特殊平行四边形：折叠问题2

1、四边形的轴对称变换类型一:例题1、如图，在梯形ABCDK AD/BC, AB=CDM N分别是 AD BC的中点，AC平分/ DCBABL AC P为MN上一个动点，若 AD=3,则P&PC的最小值是.变式训练：1、如图所示，正方形ABC D的面积为12, ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P，使PD PE的和最小，则这个最小值为 。2、如图，正方形 ABCC的边长为8,点E、F分别在AB BC上, AE=3 CF=1, P是对角线AC上的个动点，贝U PE+PF的最小值是。3、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长为6和8,点P是对角线AC上的一个动点，

2、点 M.N 分别是边AB.BC的中点，贝U P腑PN的最小值是？4、菱形 ABCC中，/ BAD=60), M是AB的中点，P是对角线 AC上的一个动点，若 PM+PB勺 最小值是3,求AB的长？DA例题2:如图，点 A B的坐标分别是(1, 2) , (2, 1)，在y轴上找一点C,在x轴上找一 点D,使四边形ACDB勺周长最小，求出点 C和D的坐标，并求出最小周长。变式训练11、如图，在平面直角坐标系中，直线y =2' 2与x轴、y轴分别交于 A B两点，以AB为边在第二象限内作正方形 ABCD过点D作DE丄x轴，垂足为E.(1) 求点A B的坐标，并求边 AB的长；(2) 求点D

3、的坐标；"(3) 你能否在x轴上找一点 M使厶MDB的周长最小？如果能， 请求出M点的坐标；如果不 能，说明理由.2、如图，以矩形 OABC勺顶点0为原点，0A所在的直线为x轴，0C所在的直线为y轴，建 立平面直角坐标系.已知 0A=3 0C=2点E是AB的中点，在 0A上取一点。，将厶BDA沿 BD 翻折，使点A落在BC边上的点F处.(1) 直接写出点E、F的坐标；(2) 若P在坐标轴上，且以点 E、F、C、P为顶点的四边形是梯形，求点P的坐标；(3)在x轴、y轴上是否分别存在点 M N,使得四边形 MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.3、如图所

4、示，已知 OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，0为坐标原点，点 A在x轴上，点C在y轴上，且0A=15 0C=9在边AB上选取一点。，将厶AOD沿 0D翻折，使点 A落在BC边上，记为点 E.(1 )求DE所在直线的解析式；(2) 设点P在x轴上，以点O E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个， 并求出所有满足条件的点 P的坐标；(3) 在x轴、y轴上是否分别存在点 M N,使四边形MNED勺周长最小？如果存在，求出周 长的最小值；如果不存在，请说明理由.'EBcN0.Wx4、在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点0在坐标原点，顶点 A、B分别在X轴、y轴的

5、正半轴上，0A =3 , 0B =4 , D为边0B的中点.(I) 若E为边0A上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点 E的坐标；(H)若E、F为边0A上的两个动点，且EF =2 ,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、 F的坐标.yCBEA xCA x类型二：例题3、如图所示，把一个长方形纸片沿 EF折叠后，点D, C分别落在D', C'的位置.若 / EFB = 65°，则/ AED '为度.5#变式训练：1如图，将矩形纸片 ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF , 若/ ABE = 20°，那么/ EFC &

6、#39;的度数为 度.#2、如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成 的角的度数应为度.#3、如图，已知矩形纸片ABCD ，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，.BEG 60现沿直线EG将纸片折叠，使点 B落在约片上的点 H处，连接AH，则与.BEG相等的 角有个。例题4、如图是一张矩形纸片ABCD , AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA 上,#点C的对应点为点 F，若BE=6cm，则CD的长是#变式训练：1、如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展开 后得到一个等腰三角形则展开后三角形的周长是.10406

7、#2、如图，在梯形 ABCD 中，/ DCB = 90°, AB / CD, AB = 25, BC = 24.将该梯形折叠, 点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么 AD的长度为 .#3、如图，在矩形 ABCD中, AB=12cm BC=6cm点E、F分别在AB CD上，将矩形 ABCD沿EF折叠，使点A D分别落在矩形 ABCD外部的点A', D'处，则整个阴影部分图形的周长. 是#4、取一张矩形纸片按照图 1、图2中的方法对折，并沿图 3中过矩形顶点的斜线（虚线） 剪开，那剪下的这部分展开， 平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为E

8、F为折痕,AE、至35、将矩形纸片 ABCD按如图所示的方式折叠,/ BAE = 30°, AB= . 3 ,折叠后，点C落在AD边上的Ci处，并且点B落在ECi边上的Bi处.贝U BC的长是AG D#例题4:如图，四边形 ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿 MN折叠，使点B落在CD边上的B 处，点A对应点为A ，且b C =3，则AM的长是7变式训练:1、把一张矩形纸片（矩形 ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=3cm BC=5cm则重叠部分 DEF的面积是cm2#2、在正方形ABCD中,正方形的边长为2，对角线AC BD交于点0,折叠正方形纸片 A

9、BCD 使AD落在BD上,点A恰与BD上的点F重合，展开后，折痕 DE分别交AB AC于点E、G, 连接GF。则 EFD的面积为。#如图，有一张面积为 1的正方形纸片 ABCD M N分别是AD BC边的中点，将 C点折叠至 MN上，落在P点的位置，折痕为 BQ连接PQ则PQ= .A Xf D#3、如图矩形纸片 ABCD , AB = 5cm, BC = 10cm , CD 上有一点 E, ED = 2cm, AD 上有一点P, PD = 3cm，过P作PF丄AD交BC于F,将纸片折叠，使 P点与E点重合，折痕与 PF 交于 Q点，贝U PQ 的长是cm.#4、小明尝试着将矩形纸片 ABCD

10、（如图，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得 B点落在 AD边上的点F处，折痕为AE （如图）；再沿过D点的直线折叠，使得 C点落在DA边上#的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG （如图）.如果第二次折叠后， M点 正好在/ NDG的平分线上，那么矩形 ABCD长与宽的比值为 .8#15、长为1,宽为a的矩形纸片（一va <1 ）,如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽2度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去.若在第 n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止.当n=3时，a的第

11、一次操作第二次操作如图，正方形纸片ABCD勺边长为1 , MN分别是AD BC边上的点，将纸片的一角沿过点#的直线折叠，使 A落在MN上，落点记为A',折痕交AD于点E,若M N分别是AD BC边上距DC最近的n等分点（n± 2，且n为整数），贝U A N=.#6、如图，将矩形纸片 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交 于点E.（1）试找出一个与 AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8, DE=3, P为线段AC上的任意一点，PG丄AE于G, PH丄EC于H，试求PG+PH 的值，并说明理由B1#7、如图所示，在等腰梯形

12、ABCD中，AD/BC，/ DBC=45，翻折梯形 ABCD使点B重合#于点D,折痕分别交边 AB,BC于点F, E,若AD=2,BC=8.求:(1) DE的长；(2) CD DE的正切值。8、如图，在矩形纸片 ABCD中，AB = 3 3 , BC = 6,沿EF折叠后，点 C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点 (1)求BE、QF的长.(2)求四边形PEFH的面积.H,Z BPE = 30°9、把一张矩形 ABCD氏片按如图方式折叠，使点 点均在BD上),折痕分别为BH DG(1) 求证： BHEA DGF(2) 若 AB= 6cm, BC= 8cm,求线段

13、FG的长。910、如图, AEF中,/ EAF=45° , AGL EF于点G现将 AEQ& AE折叠得到厶AEEB将厶AFG沿 AF折叠得到厶AFD延长BE和DF相交于点C.(1)求证：四边形 ABC是正方形;连接BD分别交AE AF于点M N,将厶ABM绕点A逆时针旋转，使 AB与AD重合，得到 ADH试判断线段 MN ND DH之间的数量关系，并说明理由. 若 EG4, GF=6, Bl=3 , 2,求 AG MN的长.11、如图，ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5 .在矩形ABCD的边AB上取一点M,冲B若/ 1=70°,求/ MNK的度

14、数.(1)(2)(3)1 MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时/ 1的度数；若不能，试说明理由.2如何折叠能够使厶 MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值.1)(备用图)例题5:将平行四边形纸片 ABCD按如图方式折叠，使点 C与A重合，点D落到D 处, 折痕为EF .(1) 求证： ABE AD F ；(2) 连结CF ,判断四边形 AECF是什么特殊四边形？说明你的结论.10#变式训练:1、如图，在直角梯形纸片 ABCD中，AB / D C , A =90 : CD . AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点 A落在边CD上的点E处，折痕为D F .连接EF并展开纸

15、片.(1)求证：四边形 AD EF是正方形；(2)取线段AF的中点G，连接EG ,如果BG = CD ,如图，在梯形纸片 ABCD中, AD/ BC, AD> CD,将纸片沿过点 D的直线折叠，使点 C落在AD 上的点C处，折痕 DE交BC于点E,连接 C E.12#例题6:上-一占I* 八 '、：变式训练：1如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC 0为坐标原点,AB/ x 轴，B( -3 ,缶） 现将纸片按如图折叠，AD, DE为折痕，/ OAD=30 .折叠后，点O落在点0,点C落在线段AB上的C处，并且D0与DC在同一直线上.则 C的坐标是O如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，A点坐标为（0, a）, E是线段BC且/ AEB=60，沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标是 。132、在平面直角坐标系中 矩形OABC的两边OA、0C分别落在x轴,y轴上，且0A=4,0C=3. (1)求对角线0B所在直线的解析式如图，将 OAB沿对角线0B翻折得打厶OBN，ON与AB交于点M ; 判断 OBM是什么三角形，并说明理由 试求直线MN的解析式。3、如图，Rt OAC是一张放在平面