5　不等式的应用

1、§5不等式的应用1理解不等式的性质、平均值不等式；掌握不等式的解法(重点)2能利用不等式解决一些实际问题(难点)基础·初探教材整理不等式应用的类型及步骤阅读教材P23P24，完成下列问题 1不等式的应用大致分为两类(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题2解不等式应用问题的四个步骤(1)审题，必要时画出示意图(2)建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量的不等关系(3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号(4)作出问题结论填空：(1)不等式|2x1|>x的解集为_(2)长为

2、2米的木棍，截断围成矩形，其矩形的最大面积为_(3)若a>b>c且abc0，则a的符号为_，c的符号为_【解析】(1)|2x1|>x等价于2x1>x或2x1<x，即x>1或x<，所以解集为.(2)设矩形的长为x，宽为y，则2x2y2，即xy1，所以面积Sxy，故最大面积为.(3)由a>b>c且abc0知3a>abc0，即a>0,3c<abc0，即c<0.【答案】(1)(2)(3)正负质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合

3、作型不等式解法的应用已知0b1a，若关于x的不等式(xb)2(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()A1a0B0a1C1a3D3a6【精彩点拨】【自主解答】由(xb)2(ax)2，得x2(1a2)2bxb20.若恰有3个整数解，必须满足1a20，即a1或a1(舍去)设不等式对应方程两根为x1，x2，则|x1x2| .又不等式有3个整数解，2<3，解得b.由已知0<b1a，得1a，解得1a3，1a3.【答案】C1“三个二次”的关系，一元二次不等式，一元二次方程及二次函数的关系，解题要注意相互转化2对二次项系数含有参数的式子要进行讨论再练一题1不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒

4、成立，则实数a的取值范围为()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)【解析】对任意xR，均有|x3|x1|(x3)(x1)|4，原不等式恒成立，只需a23a4.则a23a40，解得a4或a1，实数a的取值范围是a4或a1.【答案】A利用不等式解决实际问题中的大小问题甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，则甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力【自主解答】设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用

5、的时间分别为t1，t2，依题意有：mns，t2.t1，t2，t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t2<0，即t1<t2，从而知甲比乙先到达指定地点对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题，通常需阅读理解，建立式子的大小比较模型，然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系，从而使问题得解.再练一题2设甲、乙两地距离为s，船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度为v1(v1>0)，已知船在静水中的速度为v2(v2>0)，试比较v1和v2的大小【解】设水流速度为v(v>0)，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t，平均速度v1

6、.v1>0，v2>0，1<1，v1<v2.实际问题中不等式的应用围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图1­5­1所示已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)图1­5­1(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【精彩点拨】(1)由题可知总费用由旧墙的维修费及新墙的造价

7、构成，故先弄清旧墙需维修的长度及新墙需建的长度，然后易知y与x的关系式；(2)用均值不等式可求总费用的最小值【自主解答】(1)设矩形的另一边长为a m，则y45x180(x2)180×2a225x360a360.由已知ax360，得a，y225x360(x0)(2)x0，225x210 800，y225x36010 440，当且仅当225x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元再练一题3如图1­5­2，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多

8、少时，才能使盒子的容积最大？图1­5­2【解】设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则V(a2x)2·x，其中0x.又V(a2x)·(a2x)·4x，当且仅当a2x4x，即当x时，不等式取等号，此时V取最大值.因此当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时，盒子的容积最大构建·体系1函数y对一切xR都有意义，则实数m的取值范围是() 【导学号：94910026】Am2Bm2Cm0或m2D0m2【解析】由题意，m24·0，所以0m2.【答案】D2已知x0，y0，且1，则xy的最小值是()A6B4C32D4【解析】(xy

9、)×1(xy)2132.当且仅当时，等号成立【答案】C3已知点An(n，an)为函数y的图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中n为正整数，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_【解析】易得an，bnn，cnn，cn随n的增大而减小，cncn1.【答案】cncn14设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_【解析】设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3，又三角形为直角三角形，S·3·46，h1·3h2·4h3·56，3h14h25h3123，h1h2h3.【答案】5汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是