33　复数的几何意义

1、3.3复数的几何意义1.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点)2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点)3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)基础·初探教材整理1复数的几何意义阅读教材P120，完成下列问题.1.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.2.复数的几何意义复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)向量.复数z1在复平面内，z所对应的点在第_象限.【解析】z1i1，复数z对应的点为(1,1)在第二象限.【答案】二教材整理2复数的模阅读教材P121“例1”以上部分，完成下列问

2、题.1.定义向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|.2.公式|z|.3.几何意义复数z对应点Z到原点O的距离.判断正误：(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()(3)复数的模一定是正实数.()【答案】(1)(2)×(3)×教材整理3复数加减法的几何意义阅读教材P122图3­3­5以下部分，完成下列问题.1.如图3­3­1所示，设向量，分别与复数z1abi，z2cdi对应，且和不共线.以，为两条邻边画OZ1ZZ2.则向量与复数z1z2相对应；向量与复数z1z2相对应.图3

3、­3­12.|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.复数43i与25i分别表示向量与，则向量表示的复数是_. 【导学号：01580068】【解析】因为复数43i与25i分别表示向量与，所以(4,3)，(2，5)，又(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量表示的复数是68i.【答案】68i质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型复数的几何意义(1)实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第_象限.(2)设复数z(mR)在复平面内对应的点

4、为Z.若点Z在虚轴上，求m的值；若点Z位于第一象限，求m的取值范围.【自主解答】(1)实部为2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(2,1)，位于第二象限.【答案】二(2)zi.点Z在虚轴上，0，则m2.点Z位于第一象限，则m2>0且12m>0，解之得2<m<.故实数m的取值范围是.复数可由复平面内的点或向量进行表示1.复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.2.复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题.再练一题1.实数x取什么值时，复平面内表示复数

5、zx2x6(x22x15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线xy30上.【解】因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数.(1)当实数x满足即3x2时，点Z位于第三象限.(2)当实数x满足即2x5时，点Z位于第四象限，(3)当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即3x60，x2时，点Z位于直线xy30上.复数加减法的几何意义(1)向量对应的复数为14i，向量对应的复数为36i，则向量对应的复数为_.(2)若，对应的复数分别是7i,32i，则|_.【精彩点拨】利用复数加减法的几何意义求解.【解析】(1)(14i)(36i)210i.即向量对应的复数为2

6、10i.(2)对应复数为(32i)(7i)43i，|43i|5.【答案】(1)210i(2)51.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则.2.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.再练一题2.在复平面内，A、B、C分别对应复数z11i，z25i，z333i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长.【解】由复数加减法几何意义：对应复数z3z1，对应复数z2z1，对应复数z4z1，根据向量的平行四边形法则，得.z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)

7、(1i)73i，AD的长为|z4z1|(73i)(1i)|62i|2 .探究共研型复数的模及其几何意义探究1复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i?【提示】复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.探究2在复平面内，若复数|z|2，则复数z对应的点的轨迹是什么？【提示】复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆.已知复数z1i，z2i.(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小.(2)设zC，满足|z2|z|z1|的点Z的集合是什么图形？【精彩点拨】(1)计算复数的模，首先确定复数的实部和虚部，然后代入模的计算公式；(2)根据复数及其模的几何意义，转化为判定复数对应点的坐标满足的条件.【自主

8、解答】(1)由复数模的定义：|z1|i|2，|z2|1.|z1|>|z2|.(2)设zxyi(x，yR)，则1|z|2.1x2y24.因为x2y21表示圆x2y21及其外部所有点组成的集合，x2y24表示圆x2y24及其内部所有点组成的集合.满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示.1.复数zabi(a，bR)的模即向量的模，复数的模可以比较大小.2.复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解.再练一题3.(1)若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|_.(2)若zx

9、yi，且|z|1，则复数Z在复平面内对应的点P的轨迹方程为_. 【导学号：01580069】【解析】(1)由z(1i)2i(i为虚数单位)知，z1i，则|z|.(2)由复数模的几何意知|z|1表示点P到原点的距离为1，即1.所以点P的轨迹方程为x2y21.【答案】(1)(2)x2y21构建·体系1.复平面内表示复数i(12i)的点位于第_象限.【解析】i(12i)2i对应的点为(2,1)，位于第一象限.【答案】一2.复数zx2(3x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是_.【解析】复数z在复平面内对应的点在第四象限，解得x3.【答案】(3，)3.已知复数zx2yi(x，yR)的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是_.【解析】|z|2，2，(x2)2y28.【答案】(x2)2y284.已知复数