2.4.2 第2课时

1、第二章2.42.4.2第2课时 A级基础巩固一、选择题1抛物线yx2的焦点关于直线xy10的对称点的坐标是(A)A(2，1)B(1，1)C(，) D(，)解析yx2x24y，焦点为(0,1)，其关于xy10的对称点为(2，1)2过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是(D)A12B12C3D3解析设A(，y1)、B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则·(，y1)·(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有y1y2p24，·y1y243，故选D3过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于

2、5，则这样的直线(B)A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在解析由定义|AB|527，|AB|min4，这样的直线有两条4已知抛物线x22py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则(C)A B C D解析因为抛物线的焦点为(0，)，直线方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以.故选C5已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是(D)A1 B2 C D解析如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A，Q，

3、B，由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2，又|PQ|y0，y02，y06设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|等于(B)A9 B6 C4 D3解析设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)由题意知F(1,0)，因为0，所以x1x2x33.根据抛物线定义，有|x11x21x31336.故选B 二、填空题7顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xy10所得弦长为，则抛物线方程为_y212x或y24x_.解析设所求抛物线方程为y2ax(a0)直线变形为y2x1设抛物线截直线所得弦长为d消y得(2x1)2ax整理得4x2(4a)x10

4、d解得a12或a4所求抛物线方程为y212x或y24x8已知点F为抛物线y28x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值是_2_.解析由|AF|4及抛物线定义得A到准线的距离为4A点横坐标为2，A(2,4). 又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以|PA|PO|的最小值为：|AB|2三、解答题9已知点C的坐标为(4,0)，A，B是抛物线y24x上不同于原点O的相异的两个动点，且OAOB(1)求证：点A，B，C共线；(2)若(R)，当·0时，求动点Q的轨迹方程解析(1)证明：设直线AB方程为xmyb，A(x1，y1)，B

5、(x2，y2)，将直线AB方程代入抛物线方程y24x，得y24my4b0，则y1y24m，y1y24b，OAOB，kOA·kOB1，b4于是直线AB方程为xmy4，该直线过定点(4,0)，即点A，B，C共线；(2)由题意，Q是直角三角形AOB斜边上的垂足，CQO90°设Q(x，y)，则(x，y)，(x4，y)，x(x4)y20，即(x2)2y24(x0)10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点.(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解析(1)如图所示，由，消去x得，ky2yk0设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1&#

6、183;y21，y1y2A、B在抛物线y2x上，yx1，yx2，y·yx1x2kOA·kOB·1，OAOB(2)设直线与x轴交于点N，显然k0令y0，得x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|·|y1y2|，SOAB·1·SOAB，解得k±B级素养提升一、选择题1已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则yy的最小值为(C)A4 B6 C8 D10解析当直线的斜率不存在时，其方程为x1，y4，y4，yy8当直线的斜率存在时，设其方程为y

7、k(x1)(k0)，由，得ky24y4k0，y1y2，y1y24，yy(y1y2)22y1y28，k2>0，yy>8，综上可知，yy8，故yy的最小值为82已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(D)A B C D解析由题意知，准线方程为x2，p4，抛物线方程：y28x，焦点坐标(2,0)设过A点的直线为yk(x2)3联立化简得y2y1604(16)0，k，k2(舍去)将k代入方程，y8，x8B点坐标为(8,8)kBF3(2019·四川理，8)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22p

8、x(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM斜率的最大值为(C)A B C D1解析设P(，t)，易知F(，0)，则由|PM|2|MF|，得M(，)，当t0时，直线OM的斜率k0，当t0时，直线OM的斜率k，所以|k|，当且仅当时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C4(2019·全国卷理，8)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·(D)A5 B6 C7 D8解析由题意知直线MN的方程为 y(x2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1,2)，N为(4,4)又 抛物线焦点为F

9、(1,0)， (0,2)，(3,4) ·0×32×48故选D二、填空题5已知F是抛物线y24x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|MF|的最小值是_4_.解析过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|MF|MP|MN|PN|4为所求最小值6(江西九江一中20192019期末)设圆x2(yb)24的切线l与抛物线x22y相交于A，B两点，且切点为线段AB的中点若这样的直线l恰有2条，则b的取值范围是_(2，_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)切点C(x0，y0)，AB斜率为k，则x1x22×，即2x

10、02k，若x0k0，b>2时，有两条直线，符合题意，b2时，有一条直线符合题意，若x0k0，则，y0b1代入圆方程可得，x3，若(x0，y0)在抛物线内，则共有4条直线符合题意，(x0，y0)在抛物线上或在抛物线外，32(b1)，即b，b的取值范围是(2，故答案为(2，三、解答题7(2019·安徽黄山市高二期末)已知曲线C上的任意一点M到点F(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，直线l过点A(1,1)，且与C交于P，Q两点.(1)求曲线C的方程；(2)若A为PQ中点，求三角形OPQ的面积解析(1)设曲线上任意一点M(x，y)，由抛物线定义可知，曲线是以点F(1,0)为焦点，直

11、线x1为准线的抛物线，所以曲线的方程为y24x(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y4x1，y4x2，所以yy(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，因为A为PQ中点，所以y1y22，所以直线l的斜率为kPQ2，所以直线方程为y12(x1)，即y2x1，此时直线l与抛物线相交于两点设T为l与x轴交点，则|OT|，由消去x得y22y20，所以y1y22，y1y22，所以三角形OPQ的面积为S|OT|y1y2|8(2019·安徽师大附中高二期末)已知抛物线C：y22px(p>0)过点A(1，2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原

12、点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，p2故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt由消去x得y22y2t0因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t±1综上知：t1所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10C级能力拔高(2019·福建八县一中高二期末)已知点P在抛物线x2y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D动点M(x，y)满足2，设点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：y1，若经过点F(0,1)的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A1、B1，试判断直线A1F与B1F的位置关系，并证明你的结论解析(1)设P(x0，y0)，由2知