两角和与差的正弦

1、两角和与差的正弦学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题(重点)自 主 预 习·探 新 知1两角和与差的正弦公式(1)S：sin()sin_cos_cos_sin_.(2)S：sin()sin_cos_cos_sin_.2辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin .思考：根据公式C(±)的识记规律，你能总结出公式S(±)的记忆规律吗？提示对比公式C(±)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(±)的记

2、忆规律：“正余余正，和差相同”基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54°cos 24°sin 36°sin 24°sin 30°.()解析(1).根据公式的推导过程可得(2).当45°，0°时，sin()sin sin .(3)×.当30°，30°时，sin()sin sin 成立(4).因为sin 54&

3、#176;cos 24°sin 36°sin 24°sin 54°cos 24°cos 54°sin 24°sin(54°24°)sin 30°，故原式正确答案(1)(2)(3)×(4)2cos 17°sin 13°sin 17°cos 13°的值为()A.B.C. D以上都不对A原式sin(13°17°)sin 30°.3函数ysin xcos x的最小正周期是()A. BC2 D4Cysin xcos xsin，

4、函数的最小正周期为T2.4已知为锐角，sin ，是第四象限角，cos()，则sin()_.【导学号：79402116】解析为锐角，且sin ，cos .又为第四象限角，且cos()cos ，cos ，sin .sin()××0.答案0合 作 探 究·攻 重 难利用公式化简求值(1)()ABC. D.(2)求sin 157°cos 67°cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(75°)cos(45°)cos(15°)的值思路探究(1)化简求值应注意公式的逆用(2)(3)对于非特殊角的三角

5、函数式化简应转化为特殊角的三角函数值解析(1)sin 30°.答案C(2)原式sin(180°23°)cos 67°cos 23°sin 67°sin 23°cos 67°cos 23°sin 67°sin(23°67°)sin 90°1.(3)sin(75°)cos(45°)cos(15°)sin(15°60°)cos(15°30°)cos(15°)sin(15°)cos 6

6、0°cos(15°)sin 60°cos(15°)·cos 30°sin(15°)sin 30°cos(15°)sin(15°)cos(15°)cos(15°)sin(15°)cos(15°)0.规律方法1对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值2在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本

7、原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换跟踪训练1化简下列各式：(1)sin2sincos；(2)2cos().【导学号：79402117】解(1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式.给值(式)求值设，若cos ，sin ，求sin()的值思路探究应用公式注意角的范围求出所给角的正弦值解析因为，cos ，所以sin ，因为，sin ，所以cos .所以sin()sin co

8、s cos sin ××.母题探究：1.(变结论)若条件不变，试求sin()cos()的值解sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin ××××1.2(变条件)若将角的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？解因为，cos ，所以sin .因为为第三象限，所以cos .所以sin()sin cos cos sin ××0.规律方法(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与

9、“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.,提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值.辅助角公式的应用探究问题1函数ysin xcos x(xZ)的最大值为2对吗？为什么？提示不对因为sin xcos xsin，所以函数的最大值为.2函数y3sin x4cos x的最大值等于多少？提示因为y3sin x4cos x5，令cos ，sin ，则y5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函数y的最大值为5.3如何推导asin xbcos xsin(x)公式？提

10、示asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定)设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数yf(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变化得到思路探究辅助角公式转化成“一角一函数”的形式将所给函数展开与合并解(1)f(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xsin ，当sin 1时，f(x)

11、min，此时x2k(kZ)，所以x2k(kZ)所以f(x)的最小值为，x的集合为.(2)将ysin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得ysin x的图象；然后将ysin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)sin的图象. 母题探究：(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？解由典例解析知函数可化为f(x)sin，当2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)时，函数为增函数；当2kx2k，即2kx2k(kZ)时，函数为减函数所以函数f(x)的单调增区间为(kZ)函数f(x)的单调减区间为(kZ)当 堂 达 标·固 双 基1化简：sin 21&#

12、176;cos 81°cos 21°sin 81°等于()【导学号：79402118】A.BC. DD原式sin(21°81°)sin 60°.故选D.2若cos ，是第三象限的角，则sin()A B.C D.Acos ，为第三象限角，sin ，由两角和的正弦公式得sin sin cos cos ·sin ××.3函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2 B.C1,1 D.Bf(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数f(x)的值域为，故选B.4sin 155°cos 35°cos 25°cos 235°_.解析原式sin