特殊三角形复习——典型例题分析

1、特殊三角形复习【内容综述】等腰三角形和直角三角形是两种非常特殊的三角形，本讲中通过一系列有关等腰三角形或直角三角形的问题的解决，既是复习有关三角形全等的知识，同时也是培养同学们分析、解决问题的能力。同学们通过学习下面问题的分析、解答过程，特别要注意体会如何根据题目的已知信息和图形特征作出适当的辅助线。这是学习本节的难点所在。【要点讲解】例1如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE 交 BC 于 G。求证：DG=EG。思路 因为 GDB和厶GEC不全等，所以考虑在 GDB内作出一个与 GEC全等的 三角形。证明：过D作DH / AE ,交BC于H.

2、AACB -= ZECG/ AB=AC- DB=DH又 DB=CE DH=CE又- .T .二上-. .7 DG=EG.说明 本题易明显得出 DG和EG所在的 DBG和厶ECG不全等，故要构造三角形的全 等，本题的另一种证法是过E作EF/ BD，交BC的延长线于F,证明 DBG EFG,读者不妨试一试。例 2 如图 2-8-2, D 为等边 ABC 的内部一点，DB=DA , BE=AB，/ DBE= / DBC，求/ BED的度数。j21111B 思路 从已知中知等边厶 ABC的每个内角为60。所以要想办法把/ BED和60这 信息产生联系。解：连结DC由厶ABC是等边三角形且 BE=AB可

3、得BE=BC又/ DBE= / DBC,BD=BD DBE DBC,/ BED= / BCD/ DB=DA , DC=DC , CB=CA , CBDCADI 1 / BCD= / ACD= / BCA= X 60 =30 / BED=30 说明 证明两角相等的重要思路之一就是证明这两角所在的两个三角形能全等。例3如图2-8-3，在 ABC中，AB=AC，/ A=100 ,作/ B的平分线与 AC 边交于E,求证：BC=AE+BE。思路 要想办法把AE+BE替换成一条线段a,然后只需证明BC=a。证明 延长BE到F,使EF=AE ,连结FC,作/ BEC的平分线交 BC于G,由AB=AC ,/

4、 BAC=100 ，可知 / ABE= / CBE=20 因而 / AEB= / GEB=60 于是 AEB GEB则有 EG=EA=EF又由 / GEC= / FEC=60 所以 GECFEC所以 / EFC= / EGC=180 - 100 =80 从而 / BCF=80 故 BC=BF=AE+BE例 4如图2-8-4, P为等边 ABC内任一点，PD丄AB于D, PE丄BC于E, PF丄AC 于 F。求证：PD+PE+PF思路考虑把PD+PE+PF用等边 ABC的边长、周长、高、 面积等不变量表示出来。证明 连结PA、PB、PC,过A作AH丄BC于H。.5必+期冋14卯出ARAAC又 A

5、B=BC=CA , PD+PE+PF=AH因为等边三角形的大小已给定，则它的高也随之确定。 PD+PE+PF 是定值。说明 题中的PD、PE、PF这三段都是点到线段的距离，故联想到了三角形的面积， 利用各个部分的面积之和等于整体的面积建立了等式关系。例5如图2-8-5，在 ABC 中，BF丄AC , CG丄AB，垂足分别是 F、G, D 是BC的中点，DE丄FG,垂足是E。U2-S-5求证：GE=EF。思路 利用等腰三角形的三线合一性质，只需证明DG=DF。证明连结DG、DF。/ DG是Rt BCG的斜边BC上的中线。Iff，同理可证ml3C DG=DF又 DE 丄 FG, GE=EF说明若题

6、目中作了三角形的高，就应注意所形成的直角三角形这一图形，如本题图中的 Rt BGC 和 Rt CFB。例 6已知一个直角三角形的边长都是自然数，且周长和面积的量数相等，求这个三角形的三边长。思路 列出三边长满足的关系式，然后通过分析、讨论得出三边的长度。由得，代入得/ abz 0, ab4a 4b+ 8=0（a、b为自然数） a- 4=1, 2, 4, 8-a=5, 6, 8, 12; b=12, 8, 6, 5;c=13, 10, 10, 13三边长分别为 6、& 10或5、12、13。说明 本题是用代数方法解几何题，这种方法今后还大有用处，请读者注意它。例 7 如图 2-8-6，在 ABC 中，AB=AC=CB , AE=CD , AD、BE 相交于 P, BQ _L AD 于 Q。ABD求证：BP=2PQ。思路 在Rt BPQ中，本题的结论等价于证明/ PBQ=30证明 / AB=CA，/ BAE= / ACD=60 , AE=CD , BAE ACD/ ABE= / CAD/