现代信号处理(胡广书)第五章信号的抽取与插值,上采样,下采样理论

1、第 5 章 信号的抽取与插值5.1 前言至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率fs视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会 遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率(multirate )”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其 自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如：1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的 频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽 样率信号的能力，并

2、自动地完成抽样率的转换；2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号(Studio work )所用的抽样频率是 48kHz ， CD 产品用的抽样率是 44.1kHz ，而数字音频广播用的是 32kHz 15 。3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；4. 对信号(如语音，图象)作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高 通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现 最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余

3、，这时，希望能在该数 字信号的基础上将抽样率减下来。以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换， 或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近 20 年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。 “多抽样率数字信号处理” 的核心内容是信号抽样率的转 换及滤波器组。减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取( decimatim )”，增加抽样率以增 加数据的过程称为信号的“插值( interpolation )。抽取、插值及其二者相结合的使用便可 实现信号抽样率的转换。滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解，然后根据

4、需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理(如编码)或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。y(n) = x(Mn )5.2信号的抽取一个，依次组成一个新的序列y(n)，即设x(n) =x(t)|yTs，欲使fs减少M倍，最简单的方法是将x(n)中每M个点中抽取n=- ;、+：(5.2.1)现在我们证明，y(n)和x(n)的DTFT有如下关系:Y(e)=M J、:X(eK'2-K)/M)k =0(522)125证明： 由(5.2.1)式，y(n)

5、的z变换为oOoo(523)Y(z)二' y(n)z=、x(Mn)znn 二二为了导出Y(z)和X(z)之间的关系，我们定义一个中间序列x1(n):x( n)0n =0,_M ,_2M ,其它(5.2.4)注意，捲(门)的抽样率仍示fs,而y(n)的抽样率是fs/M。x(n)、x1(n)及y(n)如 图5.2.1( a),( b )和(。)所示，抽取的框图如图(d)所示。图中符号 卩M表示作M倍 抽取。由该图，显然y(n) =x(Mn ) x/Mn)，这样，有oOCOY(z)八 x1(Mn)z* 二n/ M= _x1( n)znn 二：:即丫(z)=X1(z1/M)(5.2.5)现在的

6、任务是要找到x1 (z)和x(z)之间的关系。0令 P(n)= '-(n - Mi)为一脉冲序列，它在M的整数倍处的值为1，其余皆为零，i :其抽样频率也为 fs。由1.8节的Possion和公式及DFS的理论，p(n)又可表示为：1 M 4p(n)=*、Wm： Wm 二 e"M(5.2.6)M心因为 x1(n)二 x(n) p(n)，所以:oOX,z)八 x(n)p(n)zn :od、x(n)(zWM)n 二.二(5.2.7)即:127#将该式代入(5.2.5 )式，有1 M JI(5.2.8)Y(z) '、X(z'MWk)M kA令z二e '代入此

7、式，即得(5.2.2)式，证毕。(5.2.8)式又常写成如下形式(5.2.9)M _1Y(zm)二、X(zW<)M心x(n)y(n) J M 图5.2.1信号抽取示意图，M=3，横坐标为抽样点数(a)原信号x(n) , (b)x1(n) , (c)抽取后的信号 y(n) , (d)抽取的框图(522)式的含意是，将信号 x(n)作M倍的抽取后，所得信号y(n)的频谱等于原信2 TT号x(n)的频谱先作 M倍的扩展，再在轴上作2 k( k=1,2，M -1 )的移位后再迭M加。如图5.2.2的(a)，( b)，( c),(小及(e)所示。图5.2.2信号抽取后频谱的变化，图中M =3由抽样

8、定理，在由 x(t)抽样变成x(n)时，若保证fs _2fc，那么抽样的结果不会发生频谱的混迭。对x(n)作M倍抽取得到y(n),若保证由y(n)重建出x(t)，那么，Y(e')的一个周期(，二,M )也应等于x(t)的频谱X(j)。这就要求抽样频率 fs必须满足fs -2Mfc。图5.2.2正是这种情况。图中X(ej )的频谱限制在-爲3 ：二3内，而又正好作M = 3的抽取，因此 Y(ej中没有发生频谱的混迭，如图(e)所示。但是，如果fs -2Mfc的条件不能得到满足，那么 丫(ej')中将发生混迭，因此也就无法重建出x(t)。如图523 (a)所示，X(e切 的频谱在卜

9、岸珂2的范围内仍有值，因此， 即使作M=2倍的抽取，也必然发生混迭，如图( b)所示。由于M是可变的，所以很难要求在不同的M下都能保证fs _ 2Mfc。为此，防止抽取后在丫(e ')中出现混迭的方法是在对x(n)抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图(c)所示。令h(n)为一理想低通滤波器，即H (ej° 1 ®42/m(5.2.10)0 其它如图(d)所示，令滤波后的输出为 ：(n),贝UQ0(n) = ' h(k)x(n -k)k =.：:令对：(n)抽取后的序列为 y(n)，则y(n) = (Mn) = ' h(k)x(Mn -k)k :(52

10、11)二 ' x(k)h(Mn -k)k :由前面的推导不难得出:丫二Z X(z1mW,)H(z1mwM；)k =0(5.2.12a)129#M 4jC -2k)jC，Ck)(5.2.12b)'、 X(e M )H(e M)k =0：(n)的频谱V(e)如图(e)所示，Y(e'')如图(f)所示。由该图可以看出，加上 频带为(-二.M M )的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭。因此，在对信号 抽取时，抽取前的低通滤波一般是不可缺少的。在图5.2.3 (f)中使用了变量“ ©y ”，现对此稍作解释。在一个多抽样率系统中，不同位置处的信号往往工作在不

11、同的抽样频率下，因此，标注该信号频率的变量“ ”也就具有不同的含义。例如，在图5.2.1 (d)中，若令相对Y(e) 的圆周频率为-'y，相对对X(ej )的圆周频率为-x，则y和上有如下关系:(5.2.13)y =2二 f fy =2二 f (fs M) = 2二Mf fs = M若要求by|兰兀，则必须有bx兰兀/M，这正是（5.2.10）式对H（e网）频带所提要求的原因。同时使用-.y和，x两个变量固然能指出抽取前后信号频率的内涵，但使用起来非常不方便。故在本书中，除非特别说明，在抽取前后及下一节要讨论的插值前后，信号的圆周频率统一用表示之。只要搞清了抽取和插值前后的频率关系，一

12、般是不会混淆的。图5.2.3先滤波再抽取后的频谱的变化，图中M=2（a）X（e'），（ b）没滤波就抽取得到的 Y（ej），（ c）信号抽取框图，（d） H （ej ），（e）V（eJ ），（d）滤波后再抽取得到的 丫（e）5.3信号的插值如果希望将x（n）的抽样频率fs增加l倍，即变成Lfs，那么，最简单的方法是将 x（n）每两个点之间补 L-1个零。设补零后的信号为(n)x( n/'L)0:(n),则n =0,丄_2L,其它(5.3.1)如图5.3.1 (玄)和(b)所示。图5.3.1信号的插值(a)原信号x(n)，(b)插入L -1个零后的：(n)，L =3。现在来分析x

13、(n)、：(n)各自DTFT之间的关系。由于QOQOV(ej )八.(n)en二、x(n L)e，nn 二:n 二:QO二 ' x(k)eJ kLk -.：:即V(ej ) =X(ej L)(5.3.2)同理V( z) = X(zL)(5.3.3)式中，V(e')和X(ej )都是周期的，X(ej )的周期是2二，但X(ej L)的周期是 2 L。这样，V(ej的周期也是2二L。( 5.3.2)式的含意是：在-二二的范围内，X(ej )的 带宽被压缩了 L倍，因此，V(er )在-二二内包含了 L个X(e')的压缩样本，如图5.3.2 所示。132133图532插值后对

14、频域的影响，L = 2(a)插值前的频谱，(b)插值后的频谱由该图可以看出，插值以后，在原来的一个周期(一理二)内，V(ej')出现了 L个周期，多余的L-1个周期称为X(er )的映像，我们应当设法去除这些映像。实际上，图5.3.1用塞进零的方法实现插值是毫无意义的，因为补零不可能增加信息。自然，我们需要用 x(n)中的点对这些为零的点作出插值。实现插值的方法是用：(n)和一低通滤波器作卷积。为此，令W0厂L其它(5.3.4)式中c为常数，是一定标因子。令：(n)通过h(n)后的输出为y(n)，如图5.3.3所示。图5.3.3插值后的滤波这样，滤波器的作用即是去除了V(e，'

15、)中多余的映像，另一-方面，也实现了对：(n)中零值点的插值。因为Y(ej )二 H(ej )二 cX(ej )| n L及1 二y(0)Y(eJ )d 2兀 -n所以y(0) = CCO.i.CX(ej )d x(0)2 二 L -二L这样，若取c = L，则可保证y(0) = x(0)。现在，我们来分析一下图533中的时域关系。由（5.3.1 ）式，有y(n)=(n)*h(n) - ' . (k)h(n-k)k=' x(k L)h(n - k)kQO(5.3.5)y(n) x(k)h(n -kL)k :5.4抽取与插值相结合的抽样率转换对给定的信号x（n）,若希望将抽样率转

16、变为L/M倍，可以按以上两节讨论的方法，先将x（n）作M倍的抽取，再作L倍的插值来实现， 或是先作L倍的插值，再作M倍的抽 取。一般来说，抽取使 x（n）的数据点减少，会产生信息的丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图 5.4.1（ a）所示。图中插值和抽取工作在级联状态。图（a）中滤波器h,（n），h2（n）所处理的信号的抽样率都是Lfs，因此可以将它们合起来变成一个滤波器，如图5.4.1（ b）所示。令H(e尬)00 日，匸 min（ Ln其它M)ji(5.4.1)135#则该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭。现在分析一下图5.4.1（ b）中各部分信号的关

17、系。由上两节的讨论可知，有因为u(n) = «k(n /L)y(n) = u(M n)u(n) = - (n)* h(n)n =0,丄_2L其它n = ：亠：-_h(n k) (k)k -：(5.4.2)(5.4.3)(5.4.4)#所以图541插值合抽取的级联实现（a ）使用两个低通滤波器,（b）使用一个低通滤波器Q0u(n)二 ' h(n -k)x(k L)Q0=、 h(n - Lk)x(k)(545)Q0(546)y(n)二 ' x(k) h(Mn - Lk)对比（5.2.11 ）及（5.3.5）式，可以看出（5.4.6）式中的y（n）正是单独抽取和单独插 值时

18、时域关系的结合。因为h（n）是因果的滤波器，所以Mn - Lk _ 0，即卩n，这是（5.4.6）式中k的L取值制约关系。记Mn-m(547)#0y(n)八 x(iMnI-L式中ILp表示求小于或等于P的最大整数，这样，（5.4.5）式可写成些 L+mL）由于我们可最后得到. Mn |.Mn iL = Mn-Ly(n)和x(n)之间关系的表达式：mod Ly(n)=瓦 x(.字m)h(mL+(Mn)L)m_ L(5.4.9)式中Mn L表示Mn对模L求余。现在我们通过一个实例来分析一下上述抽样率转换的过程。令和h(n)都是一个四点的序列，如图 5.4.2所示。L =3, M =2，x(n)x(

19、n)* nv(n)* h( -n)图5.4.2抽样率转换过程x(n)依次求出:(n)，u(n)及实现图5.4.1( b)的L M倍抽样率转换，一个办法是从y(n)。如要求出u(n)，按(5.4.4)式，有u(0) =x(O)h(O)u(1) =0 h(0)x(0)h(1) =x(0)h(1)u(2) =0 h(0) 0 h(1)x(0)h(2) =x(0)h(2)u(3) =x(1)h(0) 0 h(1) 0 h(2) x(0)h(3) = x(1)h(0) x(0)h(3)5.4.5 )式，贝 U显然，式中包含很多乘以零的运算，这实际上是不需要的。若按(u(0) = x(O)h(O)u(1)

20、 =x(0)h(1)u(2) = x(0)h(2)u(3) -x(1)h(0) x(0)h(3)u(4) =x(1)h(1)从而避免了乘以零的不必要的计算。但是，把u(0) , u(1) , u(2) , u(3),都求出来也是没有必要的，因为我们对 u(n)要作M =2倍的抽取，这样，u(1) , u(3),等要 被舍弃，因此，没有必要计算。改由(549)式，即一步由x(n)得到y(n)，有Q0y(n)二 '、x(2n3n =0 时,n = 1 时，n =2时y(0)=、x(-m)h(3m) =x(0)h(0) =u(0)my(i) =瓦 xj|- m)h(3m 2 3)二、x( -

21、m)h(3m 2) = x(0)h(2) = u(2)m :oOy八x(m -. s4引-m)h(3m+(4)3)m = ：.：139#=x(1 -m)h(3m 1) = x(1)h(1) = u(4)m 二：二”LX(e鬥0这样，按(5.4.9)式计算时既避免了与插值后为零的点相乘的多余运算，又避免了被 舍弃点的多余计算。可见，在多抽样率转换中，不同计算方法的选取会需要不同的计算量。最后，我们给出x(n)和y(n)的频域关系。由上两节的讨论，有V(ej ) =x(ej L)U(ej ) =V(ej )H(ej ) =X(ej L)H(ej ')解决这一问题的有效方法是采用信号的“多相

22、( polyphase)结构” 。(5.4.9)式即是多相结构的一种表示形式，更多的内容我们将在下一节讨论。JI(5.4.10)其它1 Y(e")=MM A'、U(ej()M)k卫M A_ _(5411)' X(ej(L"二)|min(二) kM L_0其它在实际工作中，无论抽取还是插值，所用的滤波器一般都选取截止性能好而且是线性 相位的FIR滤波器。文献50给出了信号抽取与插值的概论性的论述。5.5信号的多相表示信号的多相表示在多抽样率信号处理中有着重要的作用。使用多相表示可在抽样率转 换的过程中去掉许多不必要的计算，因而大大提高运算的速度。给定序列h(n

23、),令n =0 ，假定M =4，有oOH (z)二 ' h(n)z二 h0h4z*h8z” hz'2n =0hiz h5z* h9z hi3z'3 h2z，h6z h10z0h14z'4 -h3z：h7zh11zJ1 - h15zJ5二z0 h0 h4z*h8z"8 h12z_l2' I z 4 h-ih5z ' h9z ' h13zJ2 丨h2 h6z，h10z* h14z42】z h3h7z，h11z"8h15z'2 丨M -4叱即H(z)二 ' z' h(Mn l)zn(5.5.1)l =

24、0n=0QO记E«z)二、h(Mn l)z*(5.5.2)n -0M 4则H(z)二' zEdz” )(5.5.3)l =0若再记e (n) =h(Mn +1)(5.5.4)为h(n)的多相分量，则Q0Ei(z)八 0(n)zn z0上面的求和是从 0二，这是考虑h(n)是因果序列。对任一序列x(n)可扩展至-：；:。上面的多相表示对 FIR和IIR系统均适用。例如，若123H(z) =1 2z 3z 4z，取 M =2，1 1 令Eo(z) =1 3z ，EMz) =2 4z(5.5.5)上面各式的求和均再例如，令H(z)二 Eo(z2) zEjz2)H(z)，由关系:1

25、-z1 -z，1 zH(z)11 - ： zd11 -： 2z-J :zEo(z)CtE1(z)=lpH(z) = Eo(z2) z，E1(z2)(5.5.1)( 5.5.5)式称为类型-I多相表示。如果我们用M -1 -M 4则有H(z) z°MSr(zm)0式中R(z) =Em_l(z)二 v h(Mn M -1 -l)zn=0这两个表达式称为类型 -II多相表示。若用-丨代替(5.5.1)(5.5.5)中的丨，则有Q0Qi(z)八 h(M n - l)z"n=0M 4H(z)八 zlQi(zM)l =0l代替类型I中的丨，(5.5.6)'(5.5.7)(5.5

26、.8)(5.5.9)这两个表达式称为类型-III多相表示。显然，Ql(z) =zEM4(z)。E(z)、R(z)和Q(z)是信号重新组合的三种不同形式，在本书中，最常用的是E(z)和R(z)。现在，我们来观察它们对原序列重新组合的不同方式。令h(E)(n)=h(Mn I)，h,R)(n)=h(Mn M -仁I)，h(Q)(n) =h(Mn-I)则h0E)(n) Jho,h4,h8,hi2, ?，h0R)(n)十山几几,?，h0Q)(n)工人九佩几, hi(E)( n) =h,h5,h9,hi3, X h/R)( n)二仏池,*。, h,，h；Q)( n)-hthiih,'， h2E)(

27、 n)h2,h6,hio,hu,h2R)( n)-打池池,hi3,】，h2Q)( n) - h2,h6,hi°,hi4, 耐E)(n)二汇,人了厲皿,/，h2R)(n)二叽池乱几,h2Q)(n)二比山池几,请读者自己寻找出各多相分量之间的关系。5.6几个重要的恒等关系由上述几节的抽样率转换关系，我们可得到在多抽样率系统中几个重要的恒等关系：1.Xi(n):1y(n)X2(n) :2144#图中“二”表示等效。该图说明，两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自 抽取后再定标和相加。2.4 y(n)X(n) J M =x(n) -4zJ My(n)#即信号延迟M个样本后作 M倍抽取

28、和先抽取再延迟一个样本是等效的。#证明：设而所以x'(n) =x(n M)，则 X'(z) = zMX(z)Y(z)心X'/wM)k -0Y(z) =M11(z MwMk)MX(z mwM°)k卫二丄zX(wMz1|M)M k令 y'( n) =x(M n)，贝Uy( n)=y'( n-1) , Y(z)=zY'(z)又所以即二者是等效的。1 M J1Y'(z)= a X(z MWM)M z1 MJLv kY(z) ' zX(zMW<)M k=o3.x(n) y(n)H(zm)J M 二x(n)即在M倍抽取器的前后

29、，滤波器的z的幕相差M倍。证明：设H(zm)的输出为y'(n)，则1 M 4rY'(z)=X(z)H(zM)，Y=HJ(zMM)所以1 MJ 1 Y(z-V X(z M M k=oMJ1.=Z X(zMwMk)H(z) M k =o这即是右图所对应的关系，故二者等效。W為H ”MWM)叮y1(n)1*-x(n) _T LOLx(n)-a c2y2(n) 02aT L:14.yd n)y2( n)146LatL(zG5.X147#请读者自行证明恒等关系 4、5和6。这六个关系，又称为"Noble Identities ” 。为 保证这六个关系成立，H(z)和G(z)都应

30、是z (或z)的有理多项式，而且 z的幕均应是整数。5.7抽取和插值的滤波器实现5.7.1抽取的滤波器实现12,15对图5.7.1(a)的抽取，按照顺序，首先要做的是对x(n)作滤波，即x(n)和h(n)的卷积，然后对卷积后的结果：(n)作抽取，如图5.7.1(b)所示。但这种实现方式是费时的，这是因为求出的:(n)中只有:(0)，: (M )，: (2M )，”，等是需要的，而其余的点在 抽取后都被舍弃了，即做了大量不必要的运算。合理的方法应按图5.7.1 ( c)来进行，这时，卷积在低抽样率进行，即N /y(n) - ' h(k)x(Mn -k)k=0式中假定h(n)为N点FIR滤

31、波器。现在分析一下在图5.7.1 (c)中x(n)被分组的情况；假定 M =3，输入到:h°的是:x0 ,x3 ,x6 , x9 ,h的是：x1 , x4 , x7 ,x10 ,h2的是：x2 , x5 ,x8 ,x11 ,h3的是:x3 , x6 , x9 , x12，”，人4的是：ax4 , x7 ， x10 ,x13 ，,图5.7.1抽取的滤波器实现(a) 般框图，(b)先卷积后抽取，(c)先抽取后卷积假定N =9，分析上面结果后可以看出，与子序列x( Mn )相卷积的滤波器系数是 h0,h3和h6，和x(Mn1)相卷积的系数是g，h4，h7，与x(Mn 2)相卷积的系数是h2

32、，h8。这样，我们可将 FIR的系数分N M成组，如图5.7.2所示。图5.7.2将滤波器系数分组来实现信号的抽取上面的分析及图5.7.2提示我们可以用多相结构来实现信号的抽取，即假定M = 3则H(z)二 E°(z3) z'Ei(z3) z(z3)而对本例:3Ej(z)二 '、h(Mn i)zn =0Eo(z) = ho hsz 二 hez，_J_2Er(z) = m h4z - h7zE2(z) = h2 h5Z hgz，所以，图5.7.2可变成如图5.7.3所示的多相形式。读者不难发现，在本图中使用了恒等关 系3。x(n)y(n)150#图5.7.3抽取的多相结

33、构实现5.7.2插值的滤波器实现若直接按顺序实现图 5.7.4（a）中的插值，由于:（n）中每两点增加了 L - 1个零，这些 零和h（n）做乘法是毫无意义的，因此，我们不应把卷积放在高抽样率（Lfs）端进行，而应想办法将其移到低抽样率端来实现。由多相表示的第二种形式，即（假定M =3）M 4（M -1 -L）M、H（z） - z；Rl（z ）l=0二 z经R°(Z3) z，R1(z3) R2(z)式中R(z)二 ' h(Mn M -1 -l)z*n =0图5.7.4（ a）的多相直接实现如图5.7.4（ b）所示。这种卷积仍处在高抽样率端，利用恒等关系6，可得图（c）,这时

34、卷积在低抽样率端进行，从而避免了乘以零的无意义运算。#x(n)151#（c）高效多相实现5.7.5（ a）的抽取和插值相结所示，利用恒等关系1和3，则可图5.7.4插值得多相实现 （a） 般框图，（b ）直接多相实现,5.7.3抽取和插值相结合得滤波器实现我们在前两节分别讨论了抽取和插值得多相实现，对图合的抽样率转换，若用多相形式直接实现，则如图（ I得到图（c）,显然，图（c）比图（b）的效率高。图中假定M =3，L=2。#152图5.7.5抽取与插值的类型-I多相实现（a） 般框图，（b）直接多相实现，（c）高效实现显然，我们也可对h（n）按类型-II多相结构来安排，因为L = 2，所以图

35、5.7.5 （a）可表示成图5.7.6（ a）的形式。但图5.7.5（ c）和图5.7.6（ a）都是单独地对抽取和插值作多 相表示，现希望把二者结合起来。对图5.7.6（ a）来说，困难的是不能把匚2简单地移到右边，| 3也不能简单地移到左边。如果我们把图中的zJ写成£ Z的形式，如图（b）所示，利用前述的恒等关系则可得到图5.7.6 （c），再将抽取与插值交换位置，则得到图（d ）。在图5.7.6（d）中，抽取环节仍在Ro（z），R（Z）的后面，这必然存在多余的运算。由图5.7.3,启发我们应将 Ro（z），R（Z）再作多相分解，而Ro(z) =R°0(z3) zR&#

36、176;i(z3)z，Ro2(z3)R(z) =Rio(z3) zRii(z3) z，Ri2(z3)5.7.7所示。读者可证明,这样，我们可得到抽取与插值相结合时的最有效的结构，如图该结构和图5.7.5（ c）、5.7.6（ a）等是等效的。x(n)z*(n)图5.7.6抽取与插值的类型-II多相实现，(a)插值的类型-II实现,(b) 将z写成z2 Z , (c)恒等变换，(d)抽取与插值交换位置图5.7.7抽取与插值相结合的滤波器的结构5.8抽取与插值的编程实现N M 4多相滤波器Ez) =、h(Mn I)z=n=0NM及R(z)二 ' h(Mn M -l)zn =0中的h(M n

37、 丨)和h(M n M _丨)都是变量n和丨的函数，我们可按(549)式将它们写成h(mL Mn L)的形式。定义g(m,n) =h(mL Mn L)(5.8.1)则g(m, n)为一时变滤波器，它也是一种多相表示形式。因为g(m,n kL)二 h(mL Mn kML L)=h(mL Mn L) = g(m,n kL)所以g(m,n)是以变量n为周期的，周期为 L。假定h(n)的长度为N ,令K =N. L，则g(m, n)中的m=0,1,K -1， n =0,1，,L -1，例如，若 N =30 , L =5，M =2，则 K =6，多相滤波器 g(m,n)的 系数分别是：g(0,n) =h

38、(02n 5)=叽応乱山池 1 g(1,n) =h(5 .2n 5)h5,h7, hghh g(2, n) =h(10 2n 5 ) = ：h10 ,h12 ,h14 ,h11 ,h13 * g (3, n) = h(15 .2n. 5) =、h15 ,h17 ,h19 , h16 , h18 : g(4,n)=h(20 .2n 5H 20, h22, h24, h21, h23 ' g(5, n)二 h(25；2n 5)=肝25山27山29山26, h28 *由(548)、( 5.4.9)及(5.8.1)式，我们可重写抽取和插值相结合的多抽样率转换系统的 输入输出关系，即K 4y(n

39、)二嘉 x(m =0Mn-L-m)h(Mn -Mn-LL mL)K 4=' x(m =0iMn工F/lMn-m)h(ML ：M n：L)m)g(m,nIn丄L)K 1八x(m -0|Mn-L(582)该式有利于在计算机上编程以实现信号的抽取与插值。其工作过程是:步骤1.对给定的M , L,设计一低通滤波器h(n)，使其逼近理想的低通滤波器H (e甌)=丿I 徑 min(,)M L其它建议使用FIR滤波器,N =KL。步骤2.将长度为步骤3.将 x(n)按 x(h(n)的长度为N ,N的h(n)分成L个子滤波器，每段长 K二NI，即g(m,n), m =0,1厂，k -1,n =0,1丄-1Mn)来转换，n变化时，只有当 M 为整数时才变化。上述三个步骤可用图5.8.1来表示。图中输入缓冲器长度为M，中间缓冲器数据长为K ,滤波器系