特征根法求通项公式

1、特征方程法解递推关系中通项公式一、(一阶线性递推式)右已知数列an的项满足a-i b,an 1 can d ,其中c 0,c 1,求 这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程x cx d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当x0 a1时，an为常数列，即an a1；当X。印时,an bn X0 ,其中bn是以c为公比的等比数列，即bn b1c , b1a1x0.证明:

2、因为c 0,1,由特征方程得dX0.1 c作换元 bnan X0,贝 Ubn 1an 1X。, dcdcan dcan1 c1 cc(an X0)cbn.当X。a1时,b10 ,数列bn是以c为公比的等比数列，故bnn 1 de ;当X。印时,b10 , bn为0数列，故ana1,n N.(证毕)下面列举两例，说说说说明定理1的应用4,求 an.1例1已知数列an满足：am-an 2，n N，ai1 3解：作方程x x 2,则Xo一.32列a14a1fl3 一 2-11一 2 为 3 - 2公bn的11一 23 - 2上1)n1,n数列.于是N.例2已知数列an满足递推关系:an 1(2an

3、3)i, n N,其中i为虚数单位。当a1取何值时，数列an是常数数列？解：作方程x (2x 3)i,则x06 3i.要使an为常数，即则必须a1x06 3i55 .二、(二阶线性递推式)定理2 :对于由递推公式an 2pan 1qan , a1,a2给出的数列an，方程2x px q 0,叫做数列an的特征方程。若Xi,X2是特征方程的两个根， 当Xi X2时，数列an的通项为an Ax；1 Bx； 1，其中A, B 由 ai,a2 决定(即把 ai,a2,xi,X2和 n 1,2，代入 a*Ax；1 Bx； 1，得到关于A、B的方程组)；当x1 x2时，数列an的通项为an(A B)x；

4、1，其中A，Bn 1由 a1,a2决定(即把 a1,a2,X1,X2和 n 1,2，代入 an(A B)X1 ，得到关于 A、B的方程组)。例 3：已知数列 an 满足 a1a,a2b,3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)，求数列 an的通项公式。解法一(待定系数迭加法)由 3an 2 5an 12an 0，得an 2an 123(an 1 an)，3且a?a1则数列an 12an是以b a为首项，-为公比的等比数列，于3anan2(b a)( )n 1。把 n31,2,3,n代入，得a2a1a3a2(ba4a3(b2a) (3)，a) (2，的特征方程是：3x2 5x 20。

5、?(ban an2、na)(2)把以上各式相加，得的特征方程是：3x2 5x 20。的特征方程是：3x2 5x 20。2ana1(b a)1 3(|)"2(b a)。an 3n1(ba) a3( a2b)(才3b2a。解法二(特征根法)：数列an3an 25a n 12an0( n 0, nN)， a1 a,a2 b的特征方程是：3x2 5x 20。Pan q (其 ran -中P、q、r、h 均为常数，且 ph qr,r 0,a1(1)当特征方程有两个相同的根（称作特征根）-）,那么，可作特征方程r时，x 3 rx -右a1,则anN；右a1，则anbn,n N,其中bna1(nr

6、,nN.特别地，当存在n°N,使0时,无穷数列an不存在.(2)当特征方程有两个相异的根2 （称作特征根）时,an仝 1 , n N,Cn 1其中G a,a11 ( p 1 r)n 12 P 2rN,(其中a12).例4、已知数列an满足性质:对于n N,anan2an3,且a13,求an的通项公式解:依定理作特征方程 x 2x方程有两个相异的根，使用定理42变形得2x22x 40,其根为11, 22.故特征2的第（2）部分，则有c a11( p 1 r)nCn()a12 P 2r(厂3 212 2N.X11,X235anAx? 1Bx；1A B（鈔。又由aa, a?b，于二曰是aA

7、 BA3b 2abA 2B3B3(a b)故an3b 2a3(ab)01三、（分式递推式）定理3：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于n N ,都有an 13131G 5(5)"，门 N.55312Cn1Cn12 -(】)n1 15N.占 ,n !)n1 15令 bn 0,则 n 7n. 对于 n N, bn 0.令 bn 0,则 n 7n. 对于 n N, bn 0.即an(5)n 42 ( 5)n,nN.例5.已知数列an满足:对于n N,都有an13an 25an 3(1)a15-求 an；(2)a13,求 an；(3)a16,求 an；a!取哪些值时，无穷数列an不存

8、在?解：作特征方程x25.变形得x2 10xx 3特征方程有两个相同的特征根250,5.依定理2的第（1）部分解答.- a!5,ai对于n N,都有an5；(2) a13,ai二 bna1(n1)-P r令 bn 0,则 n 7n. 对于 n N, bn 0.113 1 51)1 (n3 512令 bn 0,则 n 7n. 对于 n N, bn 0.令 bn 0,则 n 7n. 对于 n N, bn 0.令bn0，得n 5.故数列an从第5项开始都不存在,令 bn 0,则 n 7n. 对于 n N, bn 0.令 bn 0,则 n 7n. 对于 n N, bn 0.当 n w 4, n N 时

9、，an _17bnn 5 a16,5, -a, 1(n八r n 1- bn1)1, n Na1p r8令 bn 0,则 n 7n. 对于 n N, bn 0.115n 1185n 43,nN.显然当3时，数列从第2项开始便不存在由本题的第（1）小题的解答过程知,a1数列an是存在的, 当a15 时，则有bna1r(n 1)-p1 n 1 ,n ra158N.令 bn 0,则得 a1 5n 13,n N n 1> 2.5n a1N且NA 2)时,数列an从第n项开始便不存在于是知：当a1在集合3或In 1N,且n >2上取值时，无穷数列an者E不存在.练习题：求下列数列的通项公式:1

10、、在数列an中，ai1,a27,an2an 1 3an 2(n 3),求 an。(key :an 2 3n1 ( 1)n2、在数列an中,ai1,a25,且 an5an1 4an 2 ,求 an。(key: a*1 n3(41)3、在数列an中,3, a27, an3an 12an 2(n3)，求 an。(key: a*2n '1)4、在数列an,a13, a22,an23an1n ，求 an 。( key :1)n5、在数列an中,ai3, a253,an1(4an1 an)彳 2an。(key: % 1 盯)6、在数列an中,a1a,a2b, an 2pan 1qan，且q 1 求

11、 an (key: q 1时，an a (n 1)(b a)；q 1时,anaq b (ba)( q)n1 )7、在数列an中，a1 a,a2 a b, pan 2(Pq)anqan0（ p, q是非0常数）.n 1求 an. (key: a. a 1(9)bp q p(Pq)；an a1(n 1)b ) ( p q)在数列an 中，a1 ,a2anban 1 can 2求an .(key: a.n 1a2c(n2)ai ();若，上式不能应用,此时，an (n 1)a2(n2)ai附定理3的证明定理3（分式递推问题）：如果数列an满足下列条件:已知a1的值且对于n N，都有panq （其中p

12、、q、r、-均为常数，且p- ran -qr, r0, a1-），那么，可作特r征方程(1)x 3.rx -当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时,a1an,nN;若 a11 anbn,n N,其中bna1(n1) r ,nP rN.特别地，当存在n0N ,使bno0时，无穷数列an不存在(2)当特征方程有两个相异的根2 （称作特征根）时，则an血 1 , n N,其Cn 1中Cna1丄(p1r)n 12 p2rN,(其中 a12).a1证明：先证明定理的第（1）部分.作交换dn an,n N则 d n 1 an 1pan qran -an(Pr) q hran h(dn )(p r) q

13、hr(dn) hdn(P r) r 2 (h p) qrdn h r是特征方程的根，T r2 (h p)r hq 0.将该式代入式得dn 1dn(P r) rdn hN.1P h2rh 1,将此式代入式得1dnN.令bn1,ndnN.则 bn1 bnN.故数列bn是以-P为公差的等r bnb1(n1)P rN.d1ai当 n N,bn0 时，an dnbn,n N.当存在n° N,使bn00时，an0n0bn°无意义.故此时,无穷数列an是将xP代入特征方程可整理得ph qr,这与已知条件 ph qr矛盾r.故特征方程的PJ r于是pr 0.当d10，即 a1d1=时，由式

14、得bn0,n N,故 an dn,n N当d10即a1时，由、两式可得dn0, n N.此时可对式作如下变化：1rd n hrhr 1rd n 1dn(Pr)Pr dn P r'根由是方程x Px q的两个相同的根可以求得 rx hh P hrhr h r2rP rP hPr2r11不存在的.再证明定理的第（2）部分如下:11特征方程有两个相异的根其中必有一个特征根不等于a1,不妨令 2a1.1于是可作变换Cn勺1, nan2N.故Cn-，将 anan 12Pan q代入再整理得hranCn 1an(P1r) qan(P2r) qih,n N2h由第1）部分的证明过程知 x -不是特征方程的根, rir 0, p2r 0.所以由式可得:P ir ananq 口,n Nq 2hP 2r特征方程x Px q rx h有两个相异根1、2 方程异根1、2，而方程xq与方程rxx(h p)pxr.q1hq2h1,2p1rP2r将上两式代入式得P1r an1P 1rG 1Cn, nNP2r a