fxi)例22已知f(x)满足方程1cf(x)=3x-7l-x|of(xdx,求f(x)。解设jf2(xdx=C,则f(x)=3x-C，1-x2,两边平方并积分，得jf2(x)dx=j(3xCjlx2:dx,12即(3x-CV1-x2)dx=C,13x26C/1x2+C2(1x2)dx=C,3-2C2C2=C,3一一3解得C=3或C=士，2f(x)=3x-3,1-x2或f(x)=3x311x2。注此题解法中关键利用了定积分是个常数。类似的题目均可以如此处理。参见本章学习效果测试填空题(4)。另外，在多元函数中也有类似题目，见第6章学习效果测试选择题(6)x2例23设函数f

25、(x)=(ln(2+t)dt则f'(x)的零点个数()A0B1C2D3【2008年考研数学1】分析f(x)=ln(2x2)L2x=2xln(2x2)f"(x)=2ln(2+x2)+/x=：0,恒大于0,所以f'(x)在(,收)上是单调递增的.2x又因为f(0)=0,根据其单调性可知f'(x)只有一个零点.a例24曲线方程为y=f(x)函数在区间0,a上有连续导数，则定积分oxf'(x)dx()(A)曲边梯形ABCD面积.(B)梯形ABCD面积.(C )曲边三角形ACD面积.(D) 三角形ACD面积.【2008年考研数学2】aaaa分析：gxf(x)dx

26、=(xdf(x)=af(a)-f(x)dx,其中af(a)是矩形面积，j0f(x)dx为曲边a梯形的面积，所以xxf'(x)dx为曲边三角形的面积。例25求积分1xarcsinxdx【2008年考研数学2】0；1-x21 xarcsinx5sintt-斛法1令x=sint,则一,dx=2costdt0.1,x20costZ田2tn=sinttdt=-tdcost二一|tcos隼一(costdt=J。2costdt=sint口=1解法21 xarcsin xd x = - arcsin x d . 1 - x2 0=-V1-X2 arcsinx + f 41 -x2 d arcsin x

27、o %1=00dx=1行*is£insin孕qn上sin呼：例26求I=lim+7+r【1998年考研数学1】fn+1n+3n+L解将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：n_nkn1Jsin?kn1Zsin-<Zn<Zsin-,n1kannn1nn.nk二112n2已知limZsin一=Jsinnxdx=,lim=1利用夹逼准则可知I=一nT)kmnn0二f：n1二例27设可导函数y = y(x )由方程x y t2xI e dt = 10 xsin t出确定,则出dx x4。【2010年考研数学3】解应填-1。x，y±2x2je出=xfsintdt,令x=0，

28、得y=0。00在J*e"dt=xsin2tdt两端对x求导，evx+1+dy=ssin2tdt+2xsin2x,00dx0将 x =0,y =0代入，得1+dy =0 ,所以曳=_1。dxdx x'1n1例 28 (I) 比较 ln lnt ln(1+t)出与 'tn Intdt (n =1,2,|)的大小，说明理由。1_n(n)设un=.0lnt-ln(1+t力dt (n=1,2，惘)，求极限【2010年考研数学1,数学2,数学3】解(I) 当 0<x<1 时，0<ln(1+x)<x, ln t 一此(1+t )T < lnt tn ,

29、1.1所以 Jq lnt ln (1 +t )1 dt < J0tn ln t出(n)1 n1 n11n -44t ln tdt = - f t lntdt = ( ln tdt =A0n+1 011 i n书1 n+ 1-1lnt + t - dtn+10n+1 0 t=0故由1. -、n1 n0 <un = Qln t ln (1 +t )1 dt < 10t ln tdt一，根据夹逼定理有n 1lim un =0n s ： n二本章学习效果测试1单项选择题(1)如果 d f (x )= fd g(x ),则下列各式不一定成立的是()B f x =g xC dfx=dgx

30、D d f x dxd g x dx1若f(xf (xdx = F (x )+C , F =1, f(1)=F(0)=0,则 x xf r(x)dx =()=(x>0),则f(x)=xAlnxCB-Cx20Cx2CD2x2C(3)B -1D xf x - F x C3(4)若函数f(X)为连续函数，则下列结论正确的是Af(x)为偶函数，则J：f(t)dt+C为偶函数XBf(x)为奇函数，则°f(t)dt+C为偶函数Cf(X)为偶函数，则J：f(t)dt+C为奇函数Df(x)为奇函数，则/f(t)dt+C为奇函数b(5)设在Ia,b上，f(x)>0,fx)<0,f&q

31、uot;(x)>0,记s,=jf(xd,xas2=f(bXba),s3=,f(a)+f(b)1(ba),则()AS:二s2:二s3BS3:二S):二S2CS2:二Si<S3DS2:二s3:二Gdxoo(6)设f(x)连续，则ftf(x2-t2)dt=().dx0Axf(x2)B-xf(x2)C2xf(x2)D-2xf(x2)x(7)设F(x)=fof(t)dt，其中12(x21)0<x<12f(x)弋，%-1)1MxM23则F(x)在(0,2)内().A无界B递减C不连续D连续一sinx“(8)设M=%coJxdx,-21x2jiN=12n：(sin3x+cos4x)d

32、x，-2jiP=f2n(x2sin3x-cos4x)dx,则有工AN：二M：二PBM:二P.NCN:二M:二Px2、:：.(9)设f(x)=§esinsintdt,则F(x)().A为正常数B为负常数C恒为零().DP：二M:二ND不为常数(10)设f(x械b,1】上连续单调减,q10fxdxq0fxdxVqw10,1,则有()。q1B0fxdxqqfxdxC0fxdxq0fxdxq,1D无法比f(x)dx与q°f(x)dx大小2填空题(1)设fxf(x)dx=arcsinx+C,则J(2)已知f'(ex)=xe”,且f(1)=0,则f(x)(3)eTxdx二(4)

33、若f(x)121x2Jix2J。f(x)dx,1J。f(x)dx=(5)k-JIsinnxdx=(6)22n1sinxdx=-012(x1-x)dx=(8)位于曲线y=xe，(0Wx<")下方,x轴上方的图形的面积为(9)21x-111xex(10)设lim土士XT：L.x-b,t3求下列不定积分。(1)dx4x212x9dx(4)dt2te(3)arctan1-x-dxx2-2x244sinxcosx(5)dx._42sinxcosxsinxcosx,4-dxsinxcosx(6)(8)lnxrdxxsinx-cosx,dxsinx2cosx求下列定积分。TE；tanx1ta

34、nxexdx(2)64,xsinxcosxdx31:詈dx(4)二24xsecx,42dx01tanx(5)11n1x-dx01x2(6)cosxdx1e-2nndcoslnldxdx_0n为正奇数5证明Ccosxdx=«”022cosnxdxn为正偶数06证明n nxf sin x dx = of sin x dx =二 02 f sin x dxxf f (t )d t是偶函数；若 f (t)是连续的偶函数，证明7若f(t)是连续的奇函数，证明xIf(t)dt是奇函数。1n8求limnx+i丫nx+i+1)(x>0)n:ni4,9求由曲线y=sinxxw.0,n与x轴所围成

35、的图形分别绕y轴和直线y=1旋转所得旋转体的体积。10计算圆x2+y2=1绕直线x=2旋转而成的旋转体的体积。111设f(x户0,1】上可微，且满足f(1)20xf(x)dx=0,证明在(0,1)中至少有一点f使fg=-V。12求下列积分(1)f2dx-(2)»lnsinxdx2x2x-20dx(3)当k为何值时，积分fdr收敛，又为何值时发散？kxlnx13已知某商品每天生产x单位时，边际成本为c'(x)=0.4x+2(元/单位)，其固定成本是20元，求总成本函数c(x);如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L(x卜每天生产多少单位能获得的总

36、利润最大?14 已知曲线L的方程为x=t2+1,2,(t20),、y=4t-t(I)讨论L的凸性;(II)过点(1,0尸IL的切线，求切点，并写出切线的方程;(III)求此切线与L(对应于XEX0的部分)及x轴所i围成的平面图形的面积。【2006年考研数2】15设函数f(x)在10,3上连续，在(0,)3内存在二阶导数，且22f(。)=/0f(Xd=图4-9证法一利用积分中值定理(2)+f(3),(i)证明：存在“W(0,2)使f0)=f(0)；(ii)证明：存在"(0,3)使f"(1)=0【2010年考研数3】本章学习效果测试参考答案。1(1)应选A由不定积分的性质有fx

37、=gxC(2)应选D2、1f(x)二x1fx=2x(3)应选Bxf(x2)dx=dx122-f(x2)dx2=dx2f(x2)-xC11xf01x dx = xdf x = xf x- 0。一0fxdx=0-Fx(4)应选B参见本章学习效果测试第5题：若f(t)是连续的奇函数，证明ff(t)dt是偶函数;若f(t)是连续的偶函数，证明仍是偶函数，奇函数加上任意常数函数。注连续的偶函数的原函数之是奇函数，而连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。应选C5是曲边梯形的面积,S2是矩形的面积，S3是梯形的面积，曲边梯形的曲边单调减，下凸。(6)应选Addx:tf(x2-t2)dt1d2dxxJof(x-

38、tjd(x一t),令x-t=u,t=0时，u=xt=x时，u=0,ddxx 220tf(x2-t2)dt1 d2dx01 dx2f udu=2£x22f0 f (u )du =xf (x )。(7)应选Df(x挥Ia,b上连续,则F(x)=ff(t)dt在a,b上可导。若f (x )在a,b 上分段连续(间断点为第一类间断点)，则F(x)=Jf(t)dt在a,b上连续。(8)应选D2 si nx白x2coSx dx (Psin x1 x2cos4为奇函数),nN = . 21(sin3ji424xcosx)dx=0，12cosxdx0P=2-(x2sin3x-cos4x)dx=0-2

39、cos4xdx:0"2(9)应选AF(x)=.xX2：二sintesintdtes1ntsintdt=-2asinte22sintedcostsintdt与x无关,为常数。sint.=-ecost2sint0costde2sint=00costde0,1上曲边梯形的平均高度，即有1qq, 见图4-9costdt>0。(10)应选A从几何看，在fo,q】上曲边梯形的平均高度大于等于在10fXdx10fxdxq=0qfXdx11qf(x)dx，q0fxdx-q0fxdx=1-q0fxdx-qqfxdq1 w 10,q,Iq,1,=(1q)qfg)_q(1_q)f(J1其中因)有f.

40、f冉)证法二利用微分中值定理1fxdx_q°fxdx设Fx=°ftdtx三0,q1,一w(0,q),即qftdt=F'(1尸f(。)，F1-Fq1-q1q,1),即q1q0ftdt-0ftdti-q=口(5)=”务)0qftdt>qf1f21°ftdt-再考虑1-qqq0ftdt,化简有f0f(x)dx>qf0f(x)dx,证法三q=0,q=1,有f(x)dx之q(f(x)d利用导数的正负来证。x。1q1设Fq70fxdx-.0fxdq0,1qqfq0fxqfq)-qfi-i2qqIIfq-fW0,可知F(q)在(0,1)是不增的，又F(1)=

41、0,即0fxdx-q0fxdx2(1)应填-1(1-x2，+C31由ixf(x)dx=arcsinx+C两边求导，有f(x)=-$,x、1-x2122d 1 一1.2.21,1-xdx =一 f (x)d x,4 4 0dx=x、1-xdx二一一1一xfx212(2)应填f(x)=-lnx2由f(ex)=xe"有exf(ex)=xff'(ex)dex=xdx,“ex”2x2C12令x=0由条件f(1)=0,有C=0,f(x)=ln2x2卢,2e"+Cx之0应填exCx：二0xxxlx至0时，fedx=e+C1，x<0时，e=ex+C2,考虑到函数在x=0处连续

42、，有-1+C1=1+C2。(4)应填in4T：1110f(x)dx=.0Ndx0f(x)dx1-x2dx=arctanx0f(x)dx0f(x)df(x)dx=04二1运算中将-0f(x)dx视为常数。由定积分的几何意义，有-0类似的题目均可仿此处理，如本章的例41-x2dx=工(单位圆面积的四分之一)422。又如下题:为常数，得到关于10f(x)dx和10f(x)dfx=x24x=_,342-x331110f(x)dx工。32(5)应填-nkn二k1.开二sinnxdx=1J”nsintdt=-f'nTTsintdt1n=-sinnJ0.20sintdt利用：若f(x)是连续的周期函数，T为周期,f(x)dx,其中a为任意常数。(6)应填02二.2n10金xdx=-sin冗2n11dt注若函数f(x)为I-a,a上的连续奇函数，则j：(x十公-21x)dx=x-1dxJx1-xdx12：:.=2°xdx0万2二-f-o321Ji-x2dx是半个单位圆的面积。-1(8)应填1-be=ixe-xdx=-2=1!=1(9)应填.1+x一exjxlexd利用了3jeo2(10)应填52limfxTx二x-budvvdu=uvC2b二eb2t1btedttde2t0-Q0te22tb2t12