三角函数的简单应用

1、§9三角函数的简单应用学习目标：1.能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题(重点)2.将实际问题抽象为三角函数模型(难点)自 主 预 习·探 新 知三角函数模型的应用(1)三角函数模型的应用根据实际问题的图像求出函数解析式将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型(2)解答三角函数应用题的一般步骤思考：在函数yAsin(x)b(A>0，>0)中，A，b与函数的最值有何关系？提示：A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：(1)ymaxAb，yminAb；(2)A，b.基础自测1判断(正确的打“

2、”，错误的打“×”)(1)函数ysin x在内是增函数()(2)函数y3sin x1的最大值为3.()(3)直线x是函数ysin x的一条对称轴()(4)函数ysin (x1)的周期为2.()答案(1)(2)×(3)×(4)2求下列函数的周期：(1)yAsin(x)(0)的周期是T_；(2)yAcos(x)(0)的周期是T_；(3)yAtan(x)(0)的周期是T_；答案(1)(2)(3)3某人的血压满足函数关系式f(t)24sin 160t110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为_解析T，f80.答案80合 作 探 究·攻 重 难

3、已知解析式求周期、最值交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220·sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间思路探究交流电压与时间的关系呈现周期性变化，t0时即为初始电压，求周期和最值可直接运用性质解(1)当t0时，E110(V)即开始时的电压为110V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V.当100t，即t s时第一次取得最大值规律方法由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物

4、理中的量是解答此类问题的关键.跟踪训练1单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s6sin.(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 【导学号：64012071】解(1)单摆的周期T1，若令2t0，即t，这时s0.找出曲线上的五个特殊点，列表如下：ts6sin06060用光滑的曲线连接这些点，得函数s6sin的图像(如图)(2)当t0时，s6sin 6×3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.(3)s6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最

5、右边时，离开平衡位置6 cm.(4)s6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.已知模型求解析式如图1­9­1所示，表示电流I(A)与时间t(s)的关系式：IAsin(t)(A>0，>0)在一个周期内的图像图1­9­1根据图像写出IAsin(t)的解析式思路探究由图像确定A、.解由图像可知A300，又T2，100.又t时，t0，100·0，即，I300sin.规律方法求解析式的难点在于求，可根据图像找出与正弦曲线对应点求得.跟踪训练2如图1­9­2所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满

6、足函数yAsin(x)b(A>0，>0，|<)图1­9­2(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式解(1)由题图知，这段时间的最大温差是301020 ()(2)题图中从6时到14时的图像是函数yAsin(x)b的半个周期的图像所以×146，解得，由图像知，A(3010)10，b×(3010)20，所以y10sin20.因为x6时，y10，所以1010sin 20，所以sin1，可令，所以.综上所述，所求解析式为y10sin20，x6,14三角函数的实际应用探究问题1建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？提示：(1)

7、先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型(2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题(3)最后将所得结果翻译成实际答案2如何建立拟合函数模型？提示：(1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”(2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型(3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验某港口的水深y(单位：m)是时间t(0t24，单位：h)的函数，下面是水深数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出曲线，如图1­9­3所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数yA

8、sin tb的图像图1­9­3(1)试根据以上数据，求函数解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？ 【导学号：64012072】思路探究(1)根据题意确定A，b，.(2)根据题意水深y11.5可求解解(1)从拟合曲线可知，函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此12，得.当t0时，y10，b10.ymax13，A13103.所求函数的解析式为y3sint10(0t24)(2)由于

9、船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于74.511.5(m)当y11.5时就可以进港令y3sint1011.5，得sint，2kt2k(kZ)，112kt512k(kZ)取k0，则1t5；取k1，则13t17；取k2，则25t29(不合题意)因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时母题探究若将例3中“某港口的水深y是时间t(0t24，单位h)的函数”变为“海浪高度y(米)是时间t(时)的函数(0t24)且浪高数据如下：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.99

10、1.5若该函数图像可近似地看成函数yAcos tb的图像试求：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解(1)由表中数据可知，T12，所以.又t0时，y1.5，所以Ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为，函数解析式为ycost1(0t24)(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以ycost1>1，cost>0，2k<t<2k，即12k3<t<12k3(kZ)又0t24，所以0t&

11、lt;3或9<t<15或21<t24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t<15.规律方法根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决.当 堂 达 标·固 双 基1如图1­9­4所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是()图1­9­4A该质点的振动周期为0.7 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大D该质点在0.3 s和0

12、.7 s时的加速度为零B由图像可知，该质点的振动周期是2×(0.70.3)0.8，故A不正确；振幅为5 cm，故选B.2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数， 五一某商场的人流量满足函数F(t)504sin (t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A0,5B5,10C10,15 D15,20C由2k2k，kZ，知函数F(t)的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10,153，5，故选C.3如图1­9­5所示，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是_. 【导学号：64012073】图1

13、­9­5解析设函数解析式为yAsin(t)，则由题意得A2，T2×(0.50.1)0.8，.又×0.1，解析式为y2sin.答案y2sin4某同学利用描点法画函数yAsin(x)的图像，列出的部分数据如下表：x01234y10112经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数yAsin(x)的解析式应是_解析在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示根据函数图像的大致走势，可知点(1,0)不符合题意；又0<A2，函数图像过点(4，2)，A2，函数图像过点(0,1)，2sin 1.又<<，由(0,1)，(2,1)关于直线x1对称，知x1时函数取得最大值2，函数的最小正周期为6.答案y2sin5如图1&